基于幾何相關的GPS 觀測量隨機誤差模型的研究

周桃云，廉保旺，楊冬冬，張怡，蔡成林

（1.西北工業大學電子信息學院，陜西 西安 710129；2.湖南人文科技學院信息學院，湖南 婁底 417000；3.湘潭大學信息工程學院，湖南 湘潭 411105）

1 引言

GPS 是一種可以實現測距和授時，并能提供全天候、實時、高精度位置、速度及時間信息的導航系統。自1978 年2 月22 日第一顆GPS 衛星發射以來，歷經40 年的發展，GPS 的用途早已遠遠超出了最初的用途。目前，GPS 在精細農業、環境監測、交通運輸、資源調查、災害預報等多個領域得到廣泛應用，并對地球科學和大氣科學等相關學科的研究起到了極大推動作用[1]。

不論是單點定位技術還是差分定位技術，目前大部分的應用和研究都是基于所有觀測到的衛星擁有同樣的觀測誤差，在估計接收機位置時每個衛星觀測量都擁有一樣的權重，而實際情況下由于大氣環境的影響以及衛星仰角的變化，不同衛星觀測量的誤差是不一樣的[2]。在高精度差分定位領域，載波相位整周模糊度的解算是所有定位應用的基礎，真實有效的載波相位觀測量隨機誤差模型能夠提高整周模糊度的搜索成功率，對高精度定位的應用具有重要意義。

GPS 的定位過程本質上是一個由觀測量到參數估計的數據處理過程，通過建立功能模型獲得觀測量與待估計量之間的數學關系，通過建立隨機誤差模型獲取觀測量的隨機誤差特性，并對估計結果做出評估，最終達到參數估計和精度評定的目的。Gauss 在 1792 年提出的最小二乘（LS,least-squares）方法因其計算方便、思路簡潔，成為最為常用且最為重要的數據處理手段之一[3]。為提高LS 的可靠性并得到合理正確的觀測量權比，通常采用隨機誤差模型的后驗估計，即方差分量估計（VCE,variance component estimation）為觀測量定權。Rao[4]在1971 年提出最小范數二次無偏估計（MINQUE,minimum norm quadratic unbiased estimator），該方法需要已知觀測量隨機誤差模型的一階矩和二階矩。Koch[5]在1978 年提出最優不變二次無偏估計（BIQUE,best invariant quadratic unbiased estimator），在正態分布的前提下該方法需要已知觀測量隨機誤差模型的高階矩。Kubik[6]在1970 年提出極大似然估計（MLE,maximum likelihood estimator）。Koch[7]最早于1987 年使用貝葉斯 (Bayes)方法計算得到VCE 及其置信區間。Teunissen[8]在1988 年提出的最小二乘方差分量估計方法（LS-VCE,least-squares variance component estimation）是近年來受到廣泛研究和討論的方差分量估計方法。LS-VCE 對觀測量隨機誤差模型分布不做要求，而是利用最小二乘原理對方差分量進行估計，統一了功能模型和隨機誤差模型的估計準則[9-11]，但LS-VCE 并沒有為方差分量估計提供一個完美的計算方法，且計算量很大。

對于功能模型，Teunissen[12-13]已經建立了一套權威的定位理論，而隨機誤差模型尚未有可靠的理論方法。Wang 等[14]利用MINQUE 對3 種基本的觀測量隨機誤差模型進行了估計，但并沒有考慮不同類型觀測量的方差及其相關性。Teunissen 等[15]對雙頻信號之間的相關性進行了研究，Hartinger 等[16]建立了載波相位觀測量與載噪比之間的模型，Wang 等[17]對時間相關性進行建模之后使用MINQUE 方法對隨機誤差模型進行估計，并證明了更加真實的隨機誤差模型可以提高載波相位模糊度解算正確率。整周模糊度解算正確率取決于以下3 個因素[18]：1)觀測方程的強度，如功能模型；2)觀測量的噪聲特性，如隨機誤差模型；3)整周模糊度解算方法的選擇。

