轉(zhuǎn)化思想在立體幾何解題中的應(yīng)用探討

楊原明

(江蘇省西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 215021)

利用轉(zhuǎn)化思想來解決數(shù)學(xué)問題是最基本的解題思路.通過轉(zhuǎn)化，可以將抽象的問題變得直觀，將復(fù)雜的問題變得簡單化，以此來達(dá)到解決問題的目的.立體幾何是研究空間圖形、畫法和有關(guān)計算與應(yīng)用的一門學(xué)科.是建立在平面幾何知識內(nèi)容的基礎(chǔ)上研究的.從此可以看出，轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中的基本思想.

一、簡述轉(zhuǎn)化思想

將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題即為轉(zhuǎn)化思想，主要核心內(nèi)容就是把未知化為已知，把繁瑣的問題化為簡單的，把抽象化為具體等等，利用這樣轉(zhuǎn)化的思想可以節(jié)約解題的時間，并且還大大地提高了正確率，最終將我們遇到的難解題目轉(zhuǎn)化為簡單易解的問題.

在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何這一內(nèi)容的時候，很多學(xué)生不能把立體和平面的圖形區(qū)分開來，在解答立體幾何空間圖形的時候都會存在思維障礙，這就說明學(xué)生不能將空間圖形具體化，也就是不能把抽象問題具體化，所以，在教學(xué)過程中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，這樣有利于學(xué)生更好地建立起轉(zhuǎn)化的思想，也便于對抽象問題的解決.

二、概括立體幾何中空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的方法

高中課程學(xué)習(xí)立體幾何，有直線與平面這部分內(nèi)容，其中空間角的問題，比如，直線與直線所形成的角，直線與平面所形成的角，平面與平面所形成的角等等，在解決這類問題的時候，都可以用到轉(zhuǎn)化的思想，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，用平面內(nèi)的角度來描述空間內(nèi)角度的大小.根據(jù)線線、線面、面面垂直和平行的判定和性質(zhì)定理，可以有效地解決這類問題.概括起來主要有三種類型，接下來主要探討一下這三種類型.

1.空間角向平面角的轉(zhuǎn)化

空間角即兩條異面直線所成的角，直線和平面所成的角以及二面角，空間角的計算一般分為，一作，二證，三算.二面角的計算可以使用射影面積公式來計算，但是大部分空間角的計算方法都是將其轉(zhuǎn)化為平面角來計算的，充分挖掘圖形的性質(zhì)，尋求平行關(guān)系.例如，利用“中點”的性質(zhì)，直線與平面所成的角是平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，只要將斜線上取一點向平面引一條垂線，以形成由平面的斜線、垂線以及斜線在平面上的射影組成的直角三角形.異面直線所成的角，教學(xué)中都是將空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角來刻畫兩異面直線的交叉程度的.異面的直線就是指不在同一個平面內(nèi)的兩條直線，但是，就只憑借說它們不在同一個平面來說明它們之間的關(guān)系是不夠的，想要具體地描述出兩條異面直線的關(guān)系，就必須要借助數(shù)學(xué)量來進(jìn)行描述.在立體幾何中，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，用平面角的刻畫兩條異面直線所成的角.構(gòu)成的銳角或直角就是異面直線所成的角.因此可以看出，想要解出兩條異面直線所成的角，一般都是采用平移作出角圖形的辦法，然后再計算其大小.

例如：

直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間一點O，分別引直線m∥a,n∥b,相交直線m，n所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角.

異面直線所成角的計算.

平移其中一條或兩條使其相交；連接端點，使角在一個三角形中(或者平行四邊形等可以輕易求出角與角關(guān)系的基本平面幾何形中)；計算三條邊長，用余弦定理計算余弦值；若余弦值為負(fù)，則取其相反數(shù).可以看出，如果想要求異面直線所成的角，就必須先要轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角，再通過平面的幾何知識來求得角的大小.

2.空間距離向平面距離轉(zhuǎn)化

在立體幾何中，求解空間距離，即要轉(zhuǎn)化成平面距離，比如異面直線之間的距離，直線與平面之間的距離，點到直線的距離等等.在求解的時候，可以將其先轉(zhuǎn)化成線段，再求解線段的長度.例如

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．

(1)證明：AB1⊥BC1；

(2)求點B到平面AB1C1的距離.

建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用數(shù)量積證明垂直；

求出平面AB1C1的一個法向量，代入公式求點B到平面AB1C1的距離.

∴AB1⊥BC1.

(2)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面AB1C1的一個法向量.

令z1=1,∴n1=(1,0,1).

例題主要求解點到面的距離.由此可以看出，在求解空間距離的時候，最主要的是要找到點到平面的垂足，而線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理是找垂足的依據(jù)，空間距離的幾何意思即就是轉(zhuǎn)化思想，如將面面距離轉(zhuǎn)化為點面距離、線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，因此在求距離問題的時候，轉(zhuǎn)化為求點面的距離是重點.

3.空間度量向平面度量轉(zhuǎn)化

度量亦稱距離函數(shù)，是度量空間中滿足特定條件的特殊函數(shù)，一般用d表示.而在生活中空間度量是比較抽象的，平面度量則是比較直觀的.同樣，平面圖形的面積也肯定比空間圖形的面積好計算，比如生活中我們遇到的圓柱和圓錐等的側(cè)面積，則是利用將其展開為平面圖形再計算其面積的.

空間立體幾何的學(xué)習(xí)貫穿整個高中學(xué)習(xí)過程.在以往的高考中，立體幾何占有很大的分值，立體幾何也是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，通過轉(zhuǎn)化思想更好地學(xué)習(xí)解決立體幾何問題，這對于提高學(xué)生的思維能力有很大幫助.想要熟練地運用轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問題，就需要將轉(zhuǎn)化的思想完全理解.轉(zhuǎn)化思想對于普遍學(xué)生來說都是比較容易接受和掌握的，因為它能將復(fù)雜的問題簡單化，將模糊的邏輯清晰化，合理地將這些應(yīng)用到解題思路中，對解決問題大有幫助.由此可以看出，利用轉(zhuǎn)化思想來解決立體幾何問題，這樣會使問題簡單很多，所以，一定要理解和掌握轉(zhuǎn)化思想的真諦，以便為以后的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ).