一類分段近Hamilton系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)

鄧 蕊，李寶毅，張永康

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言和主要結(jié)果

分段動力系統(tǒng)不僅能用于解釋眾多的自然現(xiàn)象，而且能準(zhǔn)確地刻畫生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、機(jī)械學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題.因此，完善的分段光滑動力系統(tǒng)理論可解決自然科學(xué)中的許多問題，同時(shí)也能促進(jìn)各科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展.極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)是動力系統(tǒng)研究的重要問題之一，關(guān)于平面分段動力系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的研究已有許多結(jié)果.將平面分成左右2 個(gè)半平面時(shí)，文獻(xiàn)[1]證明了一類分段線性微分系統(tǒng)可以存在2 個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[2]證明了一類二次分段近Hamilton 系統(tǒng)可以存在8個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[3]證明了一類分段線性Hamilton 系統(tǒng)在n 次多項(xiàng)式擾動下至多存在n+2[（n+1）/2]個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[4]證明了一類分段線性Hamilton 系統(tǒng)在n 次多項(xiàng)式擾動下至多存在n+2[（n+1）/2]-1 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[5]證明了一類將平面分成2 個(gè)扇形區(qū)域的分段光滑線性Hamilton 系統(tǒng)在n 次多項(xiàng)式擾動下至少存在n+2[（n+1）/2]+1 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[6]給出了由2條平行線將平面分成3 個(gè)區(qū)域的分段光滑近Hamilton系統(tǒng)一階Melnikov 函數(shù)的計(jì)算公式，并證明了Kukles系統(tǒng)在某一閉軌附近可分支出2 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[7]證明了一類將平面等分成4 個(gè)扇形區(qū)域的分段光滑線性近Hamilton 系統(tǒng)可以存在5 個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[8]證明了一類將平面等分成4 個(gè)扇形區(qū)域的二次分段光滑近Hamilton 系統(tǒng)可以存在16 個(gè)極限環(huán).本文將平面等分成3 個(gè)扇形區(qū)域，在此基礎(chǔ)上研究一類分段線性Hamilton 系統(tǒng)在n 次多項(xiàng)式擾動下極限環(huán)的個(gè)數(shù).

在平面內(nèi)定義3 條射線l0={（x，0）|x≥0}、l1=這3 條射線的參數(shù)方程分別為

其中s∈[0，+∞）.l0、l1和l2將平面等分成3 個(gè)扇形區(qū)域D1∪D2∪D3，其中

考慮分段近Hamilton 系統(tǒng)

其中： 0 ＜ε?1，（x，y）∈Dk.當(dāng)k=1、3 時(shí)，Pk（x，y）=當(dāng)k=2 時(shí)，（x-x0）iyj，x0∈R+.Pk（x，y）和Qk（x，y）均為區(qū)域Dk內(nèi)的n 次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，n∈N+，且

當(dāng)ε=0 時(shí)，系統(tǒng)（1）ε=0存在圍繞原點(diǎn)的逆時(shí)針走向的周期閉軌其中

設(shè)周期閉軌Γh與l0、l1、l2的交點(diǎn)分別為A0（u，其中u∈（0，2），故則軌線Γ1h在區(qū)域D1上的參數(shù)方程為

θ1和θ2分別表示當(dāng)Γ2h位于點(diǎn)和時(shí)所對應(yīng)的角，因此

定理當(dāng)系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov 函數(shù)M1（h）?0 時(shí)，存在n 次多項(xiàng)式Pk（x，y）、Qk（x，y），k=1、2、3，使得系統(tǒng)（1）ε至少存在2n+2[（n+1）/2]+2 個(gè)極限環(huán).

2 一階Melnikov 函數(shù)

引理1[7]系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov 函數(shù)為M1（h）=I1+μ2I2+μ2μ3I3，其中

引理2I1可表示為其中fi（j）表示關(guān)于變量j的i 次多項(xiàng)式，且其各項(xiàng)系數(shù)相互獨(dú)立.

證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1 時(shí)，將Γ1h的參數(shù)方程（2）帶入I1的計(jì)算公式可得

其中

當(dāng)n=2 時(shí)，將Γ1h的參數(shù)方程（2）代入I1的計(jì)算公式可得

其中

假設(shè)當(dāng)n=2k（k∈N+）時(shí)結(jié)論成立，即

則當(dāng)n=2k+1（k∈N+）時(shí)，考慮增加的項(xiàng)，

注意到當(dāng)u=0 時(shí)有

且此多項(xiàng)式的次數(shù)為α+ζ+1+max{α+ζ+1，γ}，而

特別地，當(dāng)α=β=δ=ζ=0，γ=2k+1 時(shí)，α+ζ+1+max{α+ζ+1，γ}=2k+2.故新增加的項(xiàng)為u2k+2、u4k+4.多項(xiàng)式的次數(shù)為γ，因?yàn)?/p>

即γ≤k+1，且當(dāng)α=k，β=δ=ζ=0 時(shí)，γ=k+1，故新增加的項(xiàng)為

當(dāng)n=2k+2（k∈N+）時(shí)，同理可證新增加的項(xiàng)為其系數(shù)相互獨(dú)立且僅與2，i、j∈N}中的元素有關(guān)，故n=2k+2（k∈N+）時(shí)結(jié)論成立.證畢.

引理3設(shè)當(dāng)m 為正奇數(shù)時(shí)，vmkm=u2fm-1（u2）； 當(dāng)m 為正偶數(shù)時(shí)，vmkm=u2fm-1（u2）+Cmωvm.

證明當(dāng)m=0、1、2 時(shí)，

且有

利用數(shù)學(xué)歸納法容易證明引理3 成立.

引理4I2可表示為其中fi（j）表示關(guān)于變量j 的i 次多項(xiàng)式，且其各項(xiàng)系數(shù)相互獨(dú)立.

