深部巖體變形破壞的特征能量因子與應用*

陳昊祥，王明洋，李 杰

（陸軍工程大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007）

隨著國民經濟的快速發展，地表資源的開發和利用已趨于飽和，而對于深部地下空間及礦產資源的需求則日益加劇[1-2]。為了緩解交通與人員擁堵以及汽車尾氣的污染，各大城市相繼建設了大批的地鐵、地下物流線路、綜合管廊以及地下商場等設施；“八縱八橫”國家鐵路網絡構想，催生了大量深長及跨江越海隧道的設計和建設；在國家戰略能源安全方面，為了應對地表及淺層能源日趨枯竭的現狀，大規模的深部資源開發已經成為我國采礦工業發展的必然趨勢。同時，為了防止國際原油和天然氣價格波動以及地緣政治動蕩對我國能源安全的威脅，建立合理的能源地下儲備體系也至關重要；近年來，高精尖戰術型鉆地核武器的連續呈現[3-6]，打破了當前世界的核平衡，對我國地下防護工程的安全形成了嚴峻的考驗。為了更好地應對上述問題，需要將發展的希望和眼光寄托于深地下空間和資源的開發利用。

巖體作為天然地質材料，具有復雜的內部構造[7-10]，這造成了巖體材料的非連續性、非均勻性以及力學性質的離散性。在外力場的作用下，巖體內部物質點的變形與應力分布復雜而紊亂，通常伴隨應力集中、應變局部化以及非協調變形等。此時，巖體表現出了多尺度、多層次的破壞行為。

深部巖體賦存在高應力環境中，儲存了大量的彈性應變能。在開挖卸荷擾動或爆炸擾動作用下，形成了深部巖體“一高兩擾動”特殊的受力狀態。因此，深部巖體表現出了迥異于淺部巖體的含能特性以及變形破壞模式，諸如分區破裂化、大變形、巖爆以及人工地震等非線性科學現象[11-17]，由此帶來的災害防控問題亟待理論與技術支撐。

深部巖體的層次構造以及含能特點導致了其變形破壞特征具有加卸載耦合、動靜變形疊加、時空變化相關、破壞狀態劇烈等特點。通過傳統的連續介質和損傷斷裂理論建立材料中物質點應力與變形之間的關系理論上可行，但由于材料內部的構造特征以及不可計數的邊界條件，使得實際執行起來困難異常。特征能量因子從統計物理角度出發，利用能量可加性，找出了將介質復雜運動轉化為有序平均運動的規律，為揭示深部巖體復雜科學現象規律、找到災變發生條件與創新防控技術提供了可靠的理論方法。

1 深部巖體的構造與含能特性

巖體的變形和破壞主要表現為宏觀力學特性的變化，而巖體的宏觀力學特性主要由應力水平（即含能特性）與內部構造層次決定。因此為了探究巖體材料的特性，需要進一步了解深部巖體材料的含能特性與內部的構造層次。

1.1 深部巖體的結構層次

長久以來，材料物理學家及力學家想通過研究材料的微觀特性來確定材料的宏觀特性，但眾多的嘗試都以失敗而告終。起初人們認為失敗的原因是描述材料變形破壞數學手段的復雜性造成的，但是后來逐漸清晰的是失敗的原因一方面是我們對于材料變形的認識不正確；另一方面是材料內部包含著眾多的結構層次[18]。

Sadovsky 等[7,19]提出了巖體構造層次的概念，認為巖體具有嵌入特性，小的部分嵌入在大的部分中，而后者則又嵌入到更大的部分中，如此重復形成了完整的嵌入系統，如圖1 所示為不同等級斷層形成模式。

在此嵌入系統內，巖體的尺寸通常滿足一定的自相似規律

圖 1 不同等級斷層形成模式示意圖[20]Fig. 1 Fault formation pattern of different scale levels[20]

