例說數(shù)學(xué)方法在平拋運(yùn)動(dòng)求極值的應(yīng)用

馬建明

摘 要：物理問題的極值是高考考察數(shù)學(xué)能力的常考的一種題型之一，是高考物理數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn)。掌握極值方法能提高解題能力、提高解題速度及準(zhǔn)確率。常見求極值方法有三角函數(shù)法、二次函數(shù)極值法、極限法、基本不等式法（均值不等式法）、求導(dǎo)法等。本文就平時(shí)物理教學(xué)中所涉及的平拋運(yùn)動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求極值的題目進(jìn)行舉例剖析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法 平拋運(yùn)動(dòng) 求極值 應(yīng)用

一、二次函數(shù)極值法求平拋運(yùn)動(dòng)的水平最遠(yuǎn)距離

例1.如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直。一小物塊以速度 從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)。對(duì)應(yīng)的軌道半徑為（重力加速度大小為g）。

解：物塊由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)根據(jù)機(jī)械能守恒定律及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的水平位移為： ，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng) 時(shí)，x最大且 ，故選B。

總結(jié)：根據(jù)動(dòng)能定理得出物塊到達(dá)最高點(diǎn)的速度，結(jié)合高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出水平位移的表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式運(yùn)用二次函數(shù)求極值的方法得出距離最大時(shí)對(duì)應(yīng)的軌道半徑。

就本題的極值還可以采用求導(dǎo)法求取。對(duì)水平位移表達(dá)式： ，對(duì)x求導(dǎo)則有： 。

再如：一小物塊以速度v 0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺(tái)上并由高臺(tái)上飛出，如圖所示，問高臺(tái)的高度多大時(shí)，小物塊飛行的水平距離s最大？這個(gè)距離是多少？（g取10m/s2）

解：設(shè)物體從高臺(tái)上飛出的速度為v，則由機(jī)械能守恒定律可得 ，聯(lián)立平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的水平位移為： ，則當(dāng) 時(shí)s最大為5m。

總結(jié)：本題由平拋規(guī)律及機(jī)械能守恒定律得到水平距離表達(dá)式，再利用二次函數(shù)求極值方法求得s的最大值。

二、基本不等式（均值不等式）求平拋運(yùn)動(dòng)動(dòng)能極值

例2.豎直平面內(nèi)有一個(gè)四分之一圓弧AB，OA為水平半徑，現(xiàn)從圓心O處以不同的初速度水平拋出一系列質(zhì)量相同的小球，這些小球都落到圓弧上，不計(jì)空氣阻力，小球落到圓弧上時(shí)的動(dòng)能（ ）

A.越靠近A點(diǎn)越大 B.越靠近B點(diǎn)越大

C.從A到B先減小后增大 D.從A到B先增大后減小

解：設(shè)小球落到圓弧上時(shí)下落豎直高度為y，水平位移為x，動(dòng)能為Ek，小球平拋動(dòng)的初速度為v0，圓弧AB的半徑為R。則由平拋運(yùn)動(dòng)得： ，聯(lián)立幾何關(guān)系以及根據(jù)動(dòng)能定理聯(lián)立得： ，當(dāng) ，即 時(shí)， 有最小值，則此時(shí)Ek最小，因此小球落到圓弧上時(shí)的動(dòng)能從A到B先減小后增大，故C正確。

本題先應(yīng)用平拋規(guī)律和圓方程以及動(dòng)能定理推理出動(dòng)能表達(dá)式，再應(yīng)用基本不等式（均值不等式）求取極值。

再如：探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v沿水平方向跳向另一側(cè)坡面，如圖所示以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy。已知山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為 ，探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m，人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g。則：此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小？動(dòng)能的最小值為多少？

解：設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員跳到坡面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為H，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理得以及幾何關(guān)系（ ），再聯(lián)立坡面拋物線方程 ，得： 。令 ，則 ，取n=1，即 時(shí)，動(dòng)能有最小值為： 。

總結(jié)：本題先應(yīng)用平拋規(guī)律和拋物線方程以及動(dòng)能定理推理出動(dòng)能表達(dá)式，再利用換元得到動(dòng)能表達(dá)，最后應(yīng)用基本不等式（均值不等式）求得極值。

三、求導(dǎo)和均值不等式求電場中類平拋運(yùn)動(dòng)的速度極值

例3.如圖所示，空間存在水平向右、場強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場，在豎直內(nèi)有一個(gè)半徑為R的圓、圓心為O，在O點(diǎn)把一個(gè)電子豎直向上以不同的初速度拋出，電子質(zhì)量為m、電荷量為-e，不計(jì)重力，求電子經(jīng)過圓O到達(dá)圓周時(shí)的最小速度。

解：電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由規(guī)律可得其運(yùn)動(dòng)拋物線軌道方程 ，代入電場中圓的方程得到電子打到圓上的位置坐標(biāo)： ，應(yīng)用求根公式解得： <1>負(fù)值不符合物理意義，舍去。

對(duì)電子從拋出到它達(dá)圓周P點(diǎn)，據(jù)動(dòng)能定理： <2> 聯(lián)立兩式得： <3>，令 得： <4>，對(duì)u求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，則有： ，得 時(shí)，小球在打在P點(diǎn)時(shí)有最小速度，代入<3>解出最小速度為： ，解得： 。

結(jié)語

用電子的類平拋規(guī)律，導(dǎo)出軌跡方程，在結(jié)合圓方程和動(dòng)能定理進(jìn)行推理得到速度表達(dá)式，再利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)方法和均值不等式求得極值。

總而言之，物理的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是評(píng)價(jià)學(xué)生綜合能力的一個(gè)重要參數(shù)，作為教師要注意研究和持續(xù)研究，平時(shí)要注意收集相關(guān)資料進(jìn)行再研究，注意平時(shí)教學(xué)中應(yīng)用的積累以提升自身能力水平，以此更好的幫助學(xué)生在數(shù)理方法的建模、促進(jìn)學(xué)生的物理應(yīng)用數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)

[1]陳長宏.數(shù)學(xué)方法在平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用[J].中小學(xué)實(shí)驗(yàn)與裝備，2014，24（06）：23-24.

[2]王爍燚.解方程在平拋運(yùn)動(dòng)綜合題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2017（02）：48.