利用遞推關系求解數列通項公式的解題策略

許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學 224700)

數列問題一直是高考的熱點，也是難點.很多學生對數列都存在畏懼心理.其根本原因是他們對于數列的通項公式不夠了解，如果能夠把數列的通項公式求出來，那么很多問題都可以解決了.但是數列的通項公式如何求解呢？尤其是已經知道數列的項之間的遞推關系，如何快速準確地求出數列的通項公式又成為解決問題的關鍵.本文筆者根據自己平時的教學，將一些常見的題型利用例題的形式呈現給讀者.

一、形如an+1=pan+q型

例1已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1，求數列{an}的通項公式.

解因為an+1=3an+1，

二、形如an+1=pan+qn型

例2已知數列{an}滿足a1=1,an=3n+2an-1(n≥2),求an.

解因為a1=1,an=3n+2an-1(n≥2),

三、形如an+1=pan+an2+bn+c(p≠1,0;a,b,c為常數)型

例3已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2n-1，求an.

解因為a1=1,an+1=3an+2n-1,

所以an+1+(n+1)=3(an+n).

所以數列{bn}是以2為首項，3為公比的等比數列.

即bn=2×3n-1，故an=2×3n-1-n.

例4已知數列{an}滿足a1=1，an=3an-1+2n2-1(n≥2),求an.

解因為an=3an-1+2n2-1(n≥2),

設an+xn2+yn+z=3(an-1+x(n-1)2+y(n-1)+z)，整理得an=3an-1+2xn2+(-6x+2y)n+(3x-3y+2z).

評注這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即設an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=p[an+xn2+yn+z]與已知遞推式比較，解出x,y,z，從而轉化為公比為p的等比數列{an+xn2+yn+z}.

四、形如an+2=pan+1+qan(其中p,q均為常數)型

例5已知數列{an}滿足an+2=5an+1-6an,a1=-1,a2=2，求數列{an}的通項公式

解設an+2+λan+1=(5+λ)(an+1+λan)，比較系數可解得λ=-3或λ=-2.

不妨取λ=-2(取-3，結果形式可能不同，但是本質相同)，則有an+2-2an+1=3(an+1-2an)，則{an+1-2an}是以4為首項，3為公比的等比數列.

所以an+1-2an=4×3n-1.

評注對于an+2=pan+1+qan(其中p,q均為常數)可以將遞推公式轉換成an+2+λan+1=(p+λ)(an+1+λan)形式，比較系數可求得λ，然后設bn=an+1+λan，可以發現數列{bn}為等比數列，求出數列{bn}的通項公式，接著利用例2的方法求解數列{an}的通項公式.

五、形如為常數)型

所以log2an=1+2log2an-1,

即log2an+1=2(log2an-1+1).

設bn=log2an+1，則數列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數列.

bn=2n-1,故an=2(2n-1-1).