式中： ?0=2.5×106m 為地核直徑； i為負整數。

式（1）通過指數i 降階可知，巖體存在的特征尺寸包含了從地質構造級別一直到微晶體級別的各個層級，因此巖體材料表現出了顯著的離散性和非均勻性。

傳統的連續介質力學通常選取微分單元進行分析，而微分單元的尺寸 ? 則須滿足λ ?? ??0，其中，λ為介質的內部特征尺度， ?0為研究物體的宏觀尺度。由于巖體構造體系包含了研究范圍內的任意尺度，即研究選取的微分單元也具有構造特性，因此不論選取何種尺度的微分單元都能找到與之對應的構造層級，使得連續介質理論得到的結果存在與之同階的計算誤差[8,21]。由于上述的不均勻性和離散性，巖體材料的力學性能表現出對材料尺度的依賴性，但經典的連續介質理論并不包含有關長度的參數，因此試圖通過選取合適的微分單元尺度來克服巖體離散特性的做法是行不通的。另外，連續介質理論還忽略了巖體構造過程中的另一特征—含能特性。

1.2 深部巖體的含能特性

巖石作為大顆粒介質，其強度主要依賴于顆粒間的摩擦力，表現出了顯著的內摩擦特性[22]，再加上巖體所處的高地應力環境，使得巖體內部儲存了大量的應變能。關于巖體的含能特性，具體可通過下列現場和實驗現象進一步說明[23]。

（1）一定深度圍巖鉆孔取芯得到的巖樣經歷軸向卸載一段時間后，巖樣會沿軸向出現等間距斷裂，此現象稱為巖芯餅化[24-25]。巖芯餅化發生條件以及餅化厚度受初始地應力（即巖芯儲存的初始應變能）和卸荷速率（能量釋放率）等因素影響。

（2）在不受任何外部作用，深部巖體取樣后會自發地快速崩解。如果在巖樣表面進行輕微擾動（敲擊或刻痕）會加速巖樣的破壞過程。這表明巖樣中儲存了大量的應變能，而外部擾動則會加速巖樣中儲存能量的釋放速率[26]。

（3）地下硐室開挖后，經過幾年甚至十幾年后硐室圍巖仍會產生裂紋甚至發生破壞，而爆破和開挖擾動產生的影響通常不會持續如此長的時間，因此造成圍巖開裂與破壞的主要原因在于巖體內部存儲能量的釋放。

（4）地下爆炸誘發大規模地震，1989 年俄羅斯阿帕吉特礦山中使用230 t 炸藥爆破，并誘發礦區發生地震。此時炸藥釋放的能量約為108J，而地震釋放的能量則約為1012J，遠大于爆炸釋放的能量[27]。表明地震釋放的能量主要來源于圍巖中儲存的應變能。

由上述現象可知，巖體含能情況存在如下特性[28-29]：（1）巖體作為內摩擦材料，在高地應力作用下儲存了大量的應變能；（2）深部巖體取樣后，此時巖樣處于準平衡狀態，隨著巖樣中儲存能量的緩慢釋放，巖樣將發生變形甚至破壞；（3）微擾動會打破巖樣的準平衡狀態，往往起著解除約束的作用，此時巖樣釋放出的能量要遠大于微擾動輸入的能量；（4）微擾動僅加速了能量釋放速率以及巖體變形破壞的進程，并不會降低巖樣變形破壞所對應的能量閾值。

2 深部巖體中的有勢場

深部巷道開挖前，巖體在高地應力作用下儲存了大量的彈性應變能，此時巖體中的應力場與能量場處于平衡狀態。開挖過程中部分高儲能巖體被移除，導致原有的平衡狀態被打破，開挖邊界上形成了有勢場和不平衡的應力場。

開挖一半徑為a 的圓形硐室，邊界r=a 處不平衡應力場的強度等于圍巖壓力，而圍巖壓力 σr|r=a的物理本質為初始地應力σ0與圍巖自承能力 R(ur|r=a) 之差，即σr|r=a=σ0?R(ur|r=a)，其中圍巖自承擔應力R(ur|r=a) 為邊界位移 ur|r=a的函數。此時，開挖邊界匯集的能量Ws將通過圍巖壓力做功釋放并轉化為圍巖的動能：

式中：S 為硐室側表面積。

對于圓形巷道，圍巖僅能沿半徑方向單向運動，故圍巖壓力可看作一標量場，此時圍巖壓力的勢函數為：

勢能為:

在有勢場的作用下，巖塊中各物質點以及巖塊之間將發生變形和運動。由于場的傳播具有一定的速度，故圍巖的變形和運動需要經歷一段時間，并不會瞬間完成。高地應力并未改變巖體的變形機制，僅是增加了變形梯度（加快了變形速率，增加了破壞范圍）。因此，如何考慮擾動場對于巖體變形和運動的影響就成為了解決深部巖體“一高兩擾動”問題的關鍵。

3 有勢場與擾動場的相互作用

深部巖體力學的本質在于確定“一高兩擾動”特殊受力條件下巖體的變形與運動，此時巖體的運動x(t)可以分解為平穩運動X(t)和微振動ξ(t)的疊加。巖體的平穩運動由緩慢變化的有勢場引起，而微振動則由高頻振動的擾動場引起。通過平均化的方法將擾動場引起的微振動轉化為平穩運動，消除了與微振動有關的快運動，以突出系統的平穩運動。此時可將擾動場轉化為等效勢能場，然后根據能量的可加性原理疊加到原有的勢能場之上。這種處理方法，可為研究巖體在有勢場與擾動場共同作用下的力學特性提供有力的理論基礎[30-32]。

為了便于說明，本文中以單自由度質點為例：假設一單自由度質點在定常有勢場U 的作用下做平穩運動，同時還受到一個高頻擾動力場作用，其表達式為：式中： f 為高頻擾動力場； f1和 f2為擾動力中不同組分對應的幅值，且為空間坐標的函數； ω為擾動力場的作用頻率，且頻率 ω ?1/T，T 為有勢場U 作用下平穩運動的周期。

對于空間坐標為x 的單自由度體系，質點運動方程為：

式中：m 為質點的質量。此時，質點的真實位移x 可分解為平穩運動位移X 與圍繞其的微小幅振動位移ξ之和，即：

將式（7）代入式（6），并對時間取平均可得[32]：

式中： Ueff為等效勢能。且：

此時，擾動場微振動的等效平均動能為：

由式（10）可知，對小幅振動取平均后，相當于在原有的（準）定常場U 之上額外疊加了另一個（準）定常場，此附加場即為微振動動能的平均值，其強度則依賴于擾動力場幅值的平方。由功能關系可知，有勢場U 與擾動場的等效勢能最終將轉換為質點的動能，及E=Ueff（E 為質點的動能）。

4 特征能量因子

Kurlenya 等[30]對大量地震、巖爆以及不同能量等級的深地下爆炸試驗中能量和擺型波載體（地質塊體）尺寸之間的關系進行了研究，總結了深部巖體出現準共振和擺型波現象的能量條件：

式中：W 為作用于巖體上外力所輸入的功（即塊體包含的動能），Mb為地質塊體的質量，cP為完整巖石中的縱波速度。此時， Mbc2P的物理意義為地質塊體所包含的靜能量。

塊體在擾動力作用下波動特性試驗如圖2 所示。當 k≥(1～4)×10?11時，巖石塊體間將產生擺型波；當k≥(1～4)×10?9時，整個巖石塊系將進入準共振狀態，此時巖塊之間將相對脫離，導致巖塊間的正應力減小，從而引起巖塊間的摩擦力減小甚至消失，即超低摩擦現象。

圖 2 一維巖塊體系擺型波試驗實驗示意圖[31]Fig. 2 Illustration of one-dimensional rock blocks ship test[31]

受到沖擊因子的啟發，王明洋等[34]發現式（11）中塊體質量Mb包含了巖體破壞時的所有特征信息，于是將k 定義為特征能量因子，并率先將特征能量因子應用到了深部巖體力學領域，對深部巖體的特殊力學現象進行了探討，為理論研究巖體動靜荷載組合作用下的變形和破壞機理提供了新的可能性。

質點在有勢場作用下穩定運動所對應的動能以及微振動所對應的等效動能分別為：

由特征能量因子的定義可知，質點穩定運動和微擾動所對應的特征能量因子分別為：

巖體在動靜荷載組合作用下對應的特征能量因子為：

在有勢場和微擾動的共同作用下巖體處于動態平衡；當微擾動輸入的能量與圍巖儲存的能量達到某一閾值時巖體將發生破壞，且破壞程度與能量釋放的大小和速率有關；微擾動會加速巖體的破壞過程，但不會降低破壞所需的能量閾值；微擾動僅起到“扣扳機”的作用。

