立體幾何動態問題從空間到平面的轉化策略

林良斌

【摘要】高中立體幾何是培養學生空間想象能力和邏輯思維能力的重要載體，在高考試卷中，以立體幾何為載體的試題，一般有兩種形態，一個是靜態的，通過靜止幾何體的一些點線面的關系通過推理得到另一些點線面間的關系，這種題目相對比較固定，學生們通過訓練就能基本得到分數;另一類就是動態的，在原來固定幾何體的線、面上加入了若干動點或動直線，讓靜止的東西運動起來，這樣的考題更加靈活，更富變通性，對學生來說，解決這類問題對其空間想象能力、邏輯推理能力的要求更高，這類問題往往把立幾知識和其他部分的知識有機地結合起來，難度一般比較大，解決問題的關鍵就是轉化與化歸，把空間問題轉化為平面問題的降維處理，經過這樣處理以后，這個問題就變成平面問題，再按照平面問題的方法來解決.本文將從降維的角度來剖析這類問題轉化策略.

【關鍵詞】立體幾何;動態問題;轉化策略

一、引 言

新課標高考題對立體幾何的考查有關直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及其度量的問題，在學習過程中培養和發展考生的數學抽象，邏輯推理、直觀想象能力和運算求解素養，體會數學研究方法的模式化特點，感受理性思維的力量，提高數學素養.

二、立體幾何動態問題從空間到平面的轉化分析

空間直觀想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學習中形成.縱觀近幾年全國及各省高考試題，對立體幾何中的動態問題的考查逐年加重，要求學生要有較強的空間想象力和準確的計算運算能力，才能順利解答.從實際教學和考試來看，學生對這類題看到就頭疼.分析原因，首先是學生的空間想象力較弱，其次是學生對這類問題沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理.

（一）通過作點到面的垂線把點面距離轉化為點線距離

例1 空間點到平面的距離如下定義：過空間一點作平面的垂線，該點和垂足之間的距離即為該點到平面的距離.平面α，β，γ兩兩互相垂直，點A∈α，點A到β，γ的距離都是3，點P是α上的動點，滿足P到β的距離是到P到點A距離的2倍，則點P的軌跡上的點到γ的距離的最小值.

很多學生看到這道題目時，都被這個復雜的題目嚇到，都不知道該如何下手，于是筆者指導他們先把圖畫出來，等他們把圖畫出來以后，一些人就會從A往直線a，b引垂線，進而發現點A到β，γ的距離就是A到a，b的距離，如果還有沒發現的人，筆者就指導他們做垂線，進而讓他們證明與發現，這個過程從表面上來看是很自然的過程，但對一些空間想象能力較差的學生來說就比較困難，這就需要教他們怎么把問題進行轉化與化歸處理.

評析 本題中把空間中另一個平面β內的兩條線段的長度比，通過三角形的相似比把空間中的兩條直線的長度之比映射轉移到平面α內的兩條線段的比，進而通過平面幾何的方法來解決問題.

三、拓展思考

在這類立體幾何問題中，三維空間點線面與二維平面的點線本質上就是映射關系，例如，投影變化，一個幾何體在一個平面上的投影，點投成點，線可以投成點，也可以投成線，面可以投成線也可以投成面，不同的映射關系把空間三維中的點面關系映射為二維平面的點線關系，但通過這樣的映射關系，點線面之間保留了原來相對有規律的位置關系，比如，求異面直線夾角時，我們經常通過平移變換把原本異面的直線移動到同一個平面內，這個過程中就保持了線線夾角的不變，再通過余弦定理就可以輕松求出異面直線的夾角.

把空間三維問題轉變成平面二維問題的降維處理，一般需要三個步驟，一就是搞清楚立體圖形間的線線，線面，面面之間的位置關系;二就是把三維中的幾何元素間的關系通過一定的映射關系對應到一個平面內幾何元素間的關系，三就是利用平面幾何等相關的知識解決問題.這個過程中實現了由未知到已知，由陌生到熟悉的轉變，大大提高學生的解題興趣和效率.

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