基于虛擬調制指數集的多指數CPM 減相位狀態檢測

謝順欽，周錁，陳大海，李湘魯，鐘聲，張健

（中國工程物理研究院電子工程研究所，四川 綿陽 621999）

連續相位調制（CPM,continuous phase modulation）是一種高帶寬效率的恒包絡調制體制[1]。多指數CPM（Multi-hCPM）與單指數CPM 相比，增大了信號的最小歐氏距離，提升了基于相干網格狀態檢測的誤碼性能。美國先進靶場遙測組織在遙測標準IRIG106-04[2]中已將Multi-hCPM 信號定義為新一代的遙測信號，以取代頻譜效率低下的脈沖編碼調制/頻率調制（PCM/FM,pulse code modulation/frequency modulation）遙測體制。雖然Multi-hCPM 具有頻譜利用率高和功率效率高的優點，但其接收端存在兩大難點——同步困難及解調復雜度高，為降低接收端的復雜度，本文提出了低復雜度檢測算法。

Multi-hCPM 為有記憶調制信號，其最佳接收為最大似然序列檢測（MLSD,maximum likelihood sequence detection）[1]，而Multi-hCPM 的特性，如進制數高、調制指數小以及部分響應長等，造成其MLSD 的檢測復雜度很高，主要表現在接收機的匹配濾波器規模和序列檢測的網格狀態數兩方面。因此，針對Multi-hCPM 的復雜度簡化算法主要是從這兩方面著手，基于匹配濾波器的簡化方法主要有基函數分解[3-4]、脈沖幅度調制（PAM,pulse amplitude modulation）分解[5]及頻率脈沖截斷（FPT,frequency pulse truncation）[5]等；網格狀態數的簡化又可以分為相關狀態簡化和相位狀態簡化兩方面，減狀態序列檢測[6]（RSSD,reduced state sequence detection）以及PAM、FPT 都能完成相關狀態的簡化，而簡化相位狀態的方法目前僅有基于相位狀態合并的RSSD[5]。因此，與相關狀態的簡化方法相比，從簡化相位狀態出發的低復雜度檢測方法較為單一，且RSSD算法在接收端需要基于MLSD的狀態網格進行匹配濾波，因此無法簡化匹配濾波器的規模。

最近的文獻[7-8]針對單指數CPM 提出了一種新的簡化相位狀態的算法，該算法在接收端構造虛擬的且分母更小的調制指數，并結合逐幸存路徑處理（PSP,per-survivor processing）能夠有效簡化網格狀態中相位狀態。本文將該方法擴展到Multi-hCPM，構造多組基于虛擬調制指數集的簡化接收方案。最后將本文算法與FPT 算法（FPT 算法可簡化匹配濾波器和相關狀態，但無法簡化相位狀態）聯用，更大程度地簡化了Multi-hCPM 的接收復雜度，并驗證了本文算法與其他簡化算法聯合使用的適應性。

2 系統模型

2.1 Multi-hCPM 信號及其傾斜相位表示

Multi-hCPM 基帶信號的相位可以表示為[1]

其中，T為符號周期；αi∈{± 1,±3,…,±(M-1)}，M為調制進制數；有理數hi=為i時刻的調制指數，下標=RH(i)，RH(·)為模H操作，H為調制指數集的元素個數；q(t)是CPM 頻率脈沖g(t)的積分，g(t)長度為LT。除特殊說明外，本文針對M=4，L=3，g(t)為升余弦脈沖，h=的雙調制指數（H=2）CPM 信號，即IRIG106 中定義的Multi-hCPM，以下簡稱Tier2 信號。

加入傾斜相位分解[9]后，式(1)可表示為

在物理相位下，vn滿足遞歸表達式，如式(5)所示。

其中，RP[·]為模P操作，Kn和Un為整數。因此vn共有P種離散的可能值，在傾斜相位下，相位狀態數由MLSD 網格中的2P降低為P。

2.2 Multi-hCPM 信號的MLSD 及復雜度分析

CPM 信號的最佳接收——MLSD 是基于網格狀態轉移和維特比算法實現的，在第n個符號間隔內，CPM 的網格狀態（向量）定義為

在nT時刻的所有分支度量增量表示為

對于Tier2 信號，P=16，M=4，L=3，因此即使在傾斜相位模型下，網格狀態數Nst=256，在目前常用的FPGA 硬件資源下很難實現這一檢測復雜度，因此Multi-hCPM 工程實現的第一步是采用低復雜度算法降低其檢測復雜度。

3 算法描述

3.1 虛擬調制指數檢測原理

調制指數通常由有理數構成，其分母決定了接收網格的狀態數。Multi-hCPM 為了在較小的調制指數集中實現元素的差異性[1]，調制指數的分母通常較大，如Tier2 信號的調制指數分母為16。

采用虛擬調制指數降低檢測復雜度的思想由Messai 等[7-8]針對單指數CPM 提出，Messai 將其稱為基于PSP 的最優檢測。接收端采用不同于調制端的調制指數，當接收端的調制指數分母相比真實調制指數的分母小時，可以降低狀態網格中的相位狀態數。本文將該算法推廣到Multi-hCPM 信號，并對算法的部分原理進行了調整，為區別于單指數CPM 的方法，將其稱為基于“虛擬調制指數集”的低復雜度檢測（VhD,virtual indexes(h)detection）。

設接收端的調制指數為

其中，Pv為整數，Kv1、Kv2為小于Pv的整數。與真實調制指數h=[h1,h2]T之間存在著調制指數差異Δh。

將式(11)代入式(3)，得到虛擬調制指數下CPM傾斜相位信號表達式如式(12)所示。

其中，最后一個等號右側的第一項是虛擬調制指數所構成的相位狀態項；第二項與調制指數增量Δh有關，稱為虛擬調制指數的補償項；第三項與傳統的相關狀態定義一致，不進行處理。

針對式(12)的第一項，可以定義新的相位狀態轉移關系如下。令虛擬相位狀態為，從而相位狀態滿足遞推關系如式(13)所示。

此時，VhD 的相位狀態數為Pv。當Pv＜P時，與式(5)相比，式(13)定義的相位狀態數更少了，總的網格狀態數降低為PvML-1。基于VhD 的低復雜度檢測算法步驟為：首先，將Pv取最小值；然后，按所有可能值遍歷搜索式(10)中的分子項Kv1及Kv2，通過性能仿真結果獲取最佳的虛擬調制指數集組合。

第二項可以參照文獻[7-8]，利用PSP 的方法得到的n-L時刻前符號的估計值，再進一步計算補償項。

將虛擬相位狀態代入式(12)，可構造出基于VhD 的傾斜相位表達式如式(14)所示。

不同于文獻[7-8]將虛擬調制指數融合進了相關狀態中，本文僅將其置入相位狀態中。由于VhD實際僅對相位狀態有效，因此，式(14)的表達更加簡明。

3.2 與頻率脈沖截斷算法的聯合應用

雖然VhD 可有效簡化相位狀態，但其對狀態向量中的相關狀態并沒有進行任何簡化。因此，為了更徹底地降低網格狀態數，可以將VhD 與其他能降低相關狀態的算法聯合使用。對于部分響應的Multi-hCPM 信號，FPT 算法[5]用于簡化相關狀態最為高效，該算法用于Multi-hCPM 的簡化研究可參考文獻[10-12]。

聯合FPT 算法，并將式(14)代入式(2)，得到Multi-hCPM 信號基于VhD 和FPT 的簡化相位表達式為

當FPT 的截斷長度為L' 時，狀態數將進一步降為PvML′-1，其中，截斷長度L' ＜L。

4 仿真結果及分析

由于PSP 存在判決反饋的非線性過程，因此基于VhD 的簡化算法難以采用理論推導來完成虛擬調制指數集的設計，故需要采用數值仿真來完成性能評估與VhD 簡化方案設計。

