基于多孔介質熱/質傳遞理論的流體—顆粒食品熱處理數值模擬研究進展

余冰妍 鄧 力 程 芬 徐 嘉 石 宇

(貴州大學釀酒與食品工程學院，貴州 貴陽 550025)

流體—顆粒食品熱處理，如烹飪炒制、干燥、液體顆粒無菌工藝等，在食品加工中有重要地位，其工藝條件決定了顆粒食品內部溫度、水分變化情況，直接影響著食品的風味、營養與安全品質。對食品熱處理過程中的熱/質傳遞機制探究一直是食品工程的重要任務。

然而，在流體—顆粒食品熱處理過程中，溫度隨空間、時間變化，非穩態特征顯著[1]。直接溫度檢測很難獲取食品顆粒的全局溫度變化[2]。因此，引入數值模擬技術是流體—顆粒食品熱處理研究的必然趨勢。同時，水分對食品品質影響較大，熱處理過程顆粒食品內部水分傳遞機制復雜，水分含量變化會引起食品物性改變造成傳遞機制的改變[3]，直接將水分作為溫度變化的動力學研究而非數學模型基礎變量，會限制模型的可靠性、準確性，且油、蒸汽等流動相也會影響傳熱傳質[4]。因此，需要一種可同時模擬食品內部流動相的溫度、水分等全局變化的數學模型，而基于多孔介質熱/質傳遞理論所構建的流體—顆粒食品熱處理數學模型可較好地解決該問題[5]。當前，流體—顆粒食品熱處理過程的多孔介質數學模型開發與應用已成為食品工程研究熱點之一，在油炸[6-7]、干燥[8-9]、爆炒[10-12]等方面均有較多應用，為流體—顆粒食品熱處理的品質監控、參數優化、設備設計和自動控制提供了關鍵性的基礎計算。

文章結合流體—顆粒食品多孔介質數學模型研究應用進展，概述了模型的原理及開發與應用的關鍵問題，總結其優勢、挑戰以及發展方向，為開展流體—顆粒食品熱處理過程數值模擬提供參考。

1 食品多孔介質數學模型概述

1.1 食品熱處理多孔介質數學模型發展歷程

多孔介質熱/質傳遞數學模型的應用研究歷史僅有100余年，而其在食品加工領域的應用時間更短。1971年，King[13]針對食品干燥過程提出的蒸汽擴散模型為其應用的開端，隨著研究的深入，模型主要經歷了梯度驅動模型、連續介質模型及混合模型的發展過程。

1.1.1 梯度驅動模型 梯度驅動指多孔介質內部各相在不同驅動力推動下運輸的過程，包括溫度場、濕度場、壓力場等，隨著研究的深入，研究者對顆粒食品內部各相傳遞機制有了更為完善的認知，從僅考慮流體擴散或毛細流動機制的單物理場驅動模型[14-15]到認為各相的運輸與遷移是多種力共同作用的結果而構建的多物理場驅動模型[16-20]，使多孔介質數學模型可更為真實地模擬顆粒食品熱處理過程。

1.1.2 連續介質模型 連續介質模型是由基于連續介質理論的動量、能量及質量守恒方程以及描述具體傳遞現象的附加方程聯合構建的數學模型，從多孔介質內部各相守恒關系出發，根據體積平均準則，將微觀水平的多孔介質多相流動傳遞現象在宏觀水平上考慮，得到一系列控制方程，為利用連續介質力學方法建立多孔介質內各相控制方程奠定基礎。由于試驗研究的缺乏和科研水平的落后，其方程的繁瑣和各傳遞系數難以確定限制了連續理論模型的使用，目前仍為宏觀研究多孔介質熱/質傳遞的基礎，被廣泛應用[21-22]。

1.1.3 混合模型 混合模型將梯度驅動模型和連續介質模型結合為一體，模型更加準確全面。隨著研究的完整化和具體化，顆粒食品熱處理中所發生的蒸發[23-24]、形變[25-26]等現象也被轉換為適當的數學語言加載于混合模型中，多孔介質數學模型的設定與實際熱處理過程越發接近，模型的魯棒性及準確性均大幅度提高。

