淺析函數性質研究中的一種“天平結構”

江蘇省淮陰師范學院附屬中學 韓立云

一、研究結構，訓練思維

以天平結構為載體，深入研究解法，優化思維，容易形成深刻認識，提升思維能力。

例題1：（蘇教版課本原題）已知函數y=f(x)是定義在R上的減函數，f(a+1)＞f(2a)，求a的取值范圍。

解法：本題利用單調性很容易得到a+1 ＜2a，得到a＞1。

例題2：已知函數f(x)=x2-2x+a，若f(m)＜f(3)，求m的取值范圍。

解法1（代入法）：代入解析式，再解不等式容易求解；解法2（水平線法）：天平結構的本質是比較大小，而y=f(3)這條“水平線”就凸顯了其核心地位，與f(3)的大小數量關系就轉化成與y=f(3)這條“水平線”圖像的上方下方關系，容易得到-1 ＜m＜3。

從上面兩個基礎例題中不難發現天平結構的三種解法：代入法、單調性、水平線。其中，從思維訓練角度“單調性和水平線”為重點方法。基于以上方法分析，再去處理以下問題，便能思路開闊，容易解決。

（2）已知函數f(x)=x2-|x|，若f(m-1)＜f(2)，求實數m的取值范圍。

分析：很明顯，上面都是“天平結構”，通過結構考查函數性質的研究。基于上面的方法分析，前面3 題應該去畫圖，通過圖像去探尋“單調性”或“水平線”的解決辦法，而題（4）只能是研究單調性，進而定性觀察分析函數奇偶性和單調性就順理成章了。

題（1）

題（2）

題（3）

二、聯想結構，提升素養

有了“天平結構”的認知以及基本題型的方法研究，就形成了“結構認識”。對于較為復雜的一些問題，通過新題目中個別點與已有結構的相似性就可以產生聯想，與已有結構產生直觀想象，提升了數學核心素養，激發轉化為標準結構，再依據已有研究方法高效解決問題。如：

（6）已知函數f(x)=x3+x+1)，若對于任意的x，都有f(x2+a)+f(ax)＞2，求實數a的取值范圍。

分析：兩題有著“天平結構”的相似性，進而努力實現轉化。題（5）畫圖發現在定義域上單調遞增，發現f（3）=12，從而轉化為f(x2-x+1)＜f（3），由圖像可得函數在R上單調遞增，于是x2-x+1＜3，解得-1 ＜x＜2。題（6）構造F（x）=f（x）-1，則有F（x）=x3+x，F（x2+a）+F（ax）＞0，因為F（x）為R上遞增的奇函數，所以有x2+a）＞-ax，容易解得0 ＜a＜4。“天平結構”對題（5）（6）解題過程起到了指向作用，引導轉化的方向，大大提高了解決新問題的能力，在結構相似性的聯想和直觀想象過程中提升了數學核心素養。

通過上面論述，能看出“天平結構”研究函數性質是有一定作用的，而這種結構化的研究對很多問題解決是有幫助的。對已有內容產生認識，實踐中通過結構化再認識，再實踐時感受就不一樣了，函數性質得到深度掌握，相關能力及素養無形中也提升了。