考慮碰撞的冗余串聯機器人沖擊運動分析與優化

暢博彥 朱永杰 金國光 宋艷艷 李曉寧 路春輝

(1.天津工業大學機械工程學院， 天津 300387； 2.天津市現代機電裝備技術重點實驗室， 天津 300387)

0 引言

機器人在工作過程中，不可避免地與外界環境發生接觸和碰撞[1-2]。碰撞會使機器人的運動狀態和動力學特性發生變化，影響系統的正常運行，嚴重時甚至會使系統發生破壞[3-5]。因此，有必要在碰撞前對機器人的沖擊運動進行分析和優化，以減小碰撞所產生的不利影響。

機器人系統碰撞動力學建模是對其進行沖擊運動分析與優化的基礎。RYU等[6]針對機械手工作過程中的碰撞情況，運用Lagrange方程建立了機械手的碰撞動力學模型，并用實驗驗證該模型的正確性；CHAPNIK等[7]考慮了多種阻尼效應，運用有限元法對單臂機器人碰撞動力學建模進行了研究，并模擬了機械臂在沖擊載荷作用下的運動；金國光等[8]針對機械臂在運行過程中的接觸碰撞問題，基于高斯最小約束原理和系統碰撞前的狀態參數，提出了一種確定接觸碰撞后系統狀態量的分析方法；文獻[9-10]針對柔性機器人碰撞時的動力學建模問題，引入沖量勢，結合碰撞恢復系數方程，得到碰撞結束瞬時系統的廣義速度求解方程；劉辛軍等[11-12]對二自由度平面機器人進行研究，針對機器人的綜合性能問題，提出了全域性能指標和局域性能指標的分析方法，以確定機器人的構件長度與性能指標之間的關系；賈慶軒等[13-14]根據空間機械臂在軌對接或裝配時多重任務的要求，通過分析任務的特點，提出了多目標融合的冗余度空間機械臂碰前軌跡優化方法，并對機械臂碰前軌跡進行了優化；李憲華等[15]使用反變換法求解機械臂運動學逆解，通過給出解的組合原則，得到了該機械臂逆運動學的完整解析解，為機械臂的軌跡規劃提供了理論依據；趙占芳等[16]針對冗余機器人的避障問題，根據雅可比矩陣的零空間，通過選取合理的放大系數，對串聯機器人進行了運動學規劃；溫貽芳等[17]針對冗余機器人末端軌跡優化過程中關節空間運動穩定性不足的問題，提出一種以適應度函數為基礎的關節空間軌跡優化算法；王安琪等[18]通過空間矢量引導、避障路徑的比較，快速找到空間優化路徑，實現多目標軌跡規劃方法。以上研究工作為冗余機器人碰撞動力學建模和碰前軌跡優化提供了方法。

本文根據機器人的工作環境和使用工況的不同，將機器人的碰撞問題劃分為無約束碰撞和有約束碰撞。無約束碰撞是指機器人在其工作空間內，不受環境和自身運動的約束，在任意位置均有可能觸發的碰撞。有約束碰撞是指機器人在其工作空間內，受到環境或自身運動的約束而按特定條件觸發的碰撞。針對兩種碰撞類型，基于碰撞過程中的沖量原理與碰撞恢復系數方程，建立碰撞時系統所受外部沖量的求解模型。對于無約束碰撞，以速度突變量和沖量之間的映射矩陣為基礎，從物理意義出發，構造沖擊運動性能評價指標，研究沖擊運動性能與機器人機構尺寸之間的關系，并繪制對應的局域和全域性能圖譜。對于有約束碰撞，在沖擊動力學模型的基礎上，以系統所受外部沖量最小為目標，分別對定點碰撞和動點碰撞的碰前位姿進行優化，并進行仿真驗證。

1 串聯機器人系統外部沖量求解模型

在慣性坐標系中，假設機器人執行末端點坐標為Xact，相應的環境接觸點坐標為Xenv，機器人的沖擊運動如圖1所示。

圖1 機器人系統接觸碰撞示意圖Fig.1 Diagram of robot system with collision

針對n自由度串聯機器人系統，記系統的廣義坐標為q=(q1,q2,…,qn)T。根據Lagrange方程，其動力學方程可表示為

(1)

式中q——n×1維廣義坐標向量

M——n×n維系統慣性矩陣

τ——n×1維廣義坐標對應的驅動力矩向量

G(q)——n×1維重力對廣義坐標的等效力向量

機器人機構的末端點在慣性坐標系中廣義坐標的形式為

Xact=φ1(q)

(2)

在任意工作位置附近，令系統末端產生虛位移δXact，根據機器人機構的位置幾何關系可知

δXact=Jδq

(3)