證明當(dāng)n=1 時(shí)，將的參數(shù)方程（3）代入I2的計(jì)算公式可得其中

其中

假設(shè)當(dāng)n=2k（k∈N+）時(shí)結(jié)論成立，即ωv2fk-1（v2），則當(dāng)n=2k+1（k∈N+）時(shí)，考慮增加的項(xiàng)，

當(dāng)j 為奇數(shù)時(shí)，

故有

注意到當(dāng)u=0 時(shí)有

且此多項(xiàng)式中u 的最高項(xiàng)次數(shù)為4（k+1-β -i/2）+2+2（2β+i-1）=4k+4，故新增加的項(xiàng)為u4k+4.多項(xiàng)中v 的次數(shù)為2k+2，故新增加的項(xiàng)為ωv2k+2.

新增加的項(xiàng)u4k+4、ωv2k+2的系數(shù)相互獨(dú)立且僅與中的元素有關(guān)，故n=2k+1（k∈N+）時(shí)結(jié)論成立.

當(dāng)n=2k+2（k∈N+）時(shí)，同理可證新增加的項(xiàng)為u4k+6，且其系數(shù)僅與中的元素有關(guān).故n=2k+2（k∈N+）時(shí)結(jié)論成立.證畢.

引理5I3可表示為I3=uf2n+1（u），其中fi（j）表示關(guān)于變量j 的i 次多項(xiàng)式，且其各項(xiàng)系數(shù)相互獨(dú)立.

證明當(dāng)n=1 時(shí)，將Γ3h的參數(shù)方程（4）代入I3的計(jì)算公式可得

其中

40年來，上海國民經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)年均增速9.8%，GDP增長的同時(shí)，通過調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，單位能耗穩(wěn)步下降。萬元地區(qū)生產(chǎn)總值能源消費(fèi)在1980年為6.8t標(biāo)煤，2005年首次降至1t標(biāo)煤，2017年下降至0.4t標(biāo)煤，約為1980年的5.8%，年均降幅高達(dá)7.4%。由于各產(chǎn)業(yè)單位能耗差別顯著，尤其是第三產(chǎn)業(yè)單位能耗僅為第二產(chǎn)業(yè)的50%左右，得益于產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和產(chǎn)業(yè)內(nèi)部結(jié)構(gòu)優(yōu)化的有力帶動，上海第三產(chǎn)業(yè)比重不斷加大，總體能源利用效率持續(xù)提高，（見圖4）。

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+）時(shí)結(jié)論成立，即I3=uf2k+1（u），則當(dāng)n=k+1（k∈N+）時(shí)，考慮增加的項(xiàng)，

注意到當(dāng)u=0 時(shí)有

根據(jù)引理1、2、4、5 可得到分段近Hamilton 系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov 函數(shù)為

3 定理證明

引理6[5]設(shè)φi（u）為（0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)0 ＜u?1 時(shí)其中Ai≠0，1≤i≤k 且α1＜α2＜…＜αk，則存在實(shí)數(shù)B1，B1，…，Bk，使得上至少存在k -1 個(gè)正變號零點(diǎn).

定理的證明當(dāng)0 ＜u?1 時(shí)，

其中

因此有

其中

且σ4≠0，σ5≠0.

當(dāng)n=1 時(shí)，M1（h）=0 等價(jià)于

注意到

其中

令

因此，M1（h）=0 等價(jià)于

其中系數(shù)a1+b1μ1、a2+b1μ2+c1σ1、a3+b1μ3、a4+b1μ4+c1σ2、a5+b1μ5、a6+c1σ3、c1相互獨(dú)立.由引理6 可知存在實(shí)數(shù)a1、a2、a3、a4、b1、a6、c1，使得M（1h）=0 在（0，1）上至少存在6 個(gè)正變號零點(diǎn)，即存在一次多項(xiàng)式P（kx，y）、Q（kx，y），k=1、2、3 使得系統(tǒng)（1）ε至少存在6 個(gè)極限環(huán).

當(dāng)n=2 時(shí)，M1（h）=0 等價(jià)于

令

因此，M1（h）=0 等價(jià)于

其中系數(shù)a1+b1μ1、a2+b1μ2+c1σ1、a3+b1μ3、a4+b1μ4+c1σ2、a5+b1μ5、a6+b1μ6+c1σ3、a7+b1μ7、a8+c1σ4、c1相互獨(dú)立.由引理6 可知存在實(shí)數(shù)a1、a2、a3、a4、a5、a6、b1、a8、c1，使得M1（h）=0 在（0，1）上至少存在8 個(gè)正變號零點(diǎn)，即存在二次多項(xiàng)式Pk（x，y）、Qk（x，y），k=1、2、3 使得系統(tǒng)（1）ε至少存在8 個(gè)極限環(huán).

當(dāng)n≥3 時(shí)，M1（h）=0 等價(jià)于

用類似的方法可以證明存在實(shí)數(shù)ai（i=1，2，…，2n+2，2n+4），bj（j=1，2，…，[（n ＋1）/2]）, ck（k=1，2，…，[（n+1）/2]）（2n+3+2[（n+1）/2]個(gè)獨(dú)立參數(shù)），使得M1（h）=0 在（0，1）上至少存在2n+2[（n+1）/2]+2 個(gè)正變號零點(diǎn)，即存在n 次多項(xiàng)式Pk（x，y）、Qk（x，y），k=1、2、3 使得系統(tǒng)（1）ε至少存在2n+2[（n+1）/2]+2 個(gè)極限環(huán).進(jìn)一步，當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，極限環(huán)的個(gè)數(shù)為3n+2.當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí),極限環(huán)的個(gè)數(shù)為3n+3.