模糊度量空間中一類積分型壓縮映象公共不動點定理

張樹義，張芯語，聶 輝

（渤海大學數理學院，遼寧錦州121013）

1 引言與預備知識

不動點理論廣泛應用于多個數學研究領域，如微積分方程解的存在唯一性問題等.研究各種非線性映射在不同空間中的不動點存在性和算法及其應用是非線性泛函分析的研究熱點之一.文獻[1-5]討論了模糊度量空間的幾種定義.文獻[6-7]修正了文獻[5]給出的模糊度量空間的概念，并在這類模糊空間中獲得了Hausdorff 拓撲.文獻 [8-9]證明了依George 和Veeranani 意義由模糊度量空間誘導的拓撲是可度量的.文獻[10]依Kramosil 和Michalek 意義，在模糊度量空間中獲得了Banach 壓縮原理模糊形式.此后文獻[11 -13]在 Kramosil 和Michalek 以及 George 和Veeranani 意義下，在模糊度量空間中得到了一些不動點定理，其中文獻[11]引入模糊度量M 滿足三角不等式的概念，并在模糊度量空間中得到一些不動點定理.文獻[14]在模糊度量空間中建立了模糊度量M 滿足三角不等式的一類壓縮映象的公共不動點定理.文獻[15-16]在模糊度量空間中研究了Φ-壓縮映象的一些不動點定理.文獻[17]證明了模糊度量空間中模糊ψ-壓縮序列的不動點定理.文獻[18]證明了模糊度量空間中2 種弱相容映射的公共不動點定理.文獻[19]證明了概率和模糊度量空間中φ-壓縮映射的不動點定理.文獻[20]在概率度量空間中得到一類平方型映象的公共不動點的存在性.本文在模糊度量空間中研究一類積分型壓縮映象不動點的存在性，證明了若干新的公共不動點定理，從而改進和推廣了文獻[10-14]的相應結果.

定義1[5]稱映象*：[0，1]×[0，1]→[0，1]為連續t-范數，如果其滿足以下條件：

（1）*是可結合和可交換的；

（2）*是連續的；

（3）?a∈[0，1]，a*1=a；

（4）?a、b、c、d∈[0，1]，若a ＜c，b ＜d，則有a*b≤c*d.

定義2[6]稱三元組（X，M，*）為一模糊度量空間，若X 是非空集合，*是連續t-范數，M 是X×X×（0，+∞）上的模糊集，且?x、y、z∈X 和t、s ＞0，以下條件成立：

（1）M（x，y，t）＞0；

（2）M（x，y，t）=1 當且僅當x=y；

（3）M（x，y，t）=M（y，x，t）；

（4）M（x，y，t）*M（y，z，s）≤M（x，z，t+s）；

（5）M（x，y，·）：（0，+∞）→[0，1]是連續的.

若（X，M，*）為一模糊度量空間，稱（M，*）為X 上的模糊度量.

例1設（X，d）是度量空間，?a、b∈[0，1]，用a·b 表示通常的乘法，在X×X×（0，+∞）上定義函數則（X，Md，·）是一模糊度量空間，稱其為標準模糊度量空間，并且稱（Md，·）為d 誘導的標準模糊度量.

定義3稱三元組（X，M，*）為非Achimedes 模糊度量空間，若（X，M，*）是一模糊度量空間，*是滿足下列條件的*-范數.

定義4[6]（1）模糊度量空間（X，M，*）中序列{xn}收斂于x 當且僅當M（xn，x，t）→1（n→∞）.

（2） 稱模糊度量空間（X，M，*）中序列{xn}為Cauchy 序列，如果?r∈（0，1）和t ＞0，存在n0∈N，使得M（xn，xm，t）＞1-r，n、m≥n0.稱模糊度量空間（X，M，*）為完備的，如果其每個Cauchy 序列{xn}在X 中均收斂.

定義5[11]設（X，M，*）為模糊度量空間，稱模糊度量M 為三角的，如果?x、y、z∈X，?t ＞0，有

由定義5 知每個標準模糊度量（Md，·）都是三角的.

