基于固有頻率的梁結構疲勞損傷演化規律

衛軍，杜永瀟

(中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075)

在車輛等重復荷載作用下，橋梁結構將產生疲勞損傷累積，從而導致其結構功能退化，影響橋梁的正常使用性能和安全性能[1-3]，有效識別橋梁結構的疲勞損傷及其損傷演化規律是定量評價鋼筋混凝土橋梁結構性能退化及使用壽命預測的重要前提。國內外許多學者進行了梁結構疲勞性能試驗研究[4-9]，并針對疲勞損傷演化規律提出了以剛度[8-11]、應變[12]、超聲波速[13]等定義的損傷變量研究方法。但目前有關梁結構疲勞性能的研究方法比較單一，對梁結構的疲勞損傷演變過程及其失效機理仍不統一，難以滿足現今快速發展的高速鐵路和重載鐵路的建設需要，亟需采用新的研究手段對該問題展開研究。近年來，基于動力特性的混凝土梁損傷識別和監測方法應用越來越廣，NEILD等[14]通過對鋼筋混凝土梁進行沖擊激振試驗，研究了非線性損傷振動特性，發現非線性振動行為隨損傷而發生變化；HAMED等[15]通過數值算例研究了裂縫等損傷的影響對預應力梁固有頻率的非線性行為，發現大的裂縫損傷會導致固有頻率急劇減少；曹暉等[16]通過對預應力混凝土梁的單調加載與動測分析，發現隨著損傷加重，梁的1階頻率逐漸減小。以上研究均表明梁結構損傷與動力特性具有一定的相關性，但都沒有考慮疲勞歷程中損傷對梁動力特性的影響。AHN 等[17]首先將動力測試與疲勞試驗相結合，通過測量得到疲勞試驗前后的動態特性的變化，但未對考慮疲勞損傷的動力特性演化規律進行深入研究，基于動力特性的疲勞損傷演化研究也很少。鑒于梁結構的動力特性能夠真實地反映其實際狀態，結構動力參數變化能夠反映結構整個疲勞過程中的損傷演變，本文作者研究疲勞損傷演化對梁結構模態頻率的影響機制，以期提出一種以固有頻率為損傷變量的混凝土梁結構疲勞損傷演化規律研究方法。首先，考慮到剪切變形和轉動慣量對梁結構高階頻率影響較大[18]，在Timoshenko 梁自由振動方程的基礎上引入疲勞作用的影響，推導出疲勞歷程固有頻率理論計算公式；通過對2根預應力混凝土模型梁的疲勞試驗研究和動力測試，得到疲勞歷程中梁各階實測頻率，以驗證固有頻率疲勞理論公式的準確性；最后，以模型梁第1階固有頻率作為損傷變量，分析得到基于第1階固有頻率的梁結構疲勞損傷演化規律。

1 疲勞作用下梁結構理論頻率計算

梁結構最重要的動力特性是固有頻率，它實際上表征梁結構對動荷載的敏感程度。具有連續質量分布的結構有無窮多個固有頻率，而僅有低階頻率有實際應用。假如施加于結構的激振力具有寬頻帶，結構僅對接近本身固有頻率的頻率作出響應。這就是固有頻率較重要的原因[19]。

1.1 引入疲勞作用的Timoshenko梁振動方程

在工程中，當梁的高跨比較大或采用對剪應力比較敏感的材料時，梁在運動過程中剪切變形和轉動慣量對其自振頻率影響較大，不可忽略，這類梁稱為Timoshenko梁。

基于Timoshenko梁理論，長度為L的梁沿軸線方向變化的抗彎剛度為EI(x)，單位長度質量為ρA(x)，梁的橫向振動位移u(x)為坐標x和時間t的函數，則Timoshenko梁自由振動方程表達式如下[18]：