(4)

在系統發生碰撞時間間隔δt內，Xenv可以用廣義坐標q表示為

Xenv=φ2(q)

(5)

當式(5)關系成立時，在接觸點Xact處產生碰撞且外部沖擊力為F，沖擊力矩為τact。根據虛功原理，系統的主動力、主動力矩對作用點的虛位移作功之和為零，即

(6)

將式(3)代入式(6)可得

τact=JTF

(7)

當機器人末端受到外部沖擊作用時，根據靜力平衡條件，由式(1)和式(7)可知，機器人系統的動力學方程為

(8)

根據經典碰撞理論，對系統作如下假設：碰撞時間無限小，碰撞過程中所有桿的位置和方位不變，碰撞是點接觸，碰撞過程中桿的形狀和慣量不變[8]。由于碰撞過程多是彈性碰撞，設碰撞恢復系數為e(0

(δv1-δv2)Tn=-(1+e)(v1-v2)Tn

(9)

式中v1、v2——碰撞瞬時兩物體在碰撞點的絕對速度

δv1、δv2——碰撞過程中的速度增量

根據上述假設可知，碰撞后機器人關節的位置保持不變，各關節的角速度是有限量。對式(8)在整個碰撞過程δt內積分得

(10)

式中t0——碰撞前的瞬時時刻

因為位移和速度在碰撞過程中為有限量，當δt→0時，式(10)左端的第2項趨于零，得

(11)

其中

式中p——碰撞沖量

由此可得系統廣義速度增量的表達式為

(12)

碰撞點處的速度增量為

δv=JM-1JTp

(13)

假設機器人系統與外界環境發生碰撞，若碰撞時接觸表面沒有摩擦，則碰撞沖量的方向總是沿著接觸點法向量n，將式(13)代入式(9)得

(14)

又因為

p=pn

(15)

則系統在碰撞點處所受到的沖量為

(16)

2 運動冗余串聯機器人的無約束碰撞

2.1 沖擊運動性能評價指標

機器人的沖擊運動性能評價指標不僅與機器人的位形有關，而且與機器人的機構尺寸有關，機構尺寸參數的確定是機器人機構設計中的重要課題[19-21]。確定合理的機構參數是研究冗余串聯機器人碰撞問題的首要條件，針對無約束碰撞時機構的穩定性分析，提出沖擊運動全域性能指標和局域性能指標，可為機器人結構的設計提供依據。機器人發生碰撞時，外部沖量p與系統末端速度增量V之間的映射關系為

V=Jtp

(17)

其中

V=δvJt=JM-1JT

式中Jt——沖擊運動映射矩陣，為對稱陣

由于沖擊力的不確定性，其計算值與理論值總會有一定的偏差δp，因此速度增量也會產生相應的偏差δV，即

(V+δV)=Jt(p+δp)

(18)

由式(17)和式(18)可得

δV=Jtδp

(19)

根據矩陣分析理論，可知

‖V‖=‖Jtp‖≤‖Jt‖‖p‖

(20)

(21)

‖δV‖=‖Jtδp‖≤‖Jt‖‖δp‖

(22)

(23)

式中‖‖表示向量或矩陣的范數。

由式(20)和式(23)可得

(24)

由式(21)和式(22)可得

(25)

由式(24)和式(25)可得

(26)

(27)

條件數kt是評價沖擊運動映射矩陣病態程度的重要指標，可用來衡量沖擊運動映射矩陣之逆矩陣的精確度，滿足條件

kt≥1

(28)

由于機器人的沖擊運動映射矩陣Jt是非常數矩陣，它與機器人的位姿、幾何參數和物理參數有關。為了定量評價機器人的沖擊運動性能，可在整個工作空間上定義其全域性能指標，即

(29)

式中W——機器人的可達工作空間

ηt——機器人發生碰撞時的沖擊運動全域性能指標

由式(28)、(29)可知，全域性能指標ηt是一個大于零且小于或等于1的數。

全域性能指標是指每種具體尺寸機器人的性能指標分布在其整個工作空間內的平均值；與全域性能指標相對應，局域性能指標是指某一具體尺寸機器人機構的性能指標在其工作空間內每個形位的分布情況[21]。局域性能指標用ηJ表示。

(30)

用全域性能指標優化機器人機構時，優化結果為平均值最優，不能體現局域性能，還需要考慮性能指標值在具體工作空間內的分布是否合理。所以，在設計機器人機構時，需要綜合分析全域性能指標和局域性能指標。

2.2 優化示例

圖2的平面3自由度機構是串聯機器人系統中最常見的構型，以該機構為研究對象，根據上述理論，研究各桿長度變化對機器人沖擊運動性能指標的影響，以確定合理的機構設計參數。