設Ω={g|g： [0，1]→[0，+∞）連續且嚴格遞減，g（1）=0}.

定義6稱模糊度量空間（X，M，*）為（C）g型的，如果存在g∈Ω，使得?x、y、z∈X，?t ＞0，有

注如果M 是三角的，取則（X，M，*）是（C）g型的.反之未必成立.

定義7稱模糊度量空間（X，M，*）為（D）g型的，如果存在g∈Ω，使得?s、t∈[0，1]，有g（s*t）≤g（s）+g（t）.

引理[16]（1）如果非Achimedes 模糊度量空間（X，M，*）是（D）g型的，則（X，M，*）是（C）g型的.

（2）如果（X，M，*）是非Achimedes 模糊度量空間，*≥*1，其中a*1b=min{a，b}，則（X，M，*）是（D）g型的，其中

2 主要結果

定理1設（X，M，*）為完備（C）g型模糊度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足下列不等式

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數且α+2γ ＜1，β+2μ ＜1；φ：R+=[0，+∞）→R+是Lebesgue 可積與可和的，即

如果f 或h 連續，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

證明對x0∈X，可歸納定義序列{xn}為x2n+1=fx2n，x2n+2=hx2n+1，n=0，1，2，…，注意到如果對某個n，有xn=xn+1，則xn是f 與h 在X 上一公共不動點.事實上，如果對某個n，有x2n=x2n+1，則x2n是f 的一不動點.由式（2）有

從而

類似地，由式（1）可得

從而

于是?n、m 和t ＞0，有

從而

推論1設（X，M，*）為完備（C）g型模糊度量空間，f 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0，λ ＜1； φ： R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f 連續，則f 在X 上有一不動點.

取φ（t）=1，由定理1 可得推論2.

推論2設（X，M，*）為完備（C）g型模糊度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0，α、β、γ、μ 為非負實數且α+2γ ＜1，β+2μ ＜1.如果f 或h 連續，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

設（X，M，*）為非Achimedes 模糊度量空間，如果取連續t-范數為a*b=min{a，b}，則由引理知（X，M，*）是（D）g型的，其中進而它也是（C）g型的，于是由定理1 可得定理2.

定理2設（X，M，*）為完備非Achimedes 模糊度量空間，其中連續t-范數為a*b=min{a，b}，a、b∈[0，1），f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數且α+2γ ＜1，β+2μ ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f 或h 連續，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

定理3設（X，M，*）為具有M 三角完備的模糊度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足下列不等式

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數且α+2γ ＜1，β+2μ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f或h 連續，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

證明因為M是三角的，取則（X，M，*）是（C）g型的.由定理1 可知定理3 成立.證畢.

推論3設（X，d）為完備度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數且α+2γ ＜1，β+2μ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f或h 連續，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

如果M 不是三角的，取連續t-范數為a*b=min{a，b}，則有如下結果.

定理4設（X，M，*）為完備模糊度量空間，連續t-范數為a*b=min{a，b}，a、b∈[0，1]，f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數且α+2γ ＜1，β+2μ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積的，且0，ε ＞0.如果f 或h 連續，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

證明對x0∈X，可歸納定義序列{xn}為x2n+1=fx2n，x2n+2=hx2n+1，n=0，1，2，…，取由式（9）、式（10）和定理1 的證明過程可得，對n=1，2，3，…及t ＞0，有

這表明{xn}是完備模糊度量空間（X，M，*）中的Cauchy序列.因此由類似于定理1 的證明過程，可得f 與h在X 上有一公共不動點.證畢.

推論4設（X，M，*）是完備模糊度量空間，連續t-范數為a*b=min{a，b}，a、b∈[0，1]，f 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0，λ ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積的，且如果f 連續，則f 在X 上有一不動點.

例2?t∈R+=[0，+∞），取φ（t）=2t，則φ：R+→R+是Lebesgue 可積的，且設X=R，a*b=min {a，b}，a、b∈[0，1].對x、y∈X，t ＞0，定義則易知（X，M，*）為完備的模糊度量空間.對x∈X，定義f、h：X→X 為fx=則有