上三角矩陣李代數的強ad-冪零元

靳夢丹，胡志廣

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

1 引言和預備知識

在李代數理論中，著名的共軛定理是：特征為0的代數閉域上的有限維李代數的任意2 個Cartan 子代數關于內自同構群共軛.共軛定理與李代數的強ad-冪零元密切相關，而強ad-冪零元一定是ad-冪零的[1-2].在冪零李代數中無非平凡的強ad-冪零元，在半單李代數中，由強ad-冪零元指數生成的自同構子群是內自同構群[2].上三角矩陣李代數是一類重要的可解李代數，許多學者對其進行了研究[3-8].本文考慮特征為0的域F 上的3 階上三角可解李代數，給出了其所有的強ad-冪零元，并得到了其強ad-冪零元集在自同構群下的軌道.

設F 是特征為0 的代數閉域，t（n，F）={（aij）∈gl（n，F）|aij=0，i ＞j}為n 階上三角可解矩陣李代數，有時簡記為t.記Aut（L）為李代數L 的自同構群，Int（L）為L 的內自同構群.設σ 是有限維線性空間V上的線性變換，令

若Vλ≠{0}，則稱之為σ 關于λ 的根子空間.文中其他記號見文獻[1-2].

定義1設L 為域F 上的李代數，x∈L，若存在y∈L 以及ady 的某一非零特征值a，使得x∈La（ady），則稱x 為強ad-冪零的.

引理1[2]設φ∈Aut（L），則

定義2設稱O（x）={φ（x）|φ∈Aut（L）}為x 在自同構群Aut（L）作用下的軌道.

引理2設L 為F 上的李代數，其導子列為

設φ∈Aut（L），則φ（L(i)）=L(i)，i≥0.

2 主要結果

定理1設L=t（3，F），則ce23|a、b、c∈F}.

證明設則ady 在基e11+e22+e33，e11，e22，e12，e23，e13下的矩陣為

由此可得ady 的特征值為

下面分情況討論.

情況1若y11、y22、y33互不相等，則λ1、λ2、λ3均不為零，有如下情形.

（1）若y11+y33≠2y22，則λ1、λ2、λ3互不相等，此時ady 的非零特征值的根空間均為特征子空間.計算得

（2）若y11+y33=2y22，則有λ1=λ2≠0，λ3=2λ1，計算可得

情況2若y11、y22、y33中僅有2 個相等，則有如下情形.

（1）若y11=y22≠y33，即λ1=0，λ2=λ3≠0，則解（ady-λ2id）2x=0 可得Lλ2=Fe23+Fe13.

（2）若y22=y33≠y11，即λ2=y22-y33=0，λ1=λ3≠0，則

（3）若y11=y33≠y22，即λ3=y11-y33=0，λ1=-λ2≠0，此時計算得

情況3若y11=y22=y33，此時無非零特征值.

綜上可得到t（3，F）的所有強ad-冪零元.證畢.

推論設L=t（3，F），則E（L）=Int（L）.

證明由定理1 及其證明知，若adx 冪零，則x=λI+y，其中I 為3 階單位陣，y 為強ad-冪零元.所以adx=ady，因此E（L）=Int（L）.

定理2設L=t（3，F），φ∈Aut（L），取L 的一組基

則φ 在這組基下的矩陣為

或者

證明設

因為李代數的自同構將中心映為中心，而C（t）=Fε1，故有

由引理2 及L(1)=span{ε4，ε5，ε6}和L(2)=Fε6知

由[φ（e11），φ（e13）]=φ（e13）和[φ（e22），φ（e12）]=φ（-e12）可分別求得b2=1 和c2=0.再由[φ（e12），φ（e23）]=φ（e13）得f6=d4e5-e4d5.注意到f6≠0，則有d4e5≠0 或e4d5≠0.

當d4e5≠0 時，由[φ（e22），φ（e12）]=φ（-e12）得c3=1，d5=0，d6=c5d4，由[φ（e22），φ（e23）]=φ（e23）得e4=0，e6=c4e5；再由[φ（e11），φ（e23）]=0 得b3=0，b4=-c4；最后，由[φ（e11），φ（e22）]=0 可得b5=0，c6=-b4c5.由此可得自同構φ 的第1 種表達形式，容易驗證由這種形式定義的φ 是自同構的.

當e4d5≠0 時，利用同樣的方法可求得自同構φ的另一種表達形式.證畢.

注 容易求得t（3，F）的內自同構為定理2 的第1 種表達形式下的a1=1，b1=c1=0 的情形.關于n 階上三角可解李代數t（n，F）的自同構和內自同構可見文獻[3].

定理3李代數t（3，F）的強ad-冪零元集在其自同構群作用下的軌道分解為

證明由定理1 知e12、e12+e23和e13都是強ad-冪零元，再由定理2，可求出它們在自同構群下的軌道分別為

易知它們互不相交，且它們與零軌道的并就是所有的強ad-冪零元，因而可得自同構群作用下的軌道分解.證畢.