圖2 平面3自由度機器人Fig.2 Planar 3-DOF robot

當桿j(j=1,2,3)的長度為基準長度時，kij(i=1,2,3;i≠j)表示桿i與桿j長度的比值，為無量綱參數。由式(30)可分別計算并繪制出機構沖擊運動全域性能指標隨桿長的變化規律，如圖3所示。

圖3 機器人的全域性能圖譜Fig.3 Atlases of global conditioning index for planar 3-DOF robot

當選擇桿1長度為基準長度時，對應機器人機構的沖擊運動全域性能圖譜如圖3a所示，指標值在圖譜內的分布規律為：指標值與桿3長度成正比，與桿2長度成反比；由等高線的分布規律可以看出，桿2和桿3長度對指標值的影響程度都很明顯。

當選擇桿2長度為基準長度時，對應機器人機構的沖擊運動全域性能圖譜如圖3b所示，指標值在圖譜內的分布規律為：指標值與桿1長度成正比，與桿3長度成反比；由等高線的分布規律可以看出，桿1長度對指標值的影響程度都明顯，當k12<1時，桿3長度對指標值的影響程度不明顯，當k12>1時，桿3長度對指標值的影響程度逐漸增大。

當選擇桿3長度為基準長度時，對應機器人機構的沖擊運動全域性能圖譜如圖3c所示，指標值在圖譜內的分布規律為：指標值與桿1和桿2長度成反比；由等高線的分布規律可以看出，桿1長度對指標值的影響程度明顯，桿2長度對指標值的影響程度不明顯。

在圖3a中選取兩組不同的桿長參數進行機構沖擊運動局域性能分析，得到圖譜如圖4所示。其中，曲面A表示3個桿的長度l1=l2=l3=0.2 m時，機構的局域性能指標分布，曲面B表示3個桿的長度l1=l2=0.2 m、l3=0.05 m時，機構的局域性能指標分布。

圖4 機器人的局域性能圖譜Fig.4 Atlases of local conditioning index for planar 3-DOF robot

根據局域性能圖譜可以看出，機器人的沖擊運動性能與其位姿有直接關系，當機器人接近奇異位置時，其沖擊運動局域性能指標顯著降低，當機器人處于奇異位置時，ηJ=0，此時外部沖量的微小變化都會使得系統產生較大的速度波動。另外，由圖4可以看出，曲面A所對應的機器人機構在外部沖擊作用下保持運動穩定性的能力明顯高于曲面B所對應的機器人機構。

3 運動冗余串聯機器人的約束碰撞

令串聯機器人機構的任務自由度為N1，機構自由度為N2，驅動構件數目為N3，當N1

根據碰撞時約束條件的不同，可對約束碰撞進行分類。當機器人末端與已知目標物在其可達工作空間內的某一定點以確定的運動速度發生碰撞時，稱為定點碰撞，即定點碰撞的約束條件為機器人末端的位置約束；當機器人末端在其可達工作空間內沿任務軌跡運動的過程中，在某一瞬時與未知目標物發生碰撞，稱為動點碰撞，即動點碰撞的約束條件為機器人末端的軌跡約束。

3.1 定點碰撞問題的優化

以碰撞時產生的外部沖量最小為優化目標，根據定點碰撞的定義，運動冗余串聯機器人定點碰撞優化的實質是對碰撞時機器人機構的位姿和碰撞方向進行優化，根據式(2)、(5)、(16)可得其數學模型為

minp(q,θ)=

(31)

(32)

以平面3自由度串聯機器人機構(圖2)為研究對象，研究機構末端與固定目標物以不同的位姿和碰撞方向發生定點碰撞時所產生的外部沖量。在沖擊運動全域性能指標分析的基礎上，選取3個桿件的長度均為0.2 m。假設機器人機構末端沿X軸負方向以v1=1 m/s的速度在M點處與固定目標物發生定點碰撞，設定恢復系數e=0.8，θ為執行末端碰撞時的速度方向與接觸點法線方向的夾角，q1、q2、q3為機器人機構的廣義坐標，設置定點碰撞的約束條件為：Xact=Xenv=(0,0.2 m)，-π/2<θ<π/2，如圖5所示。

圖5 串聯機器人定點碰撞示意圖Fig.5 Diagram of serial robot’s immovable-point impact

將上述已知條件代入式(31)和式(32)可得機構發生定點碰撞時，機構位姿和碰撞方向對外部沖量的影響規律，如圖6所示。

圖6 外部沖量圖譜Fig.6 Index of external impulse

由圖6可以看出，定點碰撞時產生的外部沖量與機器人機構的位姿和碰撞方向緊密相關，在設計空間中的區域Ⅰ和區域Ⅱ，機器人機構發生定點碰撞時所產生的外部沖量較小，在區域Ⅲ所產生的外部沖量急劇增大，可根據實際工況的需求即盡可能避免沖擊或利用沖擊，進行相關參數的選取。

