基于二階造波理論的聚焦波實驗室模擬

張可心，柳淑學，李金宣，張昊宸

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，大連 116024)

幾個世紀以來，有許多關于造成海上船舶故障的神秘涌水和毀壞沿海結構物的猛烈海浪的報道，因此，設計中也應考慮到這些極端事件。海洋衛星圖像的最新進展以及基于船舶和海上結構物數據的多次災害實踐表明，確實存在偶發極其陡峭的波浪，然后從海上消失的現象[1]。這些極端波浪運動學的產生和研究十分復雜，并且涉及波浪非線性。實驗室中模擬極端波浪的一種方法是基于Longuet-Higgins[2]首次提出的非線性波之間相互作用的理論。該方法通過生成指定頻率范圍的各組成波分量(主要分量)并調整它們的相位，使得在某個時刻各個波分量聚焦在特定位置處。

眾所周知，線性造波將產生不期望的自由偽諧波，因此，需要采用二階造波來抑制這些自由偽諧波，以便產生符合高階精確解[3]的聚焦波。而對于二階造波理論，早在1847年Stokes就使用波陡作為小參數的攝動級數給出了規則波的結果。對于規則波，二階波只出現和頻項(因為差頻消失)，Stokes由此發現了超諧波；對于不規則波，和頻和差頻都出現在二階項中。Longuet-Higgins和Stewart[4-5]得到了次諧波的結果，其中相互作用的波分量僅限于略微不同的頻率(窄帶限制)。Sand[6]計算了抑制偽長波產生所需的推板造波機的二階次諧波控制信號。Barthel等[7]給出了該理論的更詳細描述，且將該理論擴展到包括旋轉中心限制在底部或底部附近點的搖板式造波板運動。Sand和Donslund[8]給出了搖板式造波板模擬超諧波的造波理論。Sch?ffer[9]基于以上理論擴展推導出了目前較完整而有效的二階造波理論。

現有研究大多采用線性造波方法在數值水槽或實驗室物理水槽內產生聚焦波。例如，武昕竹[10]基于線性造波理論，建立了二維聚焦波浪數值模擬水槽；柳淑學和洪起庸[11]基于線性造波理論，建立了三維聚焦波浪的實驗室模擬方法，并對于生成極限波浪的特性進行了實驗研究；Li等[12]基于線性造波理論，利用數值方法研究了二維聚焦波浪的特性。然而Longuet-Higgins和Stewart[13]指出，主要成分(給定的波頻成分)的非線性相互作用將產生超諧波和次諧波分量。超諧波項基本上是改變波群局部特征(波峰銳化和波面展寬)的高頻分量，而低頻分量(次諧波)則對應于全局相互作用(時均水位的變化)。因此，為了產生波包或波群，在實驗室水槽中必須正確地再現超諧波和次諧波。本文基于Sch?ffer[9]所提出的二階造波理論，建立了實驗室中聚焦波浪的造波軟件，并進行了二階聚焦波浪的數值和物理模擬，以說明基于二階造波理論產生聚焦波浪的必要性。

1 基于二階造波理論聚焦波模擬方法

1.1 二階造波理論簡介[9]

在經典波浪理論中，假設流體為無旋、無粘性、均勻且不可壓縮的理想流體，其速度勢滿足Laplace方程、底部邊界條件、自由表面運動學和動力學條件以及造波板邊界條件等。其中造波板的位置函數X=X(z,t)表示為

X(z,t)=f(z)X0(t)

(1)

式中：X0(t)為造波機靜水面處的位移；f(z)為造波機形狀函數。

對控制方程進行求解，則構成一階波分量譜的每個波浪分量的一階造波板位移可由下式給出

(2)

式中：上角標(1)代表一階成分，c.c.為前項的共軛復數；ω為圓頻率；Xa是在靜水位處的恒定的一階造波板復振幅，它與波浪復振幅關系如下

A=c0Xa

(3)

這里的c0為一階傳遞函數，A為波浪復振幅。

二階波分量的基礎是由兩個不同頻率波的相互作用構成，相互作用項以超諧波(和頻)和次諧波(差頻)形式出現。二階造波板位移為

(4)

F±表示二階傳遞函數，表達式為

(5)

1.2 聚焦波產生方法(相速度法)[14]

對于二維波浪，任一點處一階波浪自由表面可以表示為不同頻率和不同幅值的規則波線性疊加后的結果，即

(6)

式中：aj為第j個組成波的幅值，kj為其波數，ωj為其角頻率，φj為其初相位，N為組成波的個數。kj和ωj滿足波浪的色散方程。

若假定波浪在指定時刻t=tb聚焦于x=xb位置處，即各組成波在x=xb處疊加，那么，需滿足

cos(kjxb-ωjtb-φj)=1

(7)

則各組成波的初相位應滿足下式

φj=kjxb-ωjtb

(8)