上述發展歷程實則為將顆粒食品視為連續性介質基礎上的修正與完善過程。此外，非連續性數學模型，如格子—波爾茲曼模型[27]、分子動力學模型[28]等，在多孔介質熱/質傳遞研究中也有所應用，但其應用對象更多為化工、地質領域，在此不做詳細敘述。后面所提到的模型基本方程及關鍵問題的數學描述均以連續性顆粒食品介質熱處理為對象。

1.2 多孔介質數學模型基本控制方程

在食品熱處理多孔介質熱/質傳遞數學模型中，其主要控制方程為質量、熱量及動量守恒方程。

(1) 熱量守恒方程：

(1)

式中：

Cp——顆粒食品比熱容，J/(kg·℃)；

ρ——顆粒食品密度，kg/m3；

T——顆粒食品溫度，℃(K)；

t——熱處理時間，s；

u——流體速度，m/s；

Keff——顆粒食品有效導熱系數，W/(m·K)；

Φ——源項(由是否有熱源或相變決定)。

(2) 質量守恒方程：

(2)

式中：

Si——具體流動相飽和度，下標i包括液態水(w)、水蒸氣(v)及氣體(g)；

φ——孔隙率；

ni——流體質量流量，kg/(m2·s)。

(3) 動量守恒方程：在研究復雜流體流動時，常采用Navier-Stokes方程進行動量描述。

(3)

式中：

P——顆粒承受壓力，Pa；

g——單位質量體積力，m/s2；

μ——流體動力黏度，kg/(m·s)。

此外，模型還有用于描述顆粒食品內部熱/質傳遞狀態與內在聯系的附加方程，以及用于確定顆粒食品初始狀態及其邊界與周圍環境質/能交換狀態的定解條件方程，均與熱處理實際操作過程特征相關。

2 顆粒食品多孔介質數學模型中的關鍵問題及其研究

多孔介質數學模型間的差異主要在于其方程設定或模型參數的不同，而方程的設定包括控制方程源項、定解條件等的設定。

2.1 顆粒食品多孔介質數學模型的蒸發問題

蒸發是顆粒食品熱處理時常見現象。蒸發會帶走顆粒食品內部的水分與熱量，對其溫度、水分變化影響極為顯著[12,29]，蒸發現象的數學描述被引入多孔介質數學模型的構建中是必然結果。

在現有的帶蒸發的多孔介質數學模型中，根據蒸發項的不同描述方式，數學模型可分為相變界面蒸發模型和分布式蒸發模型[30]。相變界面蒸發模型又可分為表面蒸發模型和移動邊界蒸發模型，表面蒸發模型是指假設蒸發現象只發生在顆粒食品表面，蒸發項設于數學模型的邊界條件，如針對顆粒食品干燥[31]或豆腐深層油炸過程[32]所構建的熱/質傳遞數學模型，其蒸發項位于能量控制方程的邊界條件。

h(Tf-Tsurf)=KeffT-HvI，

(4)

式中：

h——對流換熱系數，W/(m2·k)；

Tf——流體介質溫度，℃(K)；

Tsurf——顆粒表面溫度，℃(K)；

Hv——水的蒸發潛熱，J/kg；

I——水分蒸發量，kg/(m3·s)。

移動邊界蒸發模型認為蒸發發生在一個界面上，類似于食品冷凍、解凍過程界面的形成，蒸發界面隨熱處理進行向顆粒食品內部移動，將多孔食品分為干/濕區，干區水分以蒸汽形式存在，濕區為液態水[33]。數學建模時根據不同區域各相傳遞機制構建其具體控制方程，蒸發項的數學描述則位于干/濕區邊界處的熱量平衡方程中。

(5)

