基于改進序列二次規(guī)劃算法的復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定

馬文魁 李寧

摘 要：針對復(fù)雜曲面的誤差評定，本文提出了一種基于改進序列二次規(guī)劃的誤差評定方法，并利用MATLAB軟件實現(xiàn)了誤差評定的數(shù)值模擬仿真計算。實驗結(jié)果表明，該方法能有效提升復(fù)雜曲面輪廓度誤差的評定精度，為相關(guān)研究工作提供參考。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜曲面;序列二次規(guī)劃;誤差評定;數(shù)值仿真

中圖分類號：TH161 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2019）22-0050-04

Error Evaluation of Complex Surface Based on Improved

Sequential Quadratic Program Algorithm

MA Wenkui LI Ning

Abstract： Based on improved sequential quadratic program， this paper presented a new method for the error evaluation of complex surface. The numerical simulation calculation of error evaluation is realized by using MATLAB software. Experimental result shows that the proposed method can effectively improve the evaluation accuracy of the contour error of complex surface， which can provide a reference for related research work.

Keywords： complex surface;sequential quadratic program;error evaluation;numerical simulation

隨著我國高端制造技術(shù)的不斷發(fā)展和進步，人們對機械產(chǎn)品的制造精度也提出了更高的要求。復(fù)雜曲面由于其良好的結(jié)構(gòu)性能，在航空航天、汽車、造船和軍工產(chǎn)品等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，甚至對設(shè)備的正常運行起到了決定性作用。在復(fù)雜曲面零件的加工與檢測過程中，高精高效的檢測手段與誤差評定方法一直以來都是研究人員關(guān)注的熱點問題，且對衡量產(chǎn)品的加工質(zhì)量起到了至關(guān)重要的作用。

在零件加工質(zhì)量評定過程中，實測元素相對于圖紙規(guī)定的理論輪廓和位置所容許的變動量定義為形位公差。國標《形狀和位置公差》（GB/T 1182—1996）將形位公差分為形狀公差和位置公差兩類，其中包括四項形狀公差和八項位置公差。針對面輪廓度公差而言，若圖紙中標定了基準要求，即認定為位置公差，反之為形狀公差。形位公差帶主要用于界定實際被測要素的變動區(qū)間，即形位誤差的最大容許值。若實際被測元素完全包容于公差帶內(nèi)，則認定被測元素合格，反之為不合格[1]。

為了更好地提升復(fù)雜曲面誤差評定的精度與計算效率，本文重點以無基準要求的曲面輪廓度公差為研究基礎(chǔ)，通過對復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定模型的分析，將序列二次規(guī)劃算法與過濾算法相結(jié)合，有效克服了序列二次規(guī)劃算法的算法缺陷，實現(xiàn)了對復(fù)雜曲面零件加工品質(zhì)高精高效的誤差評定。

1 復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定模型

在實際的曲面檢測過程中，接觸測量和非接觸測量是獲得曲面三維形貌最主要的兩種方法。零件在數(shù)控機床加工完成后，一般利用三坐標測量機、掃描儀等工具實現(xiàn)對復(fù)雜曲面零件的測量。通過實測要素與理論要素的比對計算，得到曲面輪廓誤差，從而實現(xiàn)對零件曲面加工質(zhì)量的評定。根據(jù)ISO[2]標準中的相關(guān)定義，復(fù)雜曲面輪廓誤差的評定是以理論曲面為基礎(chǔ)，輪廓度公差為實測曲面在由理論曲面所構(gòu)成區(qū)域內(nèi)的容許變動量。該變動區(qū)域，即公差帶是多組直徑為公差值，球心位于理論曲面上的球被包容于兩包容曲面之間的區(qū)域，如圖1所示。當實測點完全包容于該區(qū)域內(nèi)，則表示實測曲面符合曲面輪廓度公差要求。

將加工完成后的曲面測點定義為[P=Ph=（xph，yph，zph）h=1，2，……，i]，其中[i]為測量點的個數(shù)，測量點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移的坐標變換矩陣可表示為：

[Tf=Tp?Tx?Ty?Tz] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，[Tp]為測量點的平移坐標變換矩陣;[Tx]、[Ty]和[Tz]分別為測量點繞[X]、[Y]和[Z]軸的旋轉(zhuǎn)坐標變換矩陣。這四個變量分別為：