式中：E和G分別為材料的彈性模量和剪切彈性模量；I為梁截面慣性距；κ′為因剪應力沿截面分布不均勻而引用的修正系數，為與截面形狀有關的常數因子，稱為截面的有效剪切系數。在引入疲勞作用時，一般認為梁質量不隨著疲勞循環過程而變化，梁抗彎剛度隨著疲勞循環過程而退化，定義疲勞作用下剩余抗彎剛度比φ為

式中：B0為梁的初始抗彎剛度；B(n)為疲勞n次后的抗彎剛度，B=EI。在混凝土梁疲勞過程中，隨著裂縫等損傷的產生與發展，抗彎剛度EI作為一個整體在疲勞過程中退化。為了方便計算，這里認為在梁疲勞直至破壞過程中，截面慣性矩I作為抗彎剛度EI整體退化的主要退化參數；而彈性模量不隨疲勞次數變化而變化，記為Eˉ，表示等效彈性模量，從而與通常所指的彈性模量E相區分，則有

將疲勞損傷變量代入Timoshenko 梁自由振動方程中，得

式(4)即為引入疲勞作用的Timoshenko 梁自由振動方程。可見，式(4)中包含ρI0φ(n)的項(轉動慣量作用項、轉動慣量與剪切變形耦合項)引入的損傷變量系數也是φ(n)。

1.2 自由振動方程求解

采用分離變量法，假定式(4)解的形式為u(x,t)=?(x)sin(ωt)，其中，φ(x)為固有振動的模態，ω為簡諧振動的圓頻率，并令λ4=ω2ρA/(EˉI0)，則由式(4)得

對于任意邊界條件的梁，求解式(5)較困難。而對于簡支梁，可設振型函數表達式為

解式(8)得

由λ4=ω2ρA/()可得

固有頻率wj與圓頻率ωj有如下關系：

將式(10)代入式(11)可得

式(12)即為引入疲勞作用的Timoshenko 梁第j階固有頻率計算公式，根據此公式，便可計算出疲勞n次直至疲勞破壞的Timoshenko梁第j階固有頻率。

定義式(12)的中括號部分為頻率修正系數η，則有

頻率修正系數η表征由于剪切變形和轉動慣量的影響所導致的梁自振頻率修正程度，顯然，它也是隨疲勞次數變化而變化。

2 疲勞試驗

2.1 模型梁制作

選取32 m 普通高度標準鐵路橋梁預應力混凝土簡支T 梁為原型梁，根據相似理論，制作原型梁的1:6縮尺模型作為模型試驗梁[9]。設計參數見表1，試驗梁尺寸見圖1。表1中，fptk為預應力鋼絞線的極限強度標準值。前期研究制作模型梁共3根，其中1根梁(編號50894)用于靜載試驗，以確定疲勞試驗所需的靜力極限荷載Pu；另外2 根(編號分別為50892 和50895)用于等幅疲勞試驗。試驗前，3 根梁均存放1 a，以減少混凝土收縮徐變對試驗結果的影響。

2.2 模型梁所用材料

2.2.1 混凝土

混凝土中水泥、水、石、砂、減水劑密度比為460:118:1 092:735:4.2。水泥選用P?II42.5R 級硅酸鹽水泥；粗骨料為石灰巖碎石，最大粒徑不大于20 mm；細骨料為天然河砂；減水劑為高星RH-1 聚羧酸高效減水劑；水為日常飲用水。每根梁預留混凝土試塊，其力學性能測試與模型梁試驗同時進行。測試力學性能時，混凝土試塊齡期為澆筑后1 a。混凝土試塊實測混凝土力學性能見表2。

2.2.2 普通鋼筋與預應力筋

由相似原理，模型梁與原型梁幾何相似，若要保證兩者的配筋率相同，則鋼筋面積一定要相似。模型梁截面配筋見圖1。縱筋采用HRB335 級鋼筋，直徑為10 mm；按照鐵路橋梁設計構造要求，在梁純彎段內布置A8(HPB300)、間距為100 mm的箍筋，其他區段內間距為50 mm。鋼筋的實測力學性能參數見表3。