式中：

core——顆粒食品中心部位/濕區；

crust——顆粒食品外殼部位/干區；

eff——有效或等效值；

hw——水的熱焓，J/kg；

X(t)——干/濕區界面位置，m；

hs——顆粒食品熱焓，J/kg。

然而，進一步試驗研究[34]發現，流體—顆粒食品在熱處理過程中，蒸發現象并未有清晰的邊界限制，移動邊界模型或許因忽略顆粒食品內部發生的相變散熱而過高地預測顆粒食品的中心溫度?；诖?，提出了分布式蒸發模型[35]，模型考慮蒸發分布在顆粒食品某個區域而非一個界面上，在食品油炸[36]、干燥[37]等處理過程均有應用。分布式蒸發模型多以顆粒食品內部各單相流體為對象構建控制方程，蒸發項數學描述位于液態水、氣體質量守恒方程、熱量守恒方程及其邊界條件中，即：

(6)

(7)

(8)

式(6)中I表示液態水因蒸發過程的減少量；式(7)中I表示蒸發時的氣體生成量；式(8)中-HvI表示顆粒食品表征體元的蒸發散失熱量。與式(4)相比，因考慮顆粒食品內部各相流動，則邊界能量守恒還需加上流體所帶走的熱量，即：

h(Tf-Ts)=KeffT+(Cpn)fluidT-HvI，

(9)

式中：

fluid——顆粒食品內部流動相總和。

綜上，食品熱處理熱/質傳遞數學模型中的蒸發處理方式多樣，從忽略蒸發對熱/質傳遞的影響到考慮蒸發對其的影響，從認為蒸發發生在一個界面上到利用分布式模型表述蒸發現象的改變，提高了數學模型的準確性和普適性。

2.2 顆粒食品多孔介質數學模型的參數測定

食品種類多、結構復雜，構建數學模型時需輸入的參數眾多，其或表征了顆粒食品內部固有性質，或表征了其傳熱、傳質效率，或體現了內部傳遞機制，因受多方面因素影響而測定困難且其變化可能導致顆粒食品內部傳熱、傳質規律的改變。在各參數中，對流傳質系數和對流換熱系數為食品非固有屬性參數，參數值與過程條件及處理方式相關，其不僅是界定顆粒食品體系邊界條件類型的第一步[38]，也是表征熱處理過程顆粒食品熱/質傳遞效率的關鍵參數；滲透率是多孔介質的基本參數，是流體在壓力驅動下可通過多孔介質能力的量化，用于表征多孔食品內部傳遞機制。

2.2.1 對流換熱系數 對流換熱系數是指當環境流體與顆粒食品間存在溫度梯度時，單位面積上流體與顆粒食品間的傳熱速率。顆粒食品的對流換熱系數研究較多，主要的測量方法可分為溫度測量以及表面熱通量測量。

(1) 溫度測量：分為穩態測量和瞬時測量兩種。穩態測量要求測試過程溫度保持恒定，可采用傳熱較好的金屬代替顆粒食品，其更適用于類似生鮮產品且具有高導熱性能的產品[39]，但未考慮顆粒食品的蒸發和傳質，對多數存在蒸發的食品熱處理過程，采用該法得到的換熱系數與實際值相比偏小，其傳熱方程[40]為：

(10)

式中：

Tamb——環境溫度，℃(K);

A——顆粒食品表面積，m2；

V——顆粒食品體積，m3。

瞬時溫度測量是通過試驗獲得顆粒食品加熱過程的中心溫度—時間曲線，結合其導熱方程、定解條件：

(11)

式中：

x——樣品位置，m;

α——導溫系數，m/s；

L——樣品傳熱特征尺寸，m。

(12)

式(11)、(12)經分離變量后得其分析解，結合無量綱溫度比率與時間的對數回歸方程計算得傳熱系數。但該法受顆粒食品幾何形狀限制，不同形狀其無量綱溫度分析解表達式不同，研究者通過此方法測定了表面涂抹膠體的馬鈴薯油炸[41]、芋頭油炸[42]、蛋糕焙烤[43]等過程的換熱系數，但該法得到的傳熱系數為整個過程的平均傳熱系數，且能量平衡方程中忽略了蒸發散熱，導致結果有所偏差。

