入乎其內，出乎其外

林生

王國維的《人間詞話》說：詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外. 入乎其內，故能寫之. 出乎其外，故能觀之.入乎其內，故有生氣. 出乎其外，故有高致. 詩人寫詩作賦如此，我們對數學高考題的研究與學習與之也有異曲同工之處. 入乎其內，就是不能只是就題論題、表面解決，停留在該道題目的解法上，而是要對高考題進行深入分析，找到解題的思路和突破口，找到多種解題思路和方法，從而得到這類題的常規解法，接著找出其共性的知識和通性通法，對其通法深度挖掘和提煉反思;出乎其外，就是要分析歷年高考題，通過對真題的縱橫分析以及對其內在聯系的研究，找它的“前世今生”，找到其“源”與“流”，從而找到命題的趨勢，同時對此基本類型進行變式拓展，讓考生從題中悟“道”，從而舉一反三，開啟思維，縱橫聯系、觸類旁通，再加強訓練，實現“通一明百”，從而實現優效備考. 下面結合今年全國Ⅰ卷文科數學高考題的第20題來分析，通過對本題來實現對導數大題“入乎其內”和“出乎其外”，另外還對函數與導數中的常規題型及常用到的一些解題方法和技巧來進行舉例分析、變式和總結歸納，讓考生真正掌握處理函數與導數問題的實質，熟練運用其技巧，從而掌握這一類題型的基本方法和技巧，最終得出2020年高考函數與導數發展的趨勢，探窺出函數與導數大題優效備考的策略.

一、真題回放? 入乎其內

三、出乎其外? 覓悟“考道”

俗話說：“經驗豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙的背面.”作為備考2020年高考的考生，同樣也要一只眼睛看到高考題，另一只眼睛看到背面，要出乎其外，覓悟“考道”，這樣才能優效地備考. 綜合來看：今年的高考題其實是考查學生數學素養的一大嘗試，雖然和平時的“不大一樣”，但是根據往年全國卷的分析及考試說明可知：考綱中明確提出掌握導數在函數中的應用，特別是單調性、最值等方面，要求掌握單調性和最值這些基礎知識，但往往又涉及到考查分類討論、轉化與化歸、函數與方程等數學思想. 因此，我們在2020年備考時要突出利用導數這個工具，學會利用導數這個工具來解決問題，同時還要對構造函數、高等數學等方面進行恰當的研究和分析，要注重各類交匯知識的綜合，還要主動探尋相關知識的變通和不同知識的交匯，找到其“源”與“流”，覓悟出“備考之道”，因此我們要實現優效備考時要做好以下幾個方面：

（1）切實回歸基礎是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：雖然這次導數大題和往年的“面目全非”，加上這次位置往前移，但是本質卻沒有改變，都是考查基本的知識，注重的是通性通法，因此可知命題者的指向——回歸教材、注重通性通法. 因此在以后的備考中一定要重視基礎知識，要注重通性通法，但在現實的教學和訓練中恰恰是大搞“題海”戰術，盲目加大數學訓練，往往忽視回歸教材、對基本的通性通法的訓練.這種舍本逐末的做法導致了很多考生在今年高考吃了大虧，所謂的回歸教材，即對課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須記熟、理解;對數學語言（文字語言、圖形語言、符號語言）要準確表達與運用;重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導，要理清知識發生的本原（如公式的推導過程等），還要注意從學科整體意義上建構知識網絡，形成完整的知識體系，掌握知識之間內在聯系與規律，要學會多總結歸納，比如總結導數的常規題型有：①利用導數研究函數的單調性、單調區間以及已知函數的單調性，確定函數中的參變量變化范圍等問題;②求函數極值（點）、最值或已知極值（點）、最值求參數的取值范圍;③證明不等式恒成立或已知不等式恒成立求參數的取值范圍;④另外，利用導數研究三次函數，分式函數，指對函數的其它性質問題，方程根與函數零點問題，利用導數的幾何意義處理曲線的切線問題;利用導數解決實際問題中的最優化問題，這些也是高考經常涉及的地方. 那么，對于這些常規題型我們要讓學生學會用整體的觀點要將有關知識有機地串聯起來，形成知識之間的有機聯系，用結構性的觀念整體把握，充分地利用導數這個“工具”來解決問題，讓考生在學習中真正地理解和運用. 總之，在備考中對于課本的基本概念、知識要讓學生知其然，還要其所以然. 另外復習時考生還要深入研究教材.以教材中的例、習題素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當變形，典型例題.在這個過程中不追求數學解題中的所謂“技巧”，不搞“偏題”“怪題”.將最基本的數學方法進行提升和鞏固，突出思維能力和運算能力，及時引申拓展、培養歸納能力，這樣考生在高考中才可以達到融會貫通、高屋建瓴的境界.