Amiri-Simkooei等[19-22]利用LS -VCE 估計了短基線時間序列的噪聲狀況，并同時考慮不同觀測量的方差、協方差、衛星仰角相關性及觀測量之間的時間相關性，建立了基于幾何無關功能模型的隨機誤差模型。但在采用LS-VCE 算法對模型進行求解時并沒有對LS-VCE 算法進行優化，工作量大。另外，Amiri-Simkooei 也沒有考慮接收機時鐘不同步引起的衛星位置誤差對定位精度的影響。針對此問題，本文主要研究決定整周模糊度解算正確率的第二個因素，建立一種更加真實的隨機誤差模型并應用于整周模糊度的解算中，以驗證模型的有效性。其貢獻主要包括：1)在幾何相關功能模型中引入誤差修正項，以消除或削弱接收機鐘差不同步引起的衛星位置誤差；2)同時考慮不同觀測量類型、不同衛星觀測量、衛星仰角相關性及觀測量時間相關性，建立一種更加真實的隨機誤差模型；3)針對LS-VCE 算法計算量大的問題，提出一種以空間換時間的改進LS-VCE 算法并求解隨機誤差模型；4)采集2 組真實的GPS 數據對所提方法進行性能評估；5)將本文所建立的隨機誤差模型應用于整周模糊度解算中，并與3 種常用隨機誤差模型進行比較，驗證該模型的可靠性和有效性。

2 改進的幾何相關功能模型

幾何相關功能模型是利用衛星與接收機之間的幾何分布關系，對衛星i到參考接收機r和用戶接收機u的距離差值做出近似。一般認為這個距離差值是同一時刻對同一衛星進行觀測得到的，事實上由于2 個接收機的鐘差及衛星到2 個接收機的傳輸延時不一致，即使2 個接收機給出了相同的歷元時刻，其所對應的信號發送時刻也是不一樣的。換句話說，2 個接收機在相同歷元時刻得到的觀測量分別對應2 個不同的衛星位置i(r)和i(u)，此情況下同時觀測衛星i的接收機r和u的幾何分布如圖1 所示。

圖1 考慮不同接收機鐘差后的距離單差模型

由于衛星和接收機之間的距離足夠遠，可以認為r到i(r)的向量和u到i(u)的向量平行。由i(r)和i(u)之間的位置差異引起的距離單差誤差，可用i(r)到i(u)的向量在r到i(r)向量的投影來近似表示。接收機r和u觀測同一衛星i的單差可表示為

其中，bur為r指向u的基線向量，bi(ur)為i(r)指向i(u)的向量，為r到i(r)的單位向量。

同理，可計算接收機r和u觀測同一衛星j的單差及同時觀測衛星i和j的雙差。

若同時觀測m顆衛星，并以第一顆衛星為參考，可得改進的偽距觀測量幾何相關模型為

式(3)對應的矩陣表達形式為

改進的載波相位觀測量幾何相關模型為

式(5)對應的矩陣表達形式為

由式(4)和式(6)可知，改進的幾何相關模型由于添加了誤差改正項，能有效消除由差分時刻不同步導致的衛星位置誤差。

3 GPS 觀測量隨機誤差模型

一個更加真實的隨機誤差模型應該包括觀測量的方差、不同觀測量之間的協方差、衛星仰角相關性及GPS 觀測量的時間相關性等多個因素。本節在同時考慮以上4 個因素的基礎上建立了一種更加真實的觀測量隨機誤差模型。由于第2 節已建立了幾何相關功能模型，對由衛星信號發送時刻不同步引起的誤差進行了消除，同時參考文獻[19-20]，進行如下假設。