(2) 表面熱通量測量：基礎原理為包含顆粒食品水分蒸發散熱和其自身導熱兩項的能量平衡方程：

(13)

式中：

dm/dt——顆粒食品水分損失率；

C——顆粒食品水分含量，kg/kg[44]。

表面熱通量測定法的最大困難是顆粒食品表面溫度的測量，目前多數研究者[38,45-46]是將熱電偶插入顆粒食品表面下方幾毫米處(避免熱電偶與表面分離)測定，是顆粒食品表面溫度的近似值。此法考慮了蒸發散熱，對包含蒸發過程的流體—顆粒食品熱處理過程采用此方法準確度更高，廣泛應用于顆粒食品油炸過程的參數測定。

2.2.2 對流傳質系數 對流傳質系數為顆粒食品內部質量在水分含量梯度驅動下的傳遞速率。顆粒食品的傳質系數研究相對較少，現有的傳質系數試驗測定方法為無量綱水分含量分析解，此外還可由對流換熱系數換算得到。

顆粒食品無量綱水分含量分離變量與無量綱溫度分離變量同理：

(14)

式中：

D——擴散系數，m2/s。

(15)

式中：

hm——對流傳質系數，m/s；

C0——顆粒食品初始水分含量，kg/kg；

C——平衡水分含量，kg/kg。

不同形狀的顆粒食品其微分方程表達式及定解條件的無量綱水分含量分離變量分析解可參見文獻[47]。與無量綱溫度分離變量法相比，包含了蒸發散失水分，準確率有所提高。目前，測定過南瓜[48]、米餅[49]以及甜點[50]等油炸過程的對流傳質系數，但多以油炸處理為對象，可參考對比數據仍太少，熱處理方式及條件、顆粒食品種類及尺寸等因素對傳質系數的具體影響還需深入研究。

對流傳質系數也可由對流換熱系數換算得到，劉易斯類比是常用的換算關系式，研究者曾利用此關系式計算得到面包焙烤[51]、雞胸肉烘烤[52]、咖啡焙烤[53]等過程的對流傳質系數。文獻[54]指出，對流傳質系數與對流換熱系數間的增加趨勢并無顯著相關性，其增加速率和達到最大值的時間點均不盡相同。因此，利用對流換熱系數換算得到的對流傳質系數可能與實際值產生較大偏差。

2.2.3 滲透率 滲透率是多孔介質數學模型中不可缺少的參數，是研究顆粒食品內部傳遞機制且提高模型可靠性所必需的參數。滲透率可分為固有滲透率和相對滲透率，一般需試驗測量的為固有滲透率，但目前無針對顆粒食品固有滲透率測定的商業儀器，少有的可參考文獻中設備均為團隊自研。由文獻[3]可知，顆粒食品固有滲透率的測定可基于達西定律或卡曼—科澤尼模型計算得到。

(1) 達西定律：基于達西定律測定顆粒食品固有滲透率需經試驗獲得在一定時間段內，流體經恒定壓力驅動通過特定食品樣品截面的流量，按式(16)計算。

(16)

式中：

k——顆粒食品固有滲透率，m2；

利用此法測量的最大挑戰在于獲得通過食品組織的流體流量，試驗需在保證顆粒食品完整性的基礎上使流體在恒定壓力下僅通過食品上下截面。研究者曾利用此方法測定過新鮮土豆及牛肉[55]、烹飪后的牛排[56]、蘋果[57]的固有滲透率且均使用自研試驗裝置。

(2) 卡曼—科澤尼模型：由卡曼—科澤尼模型計算顆粒食品滲透率需先測定顆粒食品的孔隙率，再由孔隙率與固有滲透率的相關性求出固有滲透率。

(17)

式中：

c——卡曼—科澤尼模型常數。

研究者曾利用此模型測定了面包[58]、蘋果組織[57]的固有滲透率，但多數食品體積在熱處理過程中有所改變，收縮或膨脹，必將導致顆粒食品孔隙結構發生改變，熱處理過程的孔隙率動態變化由試驗獲取難度太大。因此，由卡曼—科澤尼模型計算顆粒食品熱處理的固有滲透率或將產生較大偏差，以達西定律為依據的測定方法更為可靠。

2.3 其他問題

2.3.1 定解條件設定數學模型 定解條件由邊界條件和初始條件構成，初始條件表征了顆粒食品在熱處理前的狀態；邊界條件描述了熱量與質量如何在邊界傳遞，定解條件的正確表達才能使模型準確預測顆粒食品空間溫度和水分含量及分布的變化趨勢[59]。同時，定解條件的設定保證了數學模型求解的單值性，則試驗值與模擬值才具有可比性，以此證明數學模型的可靠。

2.3.2 食品形變問題 作為吸濕性材料，食品內部存在填充不同流動相的孔隙空間，熱處理過程顆粒食品內部熱/質傳遞不均勻，在表面張力及熱應力存在的條件下易產生形變現象，改變顆粒內部結構及流動相的流動狀態?，F有研究中，考慮形變的多孔介質數學模型多存在于食品干燥或焙烤過程的熱/質分析，為處理其他流體—顆粒食品熱處理模型提供了參考方法，如從水分含量[59-61]或固體力學變化[62-63]角度出發探究形變與其關系以加入數學模型中，增加模型的準確性和實用性。

3 應用于食品熱處理的優勢與局限

作為流體—顆粒食品熱處理過程控制及生產可視化研究手段，多孔介質數學模型模擬技術的應用存在一定的優勢：① 模型的數值求解方法已趨于成熟，基于不同數值求解方法的商用計算流體動力學軟件層出不窮，如COMSOL Multiphysics、Ansys等，便于流體—顆粒食品熱處理熱/質分析；② 模型以各流動相的熱量、質量傳遞與轉化為對象，詳細分析顆粒食品內部水分、空氣等的分布與遷移規律，從物理原理了解傳遞機理，指導熱處理工藝過程；③ 無操作條件限制，可通過改變模型控制方程、參數數值等得到不同操作下的結果，方便省力。

當然，模型在應用仍存在些許局限：① 流體—顆粒食品熱處理過程涉及多物理學知識，缺少專業性知識理論，沒有可直接用于指導多孔食品熱處理過程中數學模型構建的書籍，建模困難；② 顆粒食品在熱處理過程中熱物理性質變化顯著，物性參數及過程傳遞參數測定困難，現有可用參數數據甚少；③ 現有的多孔介質數學模型多針對特定條件建立，不同流體—顆粒食品熱處理過程間的數學模型交叉使用困難，模型普適性較差。

4 在食品熱處理應用的發展趨勢與前景

經歷了近一個世紀的發展，多孔介質數學模型已逐漸趨于完整，現今的多孔介質數學模型更為接近熱處理過程的真實情況，為流體—顆粒食品熱處理過程物理機理提供更好的理解。近年來，基于多孔介質熱/質傳遞理論的數學模型也得到了中國研究者的重視，油炸、干燥、爆炒等流體—顆粒食品熱處理過程數學模型的構建眾多，為其過程設計、工藝優化及自動化設備生產提供指導，提高中國流體—顆粒食品熱處理行業的技術水平。

隨著數值模擬技術的發展和對食品內部傳遞機制的理解，一個從基礎原理出發、包含所有物理學現象數學描述、可在不同熱處理間交互應用的多孔介質數學模型的構建是亟需解決的問題；同時，參數是模型的基礎，探尋適合顆粒食品參數測定的設備及方法是提高模型精確性的需求，當傳遞機制與物性復雜性都不再是數學模型的瓶頸時，數值模擬技術必將在食品工業中發揮巨大潛能，得到更為廣泛的應用。