逐步逼近法計算LED透鏡

周士康，杜 金，陳春根

(上海三思電子工程有限公司，上海 201199)

引言

計算LED透鏡的形狀有多種非成像光學的設計方法[1-5]。其中光通量線(以下稱LFR)方法[4]可以計算給定任意照度分布的透鏡，而偏折能力分配法[5]則可以同步計算多表面透鏡。同時用這兩種方法是一個計算透鏡的優秀方法，其計算步驟如下：

1) 在極坐標中把LED光強的空間分布曲線分為n份，但各份的光通量必須相等，分割線的方向就是透鏡的n條入射線的方向，構成一個n維的入射線角度數列。

2) 因為每條光線光通量相同，像面的照度分布要求可以轉換為光線在像面上的分布，從而得到像面上n條光線落點的位置。假定透鏡尺度相對很小(遠場條件)，得到n個出射線方向。也構成一個n維出射線方向數列。

3) 透鏡出射線和入射線的方向之差稱為總偏折角，由求得的上述兩個序列后可以求得總偏折角序列。設透鏡表面數為m，把此n個總偏折角每個都按各面的權重再分到m個透鏡的表面上，這就得到了(m+1)×n個角度，也就是得到了每個面前后的入射角和出射角。

4) 用折射定律對每個表面依次計算各得n個小線段連成一條折線，共m條折線，構成透鏡的m個表面。當n很大時就是一個平滑的透鏡表面。圖1為雙面LED透鏡m=60、n=50的示例。

圖1 LFR方法計算單透鏡

上述LFR方法假定了LED尺度很小，也就是滿足遠場條件。但如果像面比較近，即LED的尺寸相比照明尺度不是非常小，不能滿足遠場條件，計算就會有誤差。為了解決這一問題，我們提出了用于透鏡設計的逐步逼近的方法，本文著重敘述逐步逼近方法的概念，具體的公式和程序不在本文中出現。

1 逐步逼近法

1)動機。上述LFR方法在處理一般問題時都符合“遠場”條件，此時透鏡上折射點的位置的不同對像方光分布基本無影響，我們只需關心光通量線的方向而不是折射點的位置。但是在“近場”情況下，光線在透鏡上的位置會影響照明的結果。近場問題的處理應該用光線在表面上的位置來表征。但這對透鏡形狀的計算卻帶來很大的困難。其原因在于折射定律擅長的只是求解介質表面的方向和折射線的方向之間的關系。在許多領域的實際工作中，求解的方程十分復雜或者是無法直接求解時往往可以使用逐次逼近的方法[6]，此法在大量實際問題中都得到了廣泛的應用。由此我們想到，如果能把這種逼近法的思想用到LED透鏡的計算中，也許可以解決原來解決不了的求解問題。本文的結果說明這是可以做到的。

2)可行性。處理近場問題的困難在于已知LED發出的入射光線的方向和像面的落點無法解得透鏡的形狀。但如果能夠嘗試性地給出出射方向就可以解得初始的形狀。于是我們提出先給定一個嘗試平面作為透鏡的最后一面，并給定該面上各光線的嘗試折射點，再按照度分布要求給定LFR在像面的落點，這就可以得到出射光線的嘗試方向，這樣就可以用原有的LFR方法計算得到初始透鏡形狀。然而再逐步修正透鏡使之逐漸滿足“落點”的要求。經過多次逼近計算，可以得到符合折射定律和落點要求的透鏡形狀。本文的結果說明這是可行的方法。

3)難點。這個方法的難點是如何給出下一次逼近的光線方向。對此我們用最為簡單的方法很好地解決了這個問題。就是簡單地把嘗試計算得到的新的折射點到目標落點的方向作為下一次計算的方向。