3.2 動點碰撞問題的優化

當機器人發生動點碰撞時，由于碰撞點未知，則需對其運動過程中任意時刻的位姿——動態位姿進行優化，使碰撞發生時產生的外部沖量最小。針對動點碰撞問題，首先運用梯度投影法得到考慮關節速度約束的運動冗余串聯機器人的逆運動學解析解。

式(2)兩邊關于時間t求導得

(33)

(34)

式中J+——雅可比矩陣J的廣義逆

I——單位矩陣

y——優化指標函數

式(34)右邊第1項是方程(33)的特解，是機器人基本運動要求的最小范數解；第2項為齊次解，表示機器人關節空間的自運動。運用雅可比矩陣的零空間可以實現在不改變執行末端運動規律的情況下，對其關節角速度進行優化。

由式(16)可知，冗余串聯機器人發生動點碰撞時，碰撞產生的沖量與式中的分母成反比，取沖擊運動性能指標函數為

(35)

(36)

α——放大系數

可通過仿真法予以確定[16]。針對動點碰撞問題，通過優化μ值，即在運動過程中使其數值盡可能大，以達到減小外部碰撞沖量的目的。

以平面3自由度串聯機器人機構(圖2)為研究對象，對其進行動點碰撞問題研究。同樣選取3個桿件的長度均為0.2 m，質量為0.1 kg。機器人各關節的初始狀態為q1=-2π/3、q2=2π/3、q3=2π/3，如圖7所示。

當串聯機器人執行末端沿著向量n=(cos(π/4),sin(π/4))T方向，v=0.06 m/s作勻速直線運動時，對應μ如圖8所示。由圖8可以看出，α取正數時，μ隨著α的增大而增大，當α>0.05時，μ值增大不明顯，因此可在0～0.5之間選取合適的α值。此外，優化后機器人機構運動過程中的μ值明顯大于優化前(α=0)，結合式(16)、(35)可知，優化后的串聯機器人在運動過程中的任意時刻發生碰撞，所產生的外部沖量都可得到有效降低，優化效果明顯，如圖9所示。

圖7 串聯機器人動點碰撞示意圖Fig.7 Diagram of serial robot’s movable-point impact

圖8 性能指標函數Fig.8 Performance index function

圖9 外部沖量Fig.9 External impulses

基于逆運動學解析解可求得機器人機構中各構件的運動軌跡，如圖10所示。

圖10 機器人運動軌跡圖Fig.10 Diagrams of robot’s trajectory

對應α取不同值時，根據式(34)可求得各關節的初始廣義角速度，如表1所示。

由表1可以看出，關節1的初始廣義角速度隨著放大系數α的增大而成比例增大，且數值變化較大，該結論也可從圖10中得到驗證，其余兩關節的初始廣義角速度不變。可以發現，如果α取較小值，發生碰撞時對機器人機構的外部沖量優化效果不明顯，如果α取較大值，機器人機構關節空間自運動的速度有可能很高并引起關節速度越限。因此，需要綜合分析機器人機構碰撞時外部沖量、運動軌跡及各關節的初始廣義角速度，在計算仿真分析的基礎上選取合理的放大系數。

表1 機器人關節初始廣義角速度Tab.1 Initial generalized angular speed of robot joints rad/s

4 結論

(1)對運動冗余串聯機器人的碰撞問題進行了分類研究，根據機器人操作環境和使用工況的不同，將其碰撞問題劃分為無約束碰撞和有約束碰撞兩大類，約束碰撞中由于約束條件的不同又分為定點碰撞和動點碰撞。

(2)將多體系統沖擊動力學方程與碰撞恢復系數方程相結合，推導得機器人系統發生碰撞時的外部沖量求解模型，該模型中碰撞點的速度與碰撞沖量之間解耦，有利于計算求解。

(3)針對無約束碰撞問題，提出了沖擊運動映射矩陣的概念，構造了機器人的沖擊運動性能評價指標，該指標可用于評價系統在受到外部沖擊作用下保持運動穩定性的能力。

(4)針對定點碰撞問題，結合碰撞時的位置約束條件，建立了系統發生碰撞時的優化設計數學模型。針對動點碰撞問題，運用梯度投影法建立了考慮關節速度約束的串聯機器人逆運動學求解模型，該方法可使得機器人發生動點碰撞時產生的外部沖量最小。