例談數(shù)列不等式證明中使用縮放法的策略

陳后萬(wàn)

(浙江省溫州市洞頭區(qū)第一中學(xué) 325700)

放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點(diǎn)內(nèi)容，在近年高考中重點(diǎn)考查.其難度主要是由于放縮方法靈活多變，技巧性要求較高.本文以典型數(shù)列為背景，抓住數(shù)列特點(diǎn)，恰當(dāng)采取方法，突出放縮本質(zhì)，來(lái)闡述對(duì)數(shù)列不等式證明使用放縮方法的策略、原則.

一、精準(zhǔn)把握縮放尺度 做到恰到好處

評(píng)注本題通項(xiàng)為分式結(jié)構(gòu)類(lèi)型，常見(jiàn)處理方式是由通項(xiàng)先縮放再求和，但要注意方式和細(xì)節(jié).若采用以下方式，則行不通：

(1)求數(shù)列{an}，{bn}中的通項(xiàng)公式；

解(1)解略.

(2)由(1)可得，

評(píng)注本題保持第一項(xiàng)大小不變，從第二項(xiàng)開(kāi)始放大，這個(gè)技巧要求較高.有時(shí)放縮后求出來(lái)的和與所要證明的結(jié)果有一定的差距，或是縮放過(guò)大或是縮放沒(méi)有到位，這時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．因?yàn)樵诜趴s過(guò)程中，一般前幾項(xiàng)放縮的幅度比較大，所以遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們可試試多保留前幾項(xiàng)真值，從第二或第三項(xiàng)開(kāi)始放縮.

放縮是一種能力，每項(xiàng)縮小一點(diǎn)點(diǎn)就太小，放大一點(diǎn)點(diǎn)又太大，這使學(xué)生找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺(jué)高不可攀，如何把握放縮的度，使放縮恰到好處，這正是放縮的精髓和關(guān)鍵所在.

二、緊抓數(shù)列核心條件，做到靈活變形

例3定義數(shù)列如下：

(1)對(duì)于n∈N*恒有an+1>an成立.

(2)當(dāng)n>2且n∈N*，有

an+1=anan-1…a2a1+1成立.

解(1)、(2)略.

(3)要證不等式

從而得an+1-1=an(an-1).

∴原不等式得證.

學(xué)生往往因?yàn)椴恢鶕?jù)數(shù)列的通項(xiàng)或遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，致使解題受阻.緊抓數(shù)列核心條件：遞推公式an+1=f(an)或通項(xiàng)公式，正確進(jìn)行數(shù)列不等式的縮放往往可以突破困難．

例4(2017·浙江高考)已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*)．

證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，(1)0

證明： (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(略)：

(2) 只需證xnxn+1-4xn+1+2xn≥0.

由條件xn=xn+1+ln(1+xn+1)得，

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，

評(píng)注本例中第二問(wèn)，采用的是函數(shù)思想解決問(wèn)題，抓住數(shù)列是特殊的函數(shù)這一層關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法，利用單調(diào)性來(lái)求最值來(lái)證明不等式，這也是數(shù)列不等式證明中常用的方法.本例中也是抓住數(shù)列遞推公式這一核心條件，先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成通項(xiàng)的一個(gè)不等式關(guān)系，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法來(lái)證明數(shù)列不等式，是一種重要的方法，可以解決一類(lèi)問(wèn)題.

緊抓數(shù)列核心條件，做到合理、靈活變形，這才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.當(dāng)然這樣的例子還有很多，如等比數(shù)列通項(xiàng)的迭代轉(zhuǎn)換.這里不再一一舉例.如何才能突破困難，還要靠學(xué)生不斷摸索，題目很多，解題方向可以歸類(lèi)，但涉及具體問(wèn)題上面，還有很多不同細(xì)節(jié)要處理.

建議學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中把相同類(lèi)型的數(shù)列不等式題目收集起來(lái)，多題一解，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的歸納能力，讓學(xué)生在對(duì)比中總結(jié)恰到好處的放縮方法.