1)忽略同一接收機同時觀測到的多個衛星觀測量之間的相關性。

2)忽略接收機之間任意2 個衛星觀測量之間的相關性。

3)用戶接收機和參考接收機同時觀測的同一衛星隨機誤差狀況相同。

這些假設不一定是觀測量隨機誤差模型的真實情況，但簡化模型中觀測量方差比協方差在加權最小二乘中起著更重要的作用，是隨機誤差模型的主要信息。因此，本文建立的觀測量隨機誤差模型忽略了協方差分量，保留了全部方差分量。此時GPS 觀測量隨機誤差模型可表示為

其中，?表示克羅內克積，矩陣C、T、E可分別表示為

若同時跟蹤載波信號L1和L2，則有4 種觀測類型，分別為偽距觀測量ρ1和ρ2、載波相位觀測量φ1和φ2。C為觀測類型協方差矩陣，主對角線和非主對角線元素分別表示GPS 觀測量的方差和協方差；T為觀測量的時間相關性協方差矩陣，主對角線元素表示每個歷元的自相關性，理論上取值為1；n為觀測歷元數；m階矩陣E是偽距雙差觀測量，表示與衛星仰角相關的觀測量精度，以與仰角θ正弦成反比的函數建模[23]，即

其中，m為觀測的衛星數量，并以第一顆衛星作為參考衛星；a、b為模型參數。

4 隨機誤差模型的求解

4.1 LS-VCE 估計

考慮如式(12)所示的線性觀測模型。

其中，E 表示隨機變量期望；D表示隨機變量協方差；y為m×1 的觀測量；A為m×n階觀測方程矩陣；x是n維待估計參數；觀測量協方差矩陣Qy可分解成一系列因子矩陣的線性組合；Q0表示協方差矩陣中的已知部分；Qk是構成協方差矩陣的因子矩陣，為已知項，k=1,…,p；σk為待估計參數。

定義觀測量殘差如式(13)所示。

給定對稱正定權重矩陣W，根據加權最小二乘估計準則可得x的估計量為

殘差e的估計量為

記P⊥=I-A(ATWA)-1ATW，式(15)可簡化為

同樣，根據加權最小二乘估計方法可得σk的估計量為

記N=ATWA，z=ATWy，則式(17)簡化為

其中，N中第k行第l列元素為

向量z的第k個元素為

算法1基于觀測方程矩陣的LS-VCE 計算流程

輸入觀測方程矩陣A，觀測量y，因子矩陣Qk

初始化方差分量迭代初始值σk0,k=1,…,p，迭代控制誤差ε，迭代計數i=0

迭代過程在第i次循環中執行步驟1)～步驟5)。

3)計算矩陣N和向量z；

5)i=i+1；當＜ε時，迭代結束。

輸出最小二乘方差分量估計，協方差矩陣N-1。

注意到算法1 中步驟3)描述的N為對稱矩陣，只需求解下三角或者上三角元素。另外，在計算N和z的過程中頻繁使用。為此，本文提出了一種以空間換取時間的改進LS-VCE 方法。