此時，一階波浪的波面表達式為

(9)

采用二階造波理論，則對應于公式(3)中的復振幅Aj可表示為

Aj=ajeiφj

(10)

2 實驗布置及實驗結果分析

2.1 物理模型實驗及結果分析

圖1 實驗布置圖Fig.1 Experimental setup

物理模型實驗在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室大波流水槽中進行，該水槽長69 m，寬2 m，深1.8 m。水槽一端配有推板式造波機，另一端設置了斜坡式消浪裝置。

實驗水深為1.2 m，為研究傳播過程中波形和能量的變化，沿程布置一系列浪高儀。浪高儀距造波板的距離依次為5 m、13 m、26 m。實驗擬定波浪在x=18.1 m處聚焦，為了精確地尋找波浪的聚焦位置，在x=18.1 m前后每間隔10 cm各布置了兩個浪高儀。實驗布置圖如圖1所示。

表1 聚焦波參數Tab.1 Focusing wave parameters

聚焦波浪參數見表1，這里的kcA為表征聚焦波非線性大小的參數，其中kc為中心頻率相對應的波數，A為聚焦波幅值。聚焦波浪的頻譜采用等波幅。

作為示例，圖2給出了組次fc1時，各階成分對應的造波板位移時間序列對比，從圖中可以看出，波浪的和頻成分占了很小的量級，二階差頻成分是造成造波板總位移不同于一階造波板位移的主要原因。而且二階差頻成分類似于孤立波造波板的相反位移，這是由于可以抑制自由偽長波(基本上只有波峰)的波浪成分可以看做是倒置的孤立波[15]。因此，為了抑制聚焦波中的自由偽長波，隨著有限水深中波陡的增加，波浪非線性增強，造波板需要更大的沖程，這是二階造波理論在實驗室應用中的一個限制。

圖2 組次fc1造波板位移時間序列Fig.2 The history of the wavemaker paddle displacement for case fc1圖3 組次fc1線性理論波面和二階造波理論計算波面對比Fig.3 Comparison of the linear wave elevation and second order wave elevation for case fc1

圖3給出了波浪聚焦點處線性疊加理論波面、二階造波理論計算波面、二階和頻成分和二階差頻成分的對比。波浪差頻和和頻成分的量級相對較小，且在波峰處二階和頻成分會相應產生一個小的波峰，而二階差頻成分為一個周期較長幅值很小的波谷，其幅值為-4.65×10-3m。與線性疊加理論波面相比，受二階非線性項的作用，二階造波理論計算的波面在聚焦時峰值稍大，波陡稍大。

圖4給出了造波機產生不同組次聚焦波浪時，距離造波板5 m處浪高儀實測的一階和二階造波方法生成的波列和理論計算波列的無因次頻譜比較圖。從圖中可以看出，在低頻部分，如預期的那樣，一階造波不能正確地再現次諧波部分，而二階造波理論的能量略大于一階結果，更加接近于理論結果；主頻部分三者結果基本一致；而超出波浪相互作用諧波頻率范圍高頻部分一階和二階結果都高于理論結果，但是這部分的波浪能量很小。

作為示例，圖5給出了組次fc2，水槽內波浪聚焦前后沿程位置的頻譜比較圖。可以看出，距離造波板比較近的位置，一、二階造波的能量在低頻部分差別明顯。而隨著波浪的聚焦，非線性特征越明顯，一階造波和二階造波產生的波浪的能量分布發生了較大的變化，低頻部分的一、二階的能量會增大。尤其是在x=26 m處，一、二階造波產生的波浪能量大致相同并且與理論計算值趨于一致，這導致了低頻部分的區別不明顯。這種頻譜變化主要歸因于伴隨粘性阻尼的非線性能量傳遞以及由側壁上的接觸引起的運動和耗散[16]。

圖4 產生不同組次聚焦波浪時,距離造波板5 m處一階造波和二階造波產生的波浪分析所得頻譜與理論計算譜的比較Fig.4 Comparison of analyzed wave spectra for waves generated at x=5 m by the first and second order wave generation theories and theoretical spectrum

6-a 低通濾波結果6-b 放大10倍后與波面比較圖6 組次fc1不同位置處一階和二階造波產生的波浪低通濾波結果的比較以及與理論波面的對比Fig.6 Comparison of low-pass wave surfaces of the generated waves by the first and second order wave generation theories for case fc1, and the corresponding theoretical wave surface