表1 模型梁設計參數Table1 Design parameters of model beams

圖1 模型梁尺寸及配筋圖Fig.1 Dimensions and reinforcement for beam

表2 實測混凝土力學性能參數Table2 Measured mechanical properties of concrete

預應力鋼筋采用2 束7?5(即7 根直徑為5 mm)的鋼絞線，直徑d=15.2 mm，極限強度標準值fptk=1 860 MPa，采用拋物線型布置。預應力筋采用兩端張拉(單孔千斤頂單根鋼絞線對拉，分2 次完成)，張拉控制應力σcon=1 116 MPa，超張拉5%。張拉時，混凝土齡期均超過28 d。模型梁實物圖見圖2。

表3 實測鋼筋力學性能參數Table3 Measured mechanical properties of steel

圖2 模型梁實物圖Fig.2 Entity model beam

2.3 疲勞試驗加載及參數設置

試驗加載方式見圖3，模型試驗梁兩端簡支。加載點與簡支支座處均設置鋼墊板，以防止發生混凝土出現局部破壞。試驗均在中南大學高速鐵路建造技術國家工程實驗室PMS-500數顯式脈動試驗機上進行。疲勞試驗采用等幅正弦波加載，加載頻率為3.5 Hz，試驗主要參數見表4，疲勞荷載下限值Pmin取0.2Pu，疲勞荷載上限值Pmax分別取0.45Pu和0.5Pu，ΔP=Pmax-Pmin。

表4 模型梁試驗參數及疲勞壽命Table4 Test parameters and fatigue life of model beams

圖3 加載方式圖Fig.3 Loading mode diagram

為獲取疲勞過程中梁的頻率，需進行動測試驗，故在文獻[20]的基礎上，將等幅疲勞試驗過程分為靜載試驗、動測試驗和疲勞試驗3個階段。首先，對初始完好模型梁進行1次模態測試，動測試驗采用激振法，采集加速度信號進行模態分析；然后，按照靜力單調加載試驗的加載程序，通過分級加載至疲勞上限荷載，量測各級荷載下的應變、裂縫寬度、撓度等及其發展情況；最后，進行疲勞試驗，在疲勞荷載循環至1萬次、5萬次、10萬次等后停機(依此類推，直至模型梁接近破壞時為止)，分別如前所述進行1 次動測試驗和1次加載至疲勞上限荷載的靜載試驗。

2.4 測點布置與數據采集

為了測試模型試驗梁的撓度，在梁端支座、加載點、跨中等5處布有百分表(見圖3)。在疲勞過程中，每循環一定次數停機，進行靜力試驗，測試荷載-撓度關系曲線。

進行動測試驗時，采用JZT型激振器放置在梁各階理論模態振型最大值處進行激振，選取梁各階理論頻率上下10 Hz 范圍內進行掃頻，利用DH5922 動態信號采集分析儀及其配套傳感器進行加速度信號采集。傳感器布置見圖4。將梁等長劃分為10 個單元，分別在11 個單元節點上布置加速度傳感器，采樣頻率為1 kHz，采用SSI法進行模態分析。

圖4 加速度傳感器布置圖Fig.4 Distribution of acceleration sensor

3 試驗結果及分析

3.1 主要試驗現象

靜載試驗梁50894 的靜載破壞始于受拉鋼筋屈服，跨中受壓區混凝土被壓潰，屬于典型的彎曲破壞，見圖5(a)。試驗所測得極限承載力Pu=265 kN。

圖5 模型梁破壞形態Fig.5 Failure patterns of model beams

疲勞試驗梁50892和50895的疲勞壽命Nf見表4。在純彎段內普通鋼筋發生疲勞斷裂，預應力筋沒有出現斷裂現象，見圖5(b)；在疲勞初期及中期，裂縫逐漸發展；在臨近疲勞破壞時，裂縫數量和寬度急劇擴展，出現了明顯的樹枝狀斜向裂縫，見圖5(c)；普通鋼筋突然斷裂，試驗梁撓度急劇增大，梁體仍具有承受疲勞荷載的能力，但施加在梁上的疲勞外荷載下降明顯。