針對Tier2 信號，采用Matlab 對本文提出的VhD算法進行蒙特卡羅仿真，并將信道建模為單邊功率密度為N0的高斯白噪聲（AWGN,additive white Gaussian noise）信道。仿真以最大信噪比=12 dB 或誤比特率（BER,bit error rate）≤10-5作為停止條件，并統計誤比特數超過200 或總符號數超過107。

4.1 VhD 的數值仿真結果

圖1 為Pv=2 及Pv=3 的簡化性能，圖2 為Pv=4 的簡化性能。圖中“mst”表示狀態數為m的簡化方法。將MLSD 的誤碼曲線作為性能參照，下文的“性能損失”都是相對MLSD 而言的。值得指出的是，本文未給出Pv＞4 的簡化方案的仿真結果，這是由于Pv越小，簡化程度越高，同時Pv=4 的性能已經足夠好（存在性能損失小于0.1 dB 的方案）。

圖1 Tier2 信號的VhD 誤碼性能（Pv=2 及Pv=3）

圖2 Tier2 信號的VhD 誤碼性能（Pv=4）

表1 給出了圖1 和圖2 中所有方案在BER=10-5處相對于MLSD 的性能損失及復雜度對比。在仿真設置的最大信噪比（=12 dB）處，BER 未達到10-5的方案，采用該方案在=12 dB 處的BER 性能作為基準計算性能損失，并采用符號“＞”表示。

表1 VhD 的性能及復雜度對比

由仿真結果可以看出，當Pv=2 時，狀態數簡化到了32，但性能損失超過了2.7 dB；當Pv=3 時，狀態數簡化為48，其中，的性能最好，性能損失僅為0.8 dB，而的性能最差，超過了3.7 dB。

雖然Pv=4 的所有方案狀態數都為64，但是性能卻相差很大，其中，以的性能最佳，性能損失僅為0.05 dB，的性能損失為0.3 dB，的性能損失也都小于1 dB。相比之下，分別在≥10 dB和≥11 dB 區域出現了較大的誤碼率惡化，從而造成較大的性能損失。

值得指出的是，當hv1=hv2時，接收端可以退化為單指數CPM 的接收網格，但這些簡化方案的性能并不理想。如圖1 中的方案以及圖2 中的性能損失都超過了2.7 dB。此外，虛擬調制指數集的元素位置也對性能影響很大，比如，前者性能損失僅為0.3 dB，而后者則大于2 dB。

由表1 的復雜度對比還可以看出，性能損失小于1 dB 的方案（表中加粗字體）中，狀態數都不低于48，而性能損失小于0.5 dB 的方案中，狀態數仍為64，因此需進一步結合FPT 作簡化。

4.2 VhD 聯合FPT 的數值仿真結果

圖3 Tier2 信號的VhD 聯合FPT2 誤碼性能

將圖3 中所有簡化方案在BER=10-5處的性能損失列于表2。

表2 VhD 聯合FPT2 的性能及復雜度對比

5 結束語

本文針對Multi-hCPM 信號，提出了基于虛擬調制指數集簡化相位狀態的低復雜度檢測算法——VhD，并通過數值仿真完成了算法設計和性能驗證?；赩hD 的低復雜度檢測器在接收端構造虛擬調制指數集，通過控制虛擬調制指數的分母小于實際的調制指數分母，可有效降低相干序列檢測的狀態數。本文通過設計虛擬調制指數集的分母及調制指數集中元素的位置，構造了多組針對Multi-hCPM 的低復雜度檢測方案。最后，將VhD 與頻率脈沖截斷算法（FPT）聯合，更進一步降低了網格狀態數。VhD 的算法設計以及與FPT 的聯合算法都通過數值仿真進行了驗證。由于Multi-hCPM 的多個調制指數周期出現，使VhD 比單指數CPM 的簡化接收更加多元性。

數值仿真結果表明，針對Tier2 信號，當虛擬調制數集為時，檢測狀態數由MLSD 的512降低為64，而性能損失僅為0.05 dB。當與FPT 結合時，狀態數可進一步降低至16 狀態，而性能損失也僅為0.75 dB，檢測復雜度和性能都優于文獻[13]中FPT 與RSSD 聯合的16 狀態簡化方案。