2 逐步逼近法計算LED透鏡的步驟

2.1 計算入射LFR角度序列

考慮一個旋轉對稱單透鏡，平面像面、均勻照度分布、極少的光線(n=8)。此例并非某個實際設計的例子，只是為了形象地說明逼近計算方法而設定的。

設LED位于坐標原點，透鏡前表面中心在A點(x=10 mm)，后表面在B點(x=30 mm)，弧形像面中心在C點(x=70 mm)，見圖2。

圖2 LED的LFR及光線目標落點

按照LRF方法，首先需要求得LED發出的光線的方向序列，這些光線攜帶相同的能量。由于照度正比于單位面積上的光通量，而光通量正比于光強與立體角的乘積，因此光強分布曲線對總光束角的積分的值將正比于總光通量。根據這一規律，可以把LED發出的光能按照攜帶的光通量相等而分成8份(以n=8為例)，即把光強分布曲線對總光束角的積分的值分成8等份。它們的角度間隔就是9條具有相同能量的LFR的方向，這便是透鏡入射線方向序列。示意性的結果見圖2左部原點出發的9條光線簇，大致可以看到這里是大光強處光線密度大，小光強處光線密度小,符合光強空間分布規律。LFR計算的具體方法[4]在此不詳述。

2.2 設定像面和光線落點

由于LFR是帶有相同能量的光線，因此像面的光線落點的密度分布決定了像面的照度分布，這就不難根據事先給定的照度分布求得LFR的落點沿像面的分布。

在照度均勻分布的情況下，只要將位于D處的被照明平面均勻分成8份即可得到9個落點，得到圖2所示的9個小圓形分割點。

對非均勻照度分布時，可以事先給定照度分布函數，再按照落點的密度正比于照度的原則來劃分。

2.3 設置嘗試平面及嘗試折射點

這是逐步逼近法的重點。在透鏡的后表面位置C點即x=30處給定一個任意長度例如70 mm的垂線，代表嘗試平面直徑。在這個垂線上任意給定9個小圓形試探折射點。

圖3 入射和出射的LFR角度序列

把圖3中C平面和D平面上的9×2個小圓一一相連，連線(圖3中的點劃線)的方向代表光線從LED最后一個表面出發方向，構成了透鏡出射線方向序列。這樣就得到了透鏡的入射線和出射線兩個嘗試角度序列。

有了這兩個角度序列，我們就可以用LFR的方法進行計算求得透鏡的形狀了。對于單透鏡的情況，設兩面的折射能力相等，則可求得上兩個角度的平均值，就得到第三個角度序列，那就是在透鏡內部的光線角度序列(圖3中沒有畫出這一個序列)。有了這9×3個方向，我們就可以順序用折射定律計算得到透鏡前后表面共8×2個小面的角度和位置，結果得到了一個彎月形的透鏡，見圖4的粗實線。

圖4 第一次計算結果和修正角度

2.4 逐次逼近法計算透鏡形狀

可以看到，第一次循環后試探平面自動變成了曲面，從其上的折射點發出的光線(實線)的確和試探方向(點劃線)精確平行(這正是LRF方法的結果)，但是卻沒有射向希望的落點。實際落點與目標落點之差最大達13.6 mm。逐步逼近法可以迅速縮小這一偏差，但如何選擇下一次計算的修正量是逼近法成功與否的關鍵。

我們的解決方法是簡單地用第一次計算得到的透鏡后表面的光線落點和希望的像面落點(圖3中D面的小圓形)的連線(圖3中虛線)作為第2次計算的像方光線的方向，進行第2次計算，第2次計算結果如圖5所示。這時，實際的光線落點和希望落點之差Δmax=0.14 mm，比第一次的結果縮小了約100倍。

圖5 第二次計算結果

繼續上述計算，在本例中經過4次逼近計算后就得到了理想的結果，如圖6所示，最大誤差僅為Δmax= 0.003 mm。

圖6 最終結果

增加LFR的數目，如n=40，5次循環后的結果如圖7所示。這時Δmax=0.005 mm，曲線也較為平滑了。實際設計中一般n的值為200左右就可以得到可以用于加工的平滑的表面。

圖7 n=40時的計算結果

以上用直觀的圖形較清晰地給出了本方法的內容，方法中完全不涉及復雜的微分方程等計算，這就不難編寫計算機程序。

實踐表明，試探面的形狀、大小和其上的落點的位置分布的寬容度很大，即使初始給出的是一個非平面的嘗試表面和非均勻的嘗試點分布，用逐步逼近法都將趨向于同一個結果。

3 非均勻照明的逼近法設計

以上的例子是均勻照度分布。對于非均勻照度分布，只要給出像面照度分布函數也可以進行計算。例如，給定一個中心照度小而邊緣照度大的正弦函數分布a+b·sin(x+c),其中a=31、b=30、c=-90°，其照度分布函數如圖8所示。