改進的基于觀測方程矩陣的LS-VCE 計算流程如算法2 所示。

算法2改進的基于觀測方程矩陣的LS-VCE計算流程

輸入觀測方程矩陣A，觀測量y，因子矩陣Qk

初始化方差分量迭代初始值σk0，k=1,…,p；迭代控制誤差ε；迭代計數i=0

迭代過程在第i次循環中執行步驟1)～步驟6)。

輸出最小二乘方差分量估計，協方差矩陣N-1。

4.2 隨機誤差模型的迭代分步求解

采用改進的LS-VCE 算法對隨機誤差模型進行求解需要以下3 個步驟。

step1估計式(7)中的矩陣C。參考文獻[21]和文獻[22]中，忽略各觀測量的時間相關性和衛星仰角相關性，取T為k階單位矩陣，E可簡化為

矩陣C中未知的方差和協方差分量采用改進的LS-VCE 算法進行求解。

step2考慮GPS 衛星仰角相關性，將step1 估計得到的矩陣C代入隨機誤差模型，T仍為k階單位矩陣，采用改進的LS-VCE 算法求解矩陣E。

step3根據前兩步計算得到矩陣C和E，再利用改進的LS-VCE 算法求解矩陣T?；诟倪M的LS-VCE 算法的迭代分步求解流程如圖2 所示。

5 隨機誤差模型的性能評估

采用2 兩組實測GPS數據分別對幾何相關功能模型、改進的LS-VCE 算法及隨機誤差模型進行性能評估。第一組數據是2017 年8 月23 日07:00:00開始采集的，基線長度為2.791 2 m 的2 臺接收機和芯星通 UR380 和 NetR9 的GPS 數據；第二組數據是2018 年1 月13 日00:00:00 開始采集的，基線長度為0 的接收機Trimble BD970 的GPS 數據。每組數據持續24 h 同時跟蹤L1和L2載波信號，并同時獲得載波相位觀測量和偽距觀測量。

5.1 幾何相關功能模型性能評估

直接利用原始觀測量得到的接收機偽距和載波相位觀測量雙差值如圖3 所示，圖3(a)和圖3(c)分別為衛星PRN14和PRN3載波相位雙差值和偽距雙差值，圖3(b)和圖3(d)分別為衛星PRN14 和PRN32 載波相位雙差值和偽距雙差值。

由圖3 可知，載波相位觀測量精度較高，PRN14和PRN3 的雙差值在 ±0.4 m 內波動，PRN14 和PRN32 的雙差值在 ±0.3 m 內波動，受差分不同步誤差影響比較大。偽距觀測量精度較低，PRN14 和PRN3 的雙差值在 ±1.2 m 內波動，PRN14 和PRN32的雙差值在 ±0.9 m 內波動，雖然也受到差分不同步誤差的影響，但在1 ms 的接收機鐘差差異范圍內，影響程度沒有載波相位觀測量顯著。

圖2 基于改進的LS-VCE 算法的迭代求解流程

圖3 零基線GPS 數據在3 600 個歷元內的觀測量雙差值

改進的幾何相關功能模型首先估算由接收機鐘差不一致引起的差分不同步誤差，再用該差分不同步誤差校正偽距和載波相位觀測量的雙差值，校正后觀測量的雙差值如圖4 所示。

圖4 基于改進幾何相關模型的零基線GPS 數據在3 600 個歷元內的觀測量雙差值

由圖4 可知，改進的幾何相關模型能較好地消除由差分不同步引起的誤差，得到了零基線載波相位雙差值應有的零期望隨機噪聲結果，PRN14 和PRN3 及PRN14 和PRN32 的載波相位雙差值均在±4×10-3m 內波動，較矯正前精度提高了2 個數量級，偽距觀測量雙差值也同樣得到了校正，不過沒有高精度的載波相位觀測量得到的校正結果顯著。

5.2 改進的LS-VCE 算法效率評估

采取以空間換時間的思想，通過減少矩陣乘法和求逆運算對LS-VCE 算法進行改進。為驗證算法的性能，在相同的計算平臺下對實驗中2 組數據的500 個歷元分別采用改進前后的LS-VCE 算法進行數據處理，耗時情況如表1 所示。

表1 改進前后LS-VCE 算法的耗時情況

由表1 可知，改進后的LS-VCE 算法其計算效率提高了70%左右，即改進的LS-VCE 算法在不改變精度和無偏性要求的基礎上大大提高了計算效率。

5.3 隨機誤差模型性能評估

根據式(7)所描述的隨機誤差模型，分別對觀測數據進行估計。零基線數據由于沒有外部誤差干擾，迭代結果與未迭代結果相差不大，因此這里主要對受外界干擾比較明顯的短基線數據進行分析，以驗證迭代分步求解方法在提高觀測量隨機誤差模型參數估計精度上的有效性。

1)不同觀測量的方差估計。通過迭代分步求解得到的4 種類型觀測量的方差估計如表2 所示。

由表2 可知，零基線受外部環境誤差的影響小，各類型觀測量隨機誤差估計結果比短基線小且穩定。迭代求解后，短基線和零基線各類型觀測量的方差估計更加準確穩定，偽距觀測量的隨機誤差標準差都達到亞米級，載波相位觀測量的隨機誤差標準差達到毫米級。

