解讀雙動點軌跡之線段最值問題的捆綁變換

李登位

(湖北省恩施市龍鳳民族初級中學 445000)

一、前言

所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖象等幾何圖形，通過“圖形變換、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理.選擇基本的幾何圖形，讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養學生解決問題的能力．在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程.在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路，這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質.

二、舉例解析

數學卷中的數學壓軸題中涉及數形結合、動態幾何、動手操作、實驗探究等方面題型較多、題意創新，目的是考查學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等，更好地培養學生解題素養.

線段最值問題最常見的就是定點到動點最大距離或最小距離問題.因此，解決這類問題的關鍵在于弄清楚動點運動的軌跡.下面學習如何利用“捆綁變換”思想來探尋動點軌跡，從而解決線段的最值問題.

例1如圖1，矩形ABCD中，AD=2AB=4，長度為2的動線段AE繞點A旋轉，連接EC，取EC的中點F，連接DF，求線段DF長的最大值和最小值.

例2如圖2，AB=4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，以點P為直角頂點作等腰三角形△PBC(點P、B、C按照逆時針方向排列)，則線段AC長的取值范圍是____.

例3如圖，點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A(2，0).動點B在⊙O上，連接AB，作等邊三角形△ABC(A、B、C為順時針順序)，求OC的最大值與最小值.

思路分析需要明白從主動點B到從動點C是作了怎樣的變換？利用幾何畫板觀察到，將點B繞著點A按照順時針方向旋轉60度得到點C，再找從動點C所在圓的圓心和半徑，捆綁OB作相同的變換，即：將點O繞著點A按照順時針旋轉60度得到點O′，即以OA為邊向上作等邊△OAO′，則點O′就是點C所在圓的圓心，半徑為O′C.連接BO、CO′，因△ABC和△OAO′均為等邊三角形，則AO=AO′，AB=AC，∠BAO=∠CAO′，得△ABC≌△OAO′，CO′=BO=1，點C在以O′為圓心，1為半徑的圓上運動，而OO′=AO=2，CO′=BO=1，所以CO的最大值為3，最小值為1.

以雙動點為載體，圖形為背景，運動變化為主線創設的求線段最值問題，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題，要求學生認真讀題、領會題意、畫出不同情況下的圖形，判斷動點運動軌跡的形狀是解題的關鍵，根據圖形建立變量之間的關系，要求學生有扎實的基礎知識、靈活的解題方法、良好的思維品質；在解題思想上著重對數形結合思想、分類討論思想、數學建模等思想的靈活運用.要以靜代動的解題思想解題.