圖8 正弦函數給定為像面照度分布

計算得其透鏡形狀和LFR分布為圖9所示。其光線落點的密度沿弧面的分布是按圖8的正弦分布由中心向邊緣變大。

圖9 按照事先給定照度分布的計算結果

對于其他類型的照度分布，只要給出分布函數，可以套用上面的方法。好在實際的工程中都不需要用復雜的照度分布，因此給出函數也不是難事。

4 被照面為非平面的逼近法設計

考慮到在近距離照明中有時會遇到像面不是平面的情況，用平面代替弧面必然會帶來誤差，而用我們的逼近方法計算卻可以容易地處理非平面像面的問題。

被照明面是一個曲面并沒有給我們的計算帶來任何困難。只要在這個曲面上按照照度分布的要求求得一個個光線的落點的坐標就可以了。唯一的困難是在數學上描述這個曲面，實際工作中這也不是難事。

以下用一個球表面均勻照度分布為例。假定其圓弧可以用下列參數方程表示：

x(x0,R,t)=x0+R·cos(t)，y(y0,R,t)=y0+R·sin(t)

其中圓心的坐標為(x0,y0)，R為半徑，t為輻角。

在本例中，被照明面是中心在C點(x=70 mm)，半徑為130 mm的凸弧形表面，圓心在x=200 mm，y=0。

將此弧面均分42份，得到圖 10所示的43個分割點。若希望非均勻照度分布，則需要按照落點密度正比于照度的原則求得落點位置。

圖10 非平面的被照明面

對一個可以用參數方程表示的二次曲面，逼近方法同上。其他形狀也是用參數方程表示方便。

5 多透鏡的逼近法設計

圖11 LFR方法計算雙透鏡

LRF方法中計算多個透鏡的方法同樣可以用在本方法中。某些LED透鏡若做成雙透鏡會比單透鏡更為合適[5]。SSWYD-800型無影燈[7]有一款透鏡就做成了雙透鏡。其光線較少時的計算結果見圖11。為了顯示清楚些，圖形用了n=20的計算結果。圖11為無影燈的工作距離為1 000 mm時，用文獻[7]的總體設計方法，用逐步逼近法同步計算的LED無影燈的雙透鏡四個面的計算結果。我們也用文獻[4]的方法按遠場條件進行了計算，得到結果一致，這是因為此時滿足遠場條件了。

6 結論

我們用逼近法計算LED自由曲面透鏡，從建立一個虛擬的嘗試表面并給定嘗試點出發，給出了修正計算的方法，進行多次循環計算，避開了求解方程等復雜的問題，不但可以得到很高的計算精度，還具有快速的收斂速度。

從計算的角度看，本文的方法實際上解決了一個從“方向”轉為計算“落點”的問題，以前是由計算光線方向來求透鏡形狀[4，5]，而現在近場問題則是要由計算光線落點來求透鏡形狀。

逼近法把計算透鏡的LFR方法擴展到既可以用于近場計算，又可以用于遠場計算，既可以計算平面像面又可以計算非平面像面。同時逼近法保留了原方法的幾個重要的優點，如可以用于非均勻的照度分布或事先給定的任意像面照度分布的計算，以及同步計算雙透鏡系統。這給LED透鏡二次光學設計帶來了方便。

7 討論

1)設想被照明面位于x=1 000 m遠處，則其上1 mm的落點位置誤差其角度差別只有0.0001°，可以讓程序使用12位有效數字，角度精度可以非常高，則即使多次運算也不會帶來有影響的誤差。圖11說明本方法在非近場的情況同樣適用。

2)新方法的必要條件還在于這種逼近能否收斂。實際工作證明此法可以收斂，而且收斂速度快，我們計算的多個例子都是循環次數在10以下時計算誤差小于0.001 mm。

3)逐步逼近方法可以推廣到其他難以一次性直接計算的問題中去，如一個面既有反射又有透射的LED照明系統[8，9]。此時，一般方法難以求解得到曲面的形狀，但逼近法可以計算得到。