2)不同觀測量間的協方差估計。為更清楚地表述各觀測類型之間的相關關系，將協方差分量轉化為相關系數的形式，通過迭代分步求解法得到的協方差估計如表3 所示。

由表3 可知，L1和L2的相位觀測量存在較強的相關性，這是因為2 個載波相位觀測量精度與2 個偽距觀測量精度相差太大。在零基線情況下，除了2 個載波相位之間的相關性很高之外，其他各觀測類型之間都具有零均值的相關性。在短基線數據中，由于外部環境的干擾，觀測量精度降低，L1和L2所受的干擾也有差異，載波相位觀測量的相關性降低，同時，由于存在對各觀測類型一致的干擾，其他各觀測類型的相關性有所增長，迭代后短基線數據中L1和L2的相位相關性明顯增強。

表2 迭代分步法得到的4 種觀測量方差估計

表3 迭代分步法得到的不同觀測量協方差估計

3)衛星仰角相關性估計。根據PRN8、PRN10、PRN11 和PRN13 這4 顆衛星觀測量方差隨衛星仰角的變化情況，采用迭代分步法得到的短基線衛星仰角相關誤差如圖5 所示。其中實線為全局擬合結果，即選取歷元時段內所有衛星數據擬合結果，虛線對應衛星在選取歷元時段內的擬合結果。

由圖5 可知，高仰角情況下衛星觀測量方差較小，隨著仰角減小，衛星觀測量方差顯著增大。短基線由于受接收機外部環境誤差的干擾，衛星觀測量方差有較大幅度的變化。迭代前后擬合出的各組實驗數據仰角相關誤差模型參數如表4 所示。

由表4 可知，迭代前兩組數據的模型參數差異較大，迭代后其差異明顯減小。為進一步評估迭代后各類型觀測量的方差估計，對短基線數據的載波相位與偽距標準差比值進行分析。短基線數據中L1和L2的相位和偽距觀測量標準差比值如圖6 所示。

從圖6 中可以看出，迭代后各觀測類型相對保持穩定，即迭代后的觀測量隨機誤差模型更符合對整個模型的結構化設計。矩陣C從整體上反映各類型觀測量的方差和相關性，矩陣E反映各個衛星觀測量的方差，迭代求解的過程使2 個矩陣能夠更好地分離，每個矩陣的結果都更加準確。

4)觀測量時間相關性估計。取5 個連續歷元數據進行相關性分析，根據改進的LS-VCE 算法獲得C、E和T之后，采用迭代分步法得到的觀測量時間相關性如表5 所示。

圖5 采用迭代分步法得到的PRN8、PRN10、PRN11 和PRN13 這4 顆衛星短基線數據仰角相關誤差

表4 迭代前后仰角相關誤差模型參數

圖6 短基線數據載波相位與偽距標準差的比值

由表5 可知，2 組數據的時間相關性都隨著時間間隔的增加而減小。迭代前零基線各歷元數據之間幾乎無關，從第二個歷元開始相關性就接近于0。而短基線各歷元數據由于多徑效應等外界因素的影響，時間相關性在5 個歷元之后還保持在0.4 以上，迭代后各觀測量的時間相關性比迭代前高。

表5 迭代前后GPS 觀測量的時間相關性

6 隨機誤差模型在整周模糊度解算中的應用

載波相位整周模糊度解算是高精度定位應用中的一個重要問題，在整周模糊度解算過程中，一般采用LAMBDA 算法搜索最小二乘整數解時需要得到浮點解協方差矩陣，而浮點解協方差矩陣是通過誤差傳播式由觀測量協方差矩陣獲得，因此觀測量的協方差矩陣，即觀測量隨機誤差模型對整周模糊度的解算有很大影響。本節將研究分析不同觀測量隨機誤差模型對載波相位整周模糊度解算的影響。