3.2 疲勞抗彎剛度退化分析

根據簡支梁在外荷載作用下的撓曲線方程可得抗彎剛度表達式[21]：

式中：P為施加的外荷載；f為對應荷載下的撓度；S為常系數，與支撐條件、荷載作用位置和梁長有關。對于本試驗模型梁跨中截面，分析可得S=3.044 6。通過靜載試驗獲得的荷載撓度曲線，利用最小二乘法擬合成直線，可得其斜率kn為

式中：i表示第i級荷載，共14 級；Pi和fi分別為第i級外荷載及其對應的撓度。可以得到疲勞抗彎剛度為

通過式(2)定義的疲勞作用下抗彎剛度退化率，計算得到2根梁疲勞抗彎剛度退化曲線，見圖6。

圖6 疲勞抗彎剛度退化曲線Fig.6 Stiffness degradation curves of fatigue bending

從圖6可以看出：疲勞應力幅不同的2 根試驗梁的剛度退化都呈現出相同的三階段衰減規律，并且具有很明顯的倒“S”形。在疲勞加載初期階段，疲勞剛度有較大幅度的下降，剛度退化率可達15%～25%，該階段的服役期約占壽命期的10%；而在中間階段則呈現出比較穩定的線性發展過程，此階段的服役期占疲勞壽命期的絕大部分，最高可以達到其壽命期的80%左右；在疲勞壽命期的末段，梁的剛度退化速率迅速增大，開始進入脆性疲勞斷裂階段，該階段的服役期占約整個疲勞過程的5%～10%。

對比2根梁剛度退化曲線可以看出：疲勞應力幅越大，其剛度退化越明顯；在疲勞前期，應力幅較大的梁50892具有更大的剛度衰減速率；進入疲勞中期后，其剛度退化率接近25%，而應力幅較小的梁50895在疲勞中期的剛度退化率為15%左右；達到疲勞壽命后，兩根梁的剩余抗彎剛度比基本相同，均為55%～60%。

3.3 疲勞歷程頻率演變及分析

3.3.1 疲勞歷程理論頻率計算

混凝土彈性模量E根據材料力學性能試驗測得(見表2)，其力學性能測試與模型梁試驗同時進行；剪切模量G通過關系E=2G(1+ν)計算得到，其中混凝土泊松比取ν=0.2；試驗模型梁質量密度取ρ=2 500 kg/m3；模型尺寸采用實際施工成型的尺寸。

對于T字型截面，截面有效剪切系數κ′可由下式計算：

式中：A為截面面積；A1為腹板面積。本例中，κ′=3.804。

通過式(12)，結合疲勞試驗剛度，計算得到模型梁理論頻率如表5所示。

3.3.2 疲勞歷程實測頻率

以梁50895疲勞試驗前的模態測試為例，對梁進行激振，并采集各傳感器的加速度信號，信號的加速度時程曲線如圖7所示。用SSI 法進行模態分析得到其前3 階頻率分別為24.803，60.426 和141.294 Hz，圖8所示為對應的前3階模態振型。從圖8可以看出：由于受梁本身剛度差異、噪聲、測試儀器及傳感器等影響，振型并不是理想的三角函數曲線。

圖7 加速度時程曲線Fig.7 Relationship between acceleration and time

圖8 前3階模態振型Fig.8 First three modal shapes

通過模態分析得到2根梁在疲勞歷程中的頻率如表5所示。

對比梁頻率理論值與實測值可以看出：理論計算得到的第1 階頻率和第3 階頻率與實測結果相差不大，相對誤差不超過14%，在合理范圍內；而理論計算的第2階頻率相對誤差則較大，但誤差也在24%以內。對于實體鋼筋混凝土梁結構而言，該誤差的產生主要有以下原因：在理論計算方面，計算參數的變異性以及未考慮疲勞過程中沿梁軸線方向上剛度不均勻等；在試驗方面，混凝土梁施工水平導致梁體不密實、測試環境噪聲的干擾、測試及傳感儀器都是產生誤差的原因。但綜合曹暉等[16]對實驗模態的分析研究結果，本文疲勞歷程固有頻率的理論計算結果與實測結果誤差在合理范圍內，基本滿足工程需要。