為了進一步分析二階造波產生聚焦波浪的特征，截斷頻率取0.3 Hz，圖6給出了組次fc1，一階造波和二階造波產生的不同位置處的波浪低通濾波后的結果對比(圖6-a)。同時，為了更好地觀察低頻波浪特征與實測波浪波面的關系，圖6同時將左圖濾波結果放大10倍后與實測波面進行了對比(圖6-b)。從圖6-a中可以看出，在x=5 m處，一階造波產生的波浪濾波結果顯示出了幅值近似的波峰和波谷，而二階造波產生的波浪濾波結果可以認為僅顯示出波谷(理論上，二階校正量理論僅顯示波谷，但由于物理實驗中本身存在的誤差以及其他因素影響，導致無法達到理論預計結果)。可以說，在一階造波的情況下，約束長波(波谷)和自由偽長波(波峰)傾向于在靠近造波機處相互抵消[15]，這與Sch?ffer[9]所得結論是一致的。在波浪聚焦位置，即x=18.1 m處，通過對一階、二階和理論計算波面的濾波結果的比較可以發現，二階造波所得結果更接近于理論結果。而在其余位置，相對于二階的濾波結果，一階結果的長波顯示出波峰稍大和波谷略小。同時，從圖6-b可以看出，在x=5 m處，一階造波產生的波面濾波結果中的波峰(自由偽長波)比主波傳播的略早；并且隨著波浪的聚焦，長波傳播得越快，自由偽長波逐漸與主波分離，在x=26 m處，自由偽長波分量完全出現在主波之前。正是由于這些長波分量的不正確和非線性振幅色散，導致一階造波時聚焦波的峰值(8.56×10-2m)比二階造波時聚焦波的峰值(8.43×10-2m)略大，二者相差1.52%。

2.2 數值模型實驗及結果分析

為了進一步分析二階造波理論在聚焦波浪模擬時的必要性，將上述造波軟件應用于數值水槽中進行聚焦波浪的數值模擬實驗。數值水槽基于Fluent軟件，采用動網格來模擬造波機的推板造波運動。水槽總長35 m，前20 m為有效區域，后15 m為消波區。水槽高度為1.4 m，水深1 m。數值計算時，網格數為61 000，在水面附近加密網格。聚焦波浪數值模擬實驗波浪參數見表2。在距離前邊界3 m、7 m、10.5 m(組次sfc1聚焦位置)、11 m(組次sfc2聚焦位置)、和13 m處輸出數據記錄波面。基于此數值水槽，對二維聚焦波一階造波和二階造波的波面過程進行了模擬。數值計算時，譜形采用等波陡，具體的聚焦波參數如表2。

圖7 沿程各測點處一階造波和二階造波產生的波浪分析所得頻譜與理論計算的譜比較圖Fig.7 Comparison of analyzed wave spectra for generated waves along the numerical flume by the first and second order wave generation theories and theoretical spectrum

表2 聚焦波浪數值模擬實驗參數Tab.2 Focusing wave parameters for numerical simulation

作為示例，圖7給出了兩組實驗的沿程頻譜的變化，與物模實驗結果類似，高頻部分一階和二階結果都大于理論二階解的結果。而低頻部分，二階造波理論產生的結果更加接近于理論結果，而且二階的能量略大于一階的值。但在主頻部分的較高頻率處，一、二階的結果略小于理論計算值，這是由于數模本身數值耗散引起的。其次，沿程來看，隨著波浪的聚焦，波浪非線性增加，低頻部分的區別相比于物模的結果來說依舊明顯，這可能是由于數模和物模水槽后邊界吸收反射的效果不同，對于約束長波和非約束長波的反射影響不同。

8-a 低通濾波結果8-b 放大3倍后與波面比較圖8 組次sfc1,不同位置處一階和二階造波產生的波浪低通濾波結果的比較以及與理論波面的對比Fig.8 Comparison of low-pass wave surfaces of the generated waves by the first and second order wave generation theories for case sfc1, and the corresponding theoretical wave surface

圖8為組次sfc1一階造波和二階造波產生的波浪在低通濾波后(截斷頻率取0.3 Hz)的結果對比(圖8-a)以及相應的濾波結果放大3倍后與實測波面的比較(圖8-b)。同物模實驗結論基本一致，即一階造波波峰稍大、波谷略小，聚焦時一階造波的峰值(1.72×10-1m)比二階造波的峰值(1.68×10-1m)要稍大，二者相差2.38%。所以，同物模相比數模結果區別更加明顯，自由偽長波帶來的影響更加突出。

3 結論

本文基于二階造波理論建立了模擬聚焦波浪的造波軟件，并應用于相應的物理水槽和數值水槽。基于物理水槽和數值水槽波浪實驗，驗證了二階造波理論的有效性，說明了采用二階造波理論的必要性。

從波列頻譜的沿程變化和不同位置的次諧波序列兩方面比較了一階造波和二階造波方法的區別。通過對物理模型實驗和數值模型實驗結果分析來看，二階造波最明顯的特征是通過增加造波板的沖程來抑制自由偽長波的生成，使產生波浪的約束長波能量更加接近二階造波的理論解。

另外，需要說明的是，由于二階造波需求的造波板沖程較大，在使用的時候需要注意。