[Tp=100001000010ΔxΔyΔz1] （2）

[Tx=10000cosαsinα00-sinαcosα00001] （3）

[Ty=cosβ0-sinβ00100sinβ0cosβ00001] （4）

[Tz=cosγsinγ00-sinγcosγ0000100001] （5）

將式（2）至式（5）代入式（1）可得：

經(jīng)過坐標變換后的測量點坐標[Q=Qh=（xqh，yqh，zqh）h=1，2，……，i]可由式（7）計算獲得。

[Q=Tf?P] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

根據(jù)ISO[2]誤差評定標準引入的最小包容區(qū)域原則，應(yīng)盡量減小實測曲面與理論曲面之間的最大間隙，使其最大間隙最小化。復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定模型建立如下公式：

[e=minmax2d（Δx，Δy，Δz，α，β，γ）] （8）

式中，[d（Δx，Δy，Δz，α，β，γ）]為實測點與理論曲面之間的距離;Δx，Δy和Δz分別表示實測點沿著[X]、[Y]和[Z]軸的平移距離;α，β和γ分別表示實測點繞[X]、[Y]和[Z]軸的旋轉(zhuǎn)角度。

2 誤差評定方法

由曲面誤差評定模型可以看出，基于最小區(qū)域的復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定主要是通過不斷調(diào)整測量點的空間位置，保證全局測點到理論曲面輪廓的最大距離最小，屬于非線性多元參數(shù)優(yōu)化問題。針對公式（8）所建立的曲面輪廓度誤差評定模型，若要實現(xiàn)對曲面的誤差值的計算，主要需要解決兩方面的重點問題：一是測點到復(fù)雜曲面距離的計算;二是實測點與理論曲面的最優(yōu)匹配。對于測點到復(fù)雜曲面的空間距離，可利用基于STL模型的測點與三角面片的隸屬關(guān)系計算獲得[3];針對問題二，本文采用改進的序列二次規(guī)劃算法實現(xiàn)測量點與理論曲面的最佳匹配，求得最優(yōu)坐標變換矩陣。

2.1 算法描述

對于約束非線性規(guī)劃問題，通常的數(shù)學描述如下：

[min f（x）s. t. ? ? ci（x）=0， i∈E ci（x）≤0， i∈I] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

式中，[fx]和[cix]為定義在[Rn]上的函數(shù)。[fx]為優(yōu)化的目標函數(shù);[cix]為約束函數(shù);[E=1， 2， …，n];[I=n+1， …，m]。序列二次規(guī)劃（Sequence Quadratic Program，SQP）算法主要在某問題的近似解處，將初始的非線性規(guī)劃問題拆分為一系列二次規(guī)劃的子問題，通過對子問題的求解，獲得下降方向，下降步長由罰函數(shù)決定，循環(huán)迭代逼近最優(yōu)解[4]。由于SQP算法具有良好的理論基礎(chǔ)及較強的邊界搜索能力，因此，在解決非線性約束優(yōu)化問題中得到了廣泛應(yīng)用。對于求解一般約束非線性規(guī)劃問題，序列二次規(guī)劃的子問題在第[k]次迭代求解時，其計算公式可表示為：

[mind dTWkd+?f（xk）Tds. t. ? ? ci（xk）+?ci（xk）d=0 ci（xk）+?ci（xk）d≤0] ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

式中，[Wk]為拉格朗日近似海瑟矩陣;[d]為搜索方向;[?f（xk）]為目標函數(shù)在[xk]處的梯度向量;[cixk]表示不等式約束在[xk]點的值;[?ci（xk）]為不等式約束在[xk]處的雅克比矩陣。序列二次規(guī)劃算法的具體算法流程參見周敏的研究[5]。

在利用SQP算法求解二次規(guī)劃子問題的過程中，罰函數(shù)的選擇和調(diào)整相對比較困難，選用過大或者過小的罰函數(shù)都會對計算結(jié)果造成一定的影響，而且求解多個子問題的計算量相對較大，在一定程度上影響算法的效率。

2002年，鄧迪大學Fletcher和Leyffer[6]提出過濾算法。與傳統(tǒng)算法相比，過濾算法在二次規(guī)劃子問題的求解中，無需使用罰函數(shù)。該算法的重點主要是由濾子來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的罰函數(shù)，允許一個迭代步被濾子接受當且僅當目標函數(shù)值充分下降或違反約束度函數(shù)充分下降，其核心是判斷目標函數(shù)值或約束違反度函數(shù)值是否能在試探點非單調(diào)下降，如果該點非單調(diào)下降，那么就將該試探點作為下一個迭代點進行計算。濾子算法的最大優(yōu)勢在于降低罰因子在調(diào)整上的困難，借鑒了多目標優(yōu)化的算法結(jié)構(gòu)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為雙目標優(yōu)化問題，即可以使目標函數(shù)和約束違反度在共同減小時不同步。該算法實質(zhì)上是一種非單調(diào)的方法，有利于提升算法的計算效率，并能得到非線性優(yōu)化問題的最優(yōu)解[7-9]。因此，本文采用過濾算法與序列二次規(guī)劃相結(jié)合的方式求解實測點與理論曲面的最優(yōu)匹配參數(shù)。