表5 梁頻率及偏差Table5 Frequency and deviation summary of beams

3.3.3 疲勞歷程頻率退化規律

參照式(2)，定義疲勞作用下頻率退化比γ為

式中：w0為初始固有頻率；w(n)為疲勞n萬次時的固有頻率。則得到疲勞歷程中前3階實測頻率的頻率退化比見表5，頻率演變曲線見圖9。

從圖9和表5可以看出：隨著疲勞次數增加，梁頻率也具有類似抗彎剛度退化的3階段衰減規律，即在疲勞初期，隨著裂縫產生，梁剛度急劇下降，各階頻率也具有急劇下降過程，其中第1階頻率的退化最快；在疲勞中期，則呈現出比較穩定的衰減演化過程；在疲勞末段，梁頻率再次迅速下降。此外，在疲勞作用下，無論是理論結果還是實測結果，第1階頻率的退化幅度最大，第2階頻率次之，而第3階頻率的退化幅度最小。對比不同應力幅的2片梁，基本上應力幅較大的梁各階頻率的退化速度均比應力幅較小的梁的退化速度大。

3.3.4 頻率修正系數η

通過理論計算得到疲勞過程中頻率修正系數η如表6所示。

圖9 實測頻率退化曲線Fig.9 Degradation curves of measured frequency

頻率修正系數η反映剪切變形和轉動慣量對梁自振頻率的影響，它既隨模態階次的變化而變化，也與疲勞次數相關，呈現出如圖10所示的三維變化關系。

表6 頻率修正系數ηTable6 Frequency correction factors η

圖10 頻率修正系數η三維曲面Fig.10 3D curves of frequency correction factor

從圖10和表6可以看出：模型梁在疲勞一定次數后的某個狀態下，隨著模態階次增大，η越小，表明剪切變形和轉動慣量對梁結構高階頻率的影響較大。

隨著疲勞次數增大，梁各階η呈現增大的趨勢，說明經過一定疲勞次數后，剪切變形和轉動慣量對梁固有頻率的影響有所減小。從機理方面而言，在疲勞過程中，隨著裂縫、損傷等的產生與發展，實際上梁所受的剪切變形和轉動慣量的影響是逐漸退化的。而由表5和圖9可看出梁實測頻率在疲勞過程中表現出遞減的趨勢，這是因為式(12)中在疲勞過程中急劇降低，而η增大并沒有減弱wj整體降低的趨勢。

4 基于固有頻率的疲勞損傷演化

4.1 疲勞損傷模型

任何疲勞累積損傷模型都包含以下3個方面的內容：1個載荷循環對材料或結構造成的損傷；多個載荷循環時損傷的累加；失效時的臨界損傷[22]。在現有混凝土梁結構疲勞損傷的研究中，通常是以抗彎剛度來定義損傷變量的。由前面研究可見，類似于抗彎剛度所呈現的3階段非線性退化規律，試驗梁頻率變化規律也具有非線性，由于固有頻率變化與材料彈性模量、結構剛度及內部微缺陷等緊密相關[14-15]，因此，以固有頻率定義的損傷變量能反映梁結構各參數的綜合損傷劣化程度。

定義基于固有頻率的損傷變量Dw為

式中：w0為初始固有頻率；wn為某一疲勞循環次數時的固有頻率；wNf為試驗梁疲勞破壞時的固有頻率。式(17)定義的損傷變量Dw的變化范圍為0～1，Dw=0對應于試驗梁的無損狀態，Dw=1對應梁完全疲勞破壞。損傷變量Dw為單調遞增的函數，即試驗梁的疲勞損傷程度隨荷載循環次數的增加而增大，且損傷是不可逆的。