5 特征能量因子的工程應用

5.1 深部巷道圍巖分區破裂

深部圓形巷道開挖過程中，在擾動場和有勢場共同作用下圍巖將沿徑向朝巷道中心運動，如圖3所示。

此時，圓形巷道圍巖的運動方程可化為

圖 3 圍巖在準定常場與擾動場共同作用下的運動Fig. 3 Motion of surrounding rocks under combined effect of quasi-stable and disturbing fields

式中：M 為開挖卸載影響范圍內圍巖的質量，當圍巖發生破壞后 M=MP為塑性區圍巖質量；U 為開挖邊界上的有勢場；ur為圍巖的位移；fr為擾動荷載。此時，開挖邊界上的等效有勢場Ueff將轉化圍巖的動能W。由式（15）可知，此時巷道圍巖對應的特征能量因子為

深部卸荷作用在巷道邊界上產生的高頻擾動作用力的形式為[32]：

式中： S =2πaL為圓形硐室對應的側表面積，L 為硐室長度，β 為衰減系數。由于衰減的頻率與振動頻率相比非常小，因此取β = 0。圓形硐室開挖形成的瞬間，可得其振動頻率：

此時，開挖擾動產生的附加能量場為：

開挖擾動產生的荷載頻率 ω遠大于不平衡場的頻率 ω0，因此ks可以忽略不計，于是式（17）可化為：

對式（21）進行化簡，可得塑性區半徑rp與特征能量因子 kξ的關系：

當 圍 巖 參 數 選 取 如 下[32]： ρ=2.6×103kg/m3， τs=15 MPa ， ν=0.25 ， τs/μ=1.5×10?3，τc/τs=1/2～2/3。由文獻[32] 可知，圓形巷道最大彈性回彈和彈塑性能量因子閾值 k0分別約為 3.75×10?9和(3.75～5)×10?7。

當k0=(3.75～5)×10?7時，可得分區破裂的第1 圈半徑；當 k0=3.75×10?9時，圍巖將處于穩定狀態，此時可得分區破裂對應的最遠圈半徑。由于巖石塑性狀態下的耗散機理尚不明確，因此很難確定圍巖分區破裂中間破碎區的半徑。圖4 所示分區破裂半徑計算與監測對比結果表明，開挖過程中擾動能量在由硐室邊界向內部巖體傳遞時，能量等級依次遞減。

5.2 地下核爆炸誘發遠區不可逆位移計算

地下爆炸在距離爆心很遠的地下硐室圍巖會受到爆炸擾動荷載影響并發生工程性地震，導致圍巖出現不可逆變形。前蘇聯的地下核試驗數據表明圍巖出現不可逆范圍通常為rd/Q1/3=(650～1 400)m/kt1/3，而連續介質力學解得范圍則通常為rd/Q1/3=(80～120)m/kt1/3遠遠小于實驗結果，其中rd為不可逆變形區半徑，Q 為爆炸當量。

圖 4 分區破裂半徑計算與監測結果對比圖[35-37]Fig. 4 Comparison between prediction by formula and in-situ observation[35-37]

連續介質力學模型計算結果遠離實測結果的主要原因在于沒有考慮巖體作為地質體的非連續構造的塊體性，巖體間軟弱夾層的變形以及由塊體性所導致的附加自由度；另一個物理原因則是忽略了巖體作為地質體的另一個構造變形特性即巖體的含能特性，由于地質構造作用和重力作用引起的變形，積累了變形能。爆炸解除了巖體的約束，變形能得到了釋放，并轉變為巖體的動能，使得巖體獲得更大的運動和位移。因此連續介質力學在研究圍巖工程性地震效應時存在著天然缺陷，本節將通過能量因子對爆炸擾動誘發遠區圍巖不可逆位移進行介紹。

假設圍巖中塊體為立方體且各塊體尺寸相同，其排列如圖5 所示。取其中一個塊體作為研究對象，此時塊體質量m= ρ0l3，其中ρ0和l 分別為塊體密度和尺寸。對于地下爆炸引起的沖擊波形式通常為：