根據觀測量隨機誤差模型的準確度，在整周模糊度解算實驗中將觀測量隨機誤差模型分為4 種。

模型1不考慮隨機誤差，假設各觀測量具有相同的測量精度，觀測量協方差矩陣為單位陣，不考慮各觀測量之間的差異以及相關性。

模型2只考慮偽距觀測量和載波相位觀測量之間的差異，不考慮各觀測量之間的相關性及觀測量自身的差異和相關性。

模型3考慮不同觀測量之間的差異，觀測量隨機誤差模型采用式(11)所示的擬合函數。

模型4本文所建立的觀測量隨機誤差模型，每5 個歷元為一個分組，假設2 個相鄰分組具有相同的隨機誤差模型，將前一分組的估計值作為后一分組中隨機誤差模型的初始值。

利用4 種隨機誤差模型對短基線和零基線24 h的衛星觀測數據進行載波相位整周模糊度解算實驗，所有實驗均采用單頻單歷元模糊度解算方法，得到整周模糊度解算正確率情況如表6 所示。

由表6 可知，在完全不考慮觀測量隨機誤差模型的情況下，整周模糊度解算的正確率很低，最高只有11.237%。將偽距和載波相位觀測量的經驗值代入隨機誤差模型后，整周模糊度解算的正確率得到極大提升，最高達到99.785%，最低也有84.033%。再將觀測量衛星仰角相關模型引入隨機誤差模型，對觀測量的估計更加準確，整周模糊度解算正確率繼續提高，最高達到99.789%，最低也有87.428%。本文所建模型的解算正確率比前3 種都高，最高可達到99.847%，最低也有92.549%。另外，在解算L1時，模型 4 的成功率為 92.549%，略高于Amiri-Simkooei[18]的成功率92.500%，在解算L2時，模型4 的成功率為95.714%，與Amiri-Simkooei[18]的成功率95.200%相比，高出0.514%。

表6 2 組數據整周模糊度正確率情況

實際應用常采用比例檢測法確認整周模糊度，當比值大于某一閾值時最優整數解為正確解，否則為錯誤解。短基線和零基線2 組數據在4 種模型下的整周模糊度解算誤報率和錯檢率情況分別如圖7和圖8 所示。

圖7 4 種模型下L1、L2短基線數據整周模糊度解算誤報率和錯檢率

圖8 4 種模型下L1、L2零基線數據整周模糊度解算誤報率和錯檢率

由圖7 可知，模型4 的誤報率最低且差異很小，模型1 的誤報率明顯高于其他3 種模型，即隨機誤差模型越準確，整周模糊度解算誤報率越小。4 種模型在錯檢率方面的區別不大，由于模型4 的整周模糊度錯誤數量比較少，L2頻率中的錯檢率略高。由圖8 可知，對于零基線數據，模型1 的誤報率明顯高于其他3 種模型，模型4 仍保持較低的誤報率，在錯檢率方面4 種模型沒有明顯的差異。

7 結束語

實際研究和應用中，隨機誤差模型考慮的因素越細致，越能反映觀測量的真實誤差狀況。為此，本文研究了一種基于幾何相關功能模型的觀測量隨機誤差模型。首先，為消除或削弱接收機鐘差不同步引起的衛星位置誤差，在幾何相關功能模型中引入誤差修正項對幾何相關功能模型進行改進，實驗結果表明，改進后的雙差觀測量精度提高了2 個數量級；其次，為降低LS-VCE 算法的計算量，提出一種以空間換時間的改進的LS-VCE 算法，實驗結果表明，與傳統的LS-VCE 算法相比，改進后的LS-VCE 算法在求解短基線和零基線隨機誤差模型時，其耗時分別節省了69.8%和71.2%；最后，利用2 組真實的GPS數據對所建的隨機誤差模型進行了性能評估，并采用該模型解算載波相位整周模糊度，實驗結果表明，在解算L1和L2時，該模型的成功率均高于Amiri-Simkooei 所提方法。