2.2 誤差計算流程

針對無基準復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定問題，根據(jù)劉美玲[10]提出的對濾子SQP算法的構(gòu)造及算法流程的描述，通過對復(fù)雜曲面的輪廓度誤差評定模型的建立，將（Δx，Δy，Δz，α，β，γ）作為算法優(yōu)化參數(shù)，結(jié)合基于STL模型的點到曲面的距離函數(shù)，計算獲得曲面輪廓度誤差值。復(fù)雜曲面輪廓度誤差值的計算流程如圖2所示。

3 仿真實驗及分析

本文以如圖3所示的復(fù)雜曲面為研究對象，借助MATLAB的強大數(shù)學計算功能[11]，利用數(shù)值模擬仿真的方式驗證所提出算法的有效性。

在曲面上提取80個測點，添加服從正態(tài)分布的隨機誤差[N]（0，0.05），考慮到實際檢測過程中測量坐標系與理論坐標并不重合，添加系統(tǒng)誤差syserror （0.4，0.4，0.4，-0.2，

-0.2， 0.3）得到模擬實測點集。通過數(shù)值模擬仿真計算后，本方法求得曲面輪廓度誤差為0.261 5mm。為了進一步驗證本文提出方法的準確性，將本方法的計算結(jié)果與王東霞等學者[12]所提方法的計算結(jié)果進行對比。利用王東霞等學者[12]所提出的方法計算獲得輪廓度誤差為0.310 4mm。通過數(shù)值結(jié)果的對比可以看出，本文所提出的算法在復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定中具有更好的評定精度。

4 結(jié)論

本文通過對復(fù)雜曲面輪廓度誤差評定模型的分析，采用過濾算法與序列二次規(guī)劃相結(jié)合的方式優(yōu)化模型匹配參數(shù)，克服了序列二次規(guī)劃算法本身的局限性，提高了求解優(yōu)化匹配參數(shù)的效率。實驗結(jié)果表明，該方法能有效實現(xiàn)復(fù)雜曲面輪廓度誤差的精確評定，在實現(xiàn)復(fù)雜曲面的高精加工方面具有一定的參考價值。

參考文獻：

[1]張美.自由曲面測量采樣策略及輪廓度誤差評定算法研究[D].天津：天津大學，2013.

[2] Geometrical product specifications （GPS） — geometrical tolerancing — tolerances of form， location and run-out： ISO 1101—2017[7].

[3]馬文魁.復(fù)雜曲面加工誤差補償方法與關(guān)鍵技術(shù)研究[D].天津：天津大學，2016.

[4]王佳凱，桂勝華.約束非線性優(yōu)化的二階段濾子SQP算法[J].上海第二工業(yè)大學學報，2006（4）：279-286.

[5]周敏.約束非線性優(yōu)化的信賴域濾子SQP算法[D].洛陽：河南科技大學，2014.

[6] Fletcher R， Leyffer S. Nonlinear programming without a penalty function[J]. Mathematical Programming Ser A，2002（2）：239-269.

[7]張家昕.不等式約束優(yōu)化的一個濾子SQP算法[J].安徽科技學院學報，2015（5）：62-65.

[8]劉澤顯.一種修正的線搜索Filter-SQP算法[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2014（1）：53-63.

[9]非線性互補約束均衡問題的一個濾子SQP算法[J].應(yīng)用數(shù)學學報，2012（1）：49-58.

[10]劉美玲.帶等式約束二次規(guī)劃子問題的濾子SQP算法[J].數(shù)學的實踐與認識，2015（14）：272-279.

[11]王鵬飛，王建鋒，王晉鵬，等.基于機床運動學模型的加工面形誤差影響因素[J].制造技術(shù)與機床，2019（2）：130-135.

[12]王東霞，溫秀蘭，趙藝兵.基于CAD模型引導(dǎo)測量的自由曲面定位及輪廓度誤差評定[J].光學精密工程，2012（12）：2720-2727.