考慮到實際工程的橋梁動力測試中，由于第1階模態頻率的能量占有較大比例，具有較高的準確性，同時第1階頻率的頻率退化幅度最大，所以，這里采用第1階模態頻率來定義損傷變量。綜合損傷累積擬合曲線[23]，經過比選后，選用下式進行擬合：

式中：α和β為模擬試驗參數。采用最小二乘法對試驗結果進行非線性回歸分析，得到模擬試驗參數，見表7。2片梁的擬合度R2均接近1.000 00，說明該模型擬合程度較高。

表7 疲勞損傷非線性模型擬合參數Table7 Fitting parameters of fatigue damage nonlinear model

4.2 疲勞損傷演化規律

根據式(18)和擬合參數得到2 根梁不同疲勞荷載下的疲勞累積損傷函數：

基于1階固有頻率試驗梁疲勞累積損傷演化規律見圖11。

圖11 基于固有頻率的疲勞損傷演化曲線Fig.11 Fatigue damage evolution curve based on frequency

從圖11可以看出各試驗梁疲勞損傷演化規律具有明顯的非線性，整個疲勞損傷演化可分為3 個階段：在損傷初始發展的第1階段，疲勞累積損傷急劇增加達到穩定水平；第2階段，疲勞累積損傷緩慢增大；隨著循環次數增加，疲勞累積損傷進入第3 階段。第3階段疲勞累積損傷在第2階段累積損傷的基礎上又開始急劇增大，直至試驗梁完全破壞失去承載力為止。這一演化規律與朱紅兵等[8,13]通過疲勞剛度方法和超聲波速法描述梁結構的疲勞損傷演化規律基本一致。

對比2根梁疲勞損傷演化曲線還可以看出：疲勞應力幅越大，其損傷發展越劇烈；疲勞前期，應力幅較大的梁50892 損傷發展程度較梁50895 更迅速，在2根梁分別達到損傷閾值0.68和0.56時，進入損傷穩定發展的疲勞中期；梁50892進入疲勞末期的損傷閾值約為0.85，大于梁50895 的損傷閾值0.82。縱觀整個發展過程，應力幅較大的梁損傷發展總是超前于應力幅較小的梁，而大應力幅梁的低壽命特性也顯示了此演化規律的合理性。

在實際工程中，對橋梁結構動力特性的識別監測應用較廣泛，本研究以第1 階固有頻率為損傷變量，有效地模擬了梁結構非線性3 階段疲勞損傷演化規律。通過對疲勞損傷累積曲線的研究，結合疲勞損傷3階段閾值的識別，可為結構性能退化程度判定及剩余壽命預測提供研究基礎。

5 結論

1)在Timoshenko 梁自由振動方程的基礎上，引入疲勞作用的影響，推導得到梁結構的疲勞歷程固有頻率理論解；通過對2根預應力混凝土模型梁的疲勞試驗和動測研究，驗證了疲勞固有頻率理論公式計算前3階疲勞固有頻率的準確性，最大相對誤差不超過24%，滿足工程需要。

2)通過理論與試驗研究，發現梁頻率也具有類似抗彎剛度退化的3 階段衰減規律。在疲勞作用下，第1階頻率的下降幅度最大，第2階頻率的下降幅度次之，而第3階頻率的下降幅度最小。

3)梁結構在疲勞一定次數后的某個狀態下，隨著模態階次增大，頻率修正系數越小，表明剪切變形和轉動慣量對梁結構高階頻率的影響越大；隨著疲勞次數增大，梁各階頻率修正系數呈現增大趨勢，說明經過一定疲勞次數后，剪切變形和轉動慣量對梁固有頻率的影響有所減小。

4)提出一種以固有頻率為損傷變量的混凝土梁結構疲勞損傷演化規律研究方法，以梁結構第1階固有頻率作為損傷變量，得到試驗梁在不同疲勞荷載幅值下的疲勞累積損傷函數，可為結構性能退化程度判定及剩余壽命預測提供研究基礎。