圖 5 地下爆炸擾動荷載下圍巖塊體示意圖Fig. 5 Motion of rock blocks under explosion disturbance

v0(r)=A(r/Q1/3)?nω=π/tctc=BQ1/3(r/Q1/3)m/cP

式中： 為距離爆心r 處最大粒子速度， 為沖擊波的振動頻率，為擾動荷載作用時間，A、B、m、n 為實驗參數。

此時，爆炸產生的附加能量場為：

式中：χ 為形狀系數，對于立方體χ=4。沖擊波引起的位移為：

將式（25）代入式（24）后，巖塊的特征能量因子可表示為：

由于地下爆炸激活巖體的變形主要集中在結構面上，且 ε=u/l≤ε?時，巖體不會發生不可逆變形。由潮汐運動以及地層構造運動可知[33]， ε?取 值通常為 ( 1～2)×10?5。由此可知誘發工程地震時對應的特征能量因子閾值為：

此時，不可逆位移區域邊界粒子速度可化為：

式中：rd為不可逆位移區半徑，ud為不可逆位移區域邊界位移。對式（29）化簡，可得不可逆位移區半徑與激活巖體尺度之間的關系：

式中： A′=2AB/(πε?cP)。通過大量地下爆炸激活塊體尺寸的場地實驗數據[34]擬合可得式（30）中系數A' = 0.105，m?n = 1.04，如圖6 所示即為實驗數據點與擬合曲線之間的關系。

考慮不可逆位移區域邊界粒子速度，于是可得：

如表1 所示為大量地下核爆炸試驗數據中不同巖體系數A 和n 的統計值[34]

結合式（31）與表1 中不同巖體系數A 和n 的統計值，可對地下核爆炸不可逆位移區范圍進行評估，結果如圖7 所示。

表 1 不同巖體中系數A 和n 的統計值Table 1 Statistical values of A and n

表 2 地下核爆炸不可逆位移實測數據[34]Table 2 Experimental results of irreversible deformation of underground explosion

由圖7 與表2 中地下核爆炸誘發不可逆位移數據可以看出，當爆炸當量在百萬噸量級時誘發的不可逆位移范圍在600～1 300 m/kt1/3，對應的特征能量因子閾值 kd≈(1～4)×10?10，與理論計算結果非常接近。當爆炸當量較小時，爆炸沖擊波作用較弱且影響范圍較小，不會誘發遠區圍巖發生不可逆位移，因此理論結果與實驗數據相差較遠。

圖 6 地下爆炸激活塊體實驗數據與理論擬合曲線Fig. 6 Test results of rock size activated by large equivalent underground explosion

6 結 論

深部巖體在“一高兩擾動”的特殊受力狀態下，其變形與破壞表現出了高度的非線性特征。本文主要討論了深部巖體的構造層次、含能特性，介紹了特征能量因子并分析了有勢場與擾動場共同作用下深部巖體的運動特點，回顧了特征能量因子在深部巖體分區破裂化以及動力誘發巖體不可逆位移等非線性力學現象中的應用，主要結論如下：

（1）圍巖的運動可以分解為平穩運動和微振動的疊加，巖體的平穩運動由緩慢變化的有勢場引起，而微振動則由高頻振動的擾動場引起。通過平均化的方法將擾動場引起的微振動轉化為平穩運動，以突出系統的平穩運動。微振動取平均后，可得微振動的等效勢能，此時擾動場相當于在原有的有勢場之上額外疊加了一個有勢場，此附加場的強度則依賴于擾動力場幅值的平方。

（2）由特征能量因子可知，巖體在有勢場和微擾動的共同作用下處于動態平衡狀態；當微擾動輸入的能量與圍巖儲存的能量達到某一閾值時巖體將發生破壞，破壞程度與能量釋放的大小和速率有關；微擾動會加速巖體的破壞過程，但不會降低破壞所需的能量閾值；微擾動僅起到“扣扳機”的作用。

（3）采用特征能量因子分析了“動靜”組合作用下深部圓形巷道分區破裂化以及地下核爆炸誘發遠區圍巖不可逆位移等工程災害現象的物理力學機理。通過對比理論計算結果與實驗和實測數據，驗證了理論方法的準確性。為理論研究巖體動靜荷載組合作用下的變形和破壞機理提供了新的研究思路和可能性。