（2）掃除“迷霧”，甄別“優劣”，領悟思想，提升靈活運用的解題能力

對于函數與導數的大題，有很多種題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，這時要求我們學會將題目中的“迷霧”掃除，要學會甄別解題方法的“優劣”. 要提升靈活運用解題的能力. 不管怎樣，其實導數的大題的處理手法都“殊途同歸”. 無論是求函數最值、極值，還是證明不等式、求參數的取值范圍，往往都要涉及用到函數的單調性，因此我們在備考的過程中要學會用選擇的方法轉化為函數單調性問題來處理，不管題目怎么“改頭換面”，這類問題的解決以構造函數、分離參數等為途徑，求導選擇核心函數為突破口，準確求解核心函數（特別是二次函數）為落腳點，同時在學習備考過程中要時刻注重滲透數學思想方法. 在備考時將思想、方法與基礎知識融為一體才是最有效的，注重對數學思想方法的分析，把相關題目學活、學懂、學深.（“學活”就是讓考生看到活生生的數學知識的來龍去脈和形成過程，而不是死的數學知識;“學懂”就是讓考生真正理解有關的數學內容，而不是囫圇吞棗、死記硬背;“學深”是指讓考生不僅能掌握具體的數學知識，而且也能感受、領會、形成、運用內在的思想方法）. 用“1234567”口訣（高中數學一線牽，代數幾何兩珠連，三個基本記心間，四種能力非等閑，常規五法天天練，策略六項時時變，精研數學七思想，誘思導學樂無邊）來備考：以函數為一條主線貫穿始終，將代數、幾何珠聯璧合，注重知識交匯;落實三基（方法熟、知識牢、技能巧）;提升四能力（概念運算準確、邏輯推理嚴謹、空間想象豐富、分解問題靈活）;重五法（換元法、配方法、待定系數法、分析法、歸納法）;運用六策略（以簡馭繁，正難則反，以退為進，化異為同，移花接木，以靜思動）;滲透強化七思想（函數方程最重要，分類整合常用到，數形結合千般好，化歸轉化離不了，有限自將無限描，或然終被必然表，特殊一般多辨證）. 所以，我們在平時解題中要注重方法和思路的分析，不斷地在解題中滲透強化，長期不懈地加強數學思想方法的訓練. 只有這樣，考生才可以領悟其真諦，內化每一種數學思想方法，同時在解題中時刻注重靈活運用和轉化，這樣才可以在高考中可以真正地破解這類難題，達到融會貫通、運籌帷幄于“決勝之顛”，真正地達到運用自如的境界，才最終演化為自己的數學素養，從而實現優效備考.

（3）加強“搶分”意識，重視規范解答，居高臨下識“玄機”

在函數與導數大題中，它具有較強的滲透力，它可和其它數學知識綜合起來，比如：含參函數與方程及與不等式結合問題，與不等式結合，證明函數不等式（均構造兩個函數或由函數不等式恒成立求參數的范圍），函數方程結合考查討論根的個數，由根的分布求參數范圍（構造新函數），極值點偏移問題，中值定理及凸凹性所暗含的雙變量不等式證明問題，導數符號判斷、導數零點存在性處理、縮小變量研究范圍、借助重要函數不等式放縮函數，等等.

但這些都凸顯考查數學的思想方法，因此我們不能懼怕這些類型，還要加強“搶分”意識，要寫出函數的單調區間，學會求導，求單調區間，注重它們的規范解答，這樣才可以在解題中多拿分數. 另外在平時復習備考中要居高臨下識別導數大題的“玄機”——用好導數這個工具.總之，我們要突破函數與導數這些題型，必須加強理解把握，就算題目是以“嶄新”面貌出現，只不過是在其外表上面賦予一層神秘“面紗”，它們本質上只不過是源于高等數學，命題者通過初等化的處理與巧妙設計，潛移默化地在題目中滲透高等數學的一些觀點與方法，比如把一些高等數學中的有關概念、運算或一些性質、定理及公式等“搖身一變”就了命題的“新題”. 因此，作為考生的我們根本無須害怕這些類型，因為解決它也無須掌握很多的高等數學知識，只要我們在心理上首先克服對這一類題型的“恐懼”，善于將其轉化并充分利用好導數這個“工具”——單調性問題，那么我們便真正地識別轉化的“玄機”，在訓練的過程中多注意以上類型，分析思考時從基本方法和技巧出發，領悟解題的“本質”——構造已知條件和要求條件的關系，多角度、多方位分析和優化問題，必能一題破萬題，這樣才可以達到“八方聯系、渾然一體，漫江碧透、魚翔淺底”的境界，從而優效地備考，最終笑傲2020年高考.

（本文系廣東省教育科學規劃課題——構建高中數學“優效教學”的行動研究（課題號：2016YQJK205）的研究成果）

責任編輯 徐國堅