三構態驅動變胞并聯球鉸設計與分析

胡旭宇 劉宏昭

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)

0 引言

變胞并聯機構由于具有隨任務變化而變自由度、變拓撲結構的特點和高承載能力、高精度等優點，已成為機構學與機器人學領域的研究熱點之一。KONG等[1]通過可鎖運動副，提出一種新型三維平移和三維轉動2模式變胞并聯機構。TIAN等[2]通過開啟與鎖死桿件，基于變胞連桿，綜合出一類3R、1T2R、2T1R和3T 4模式變胞并聯機構。王冰等[3]基于具有解耦特性的變胞球面五桿機構，通過串聯一個四自由度支鏈綜合出變胞支鏈，應用3條相同的變胞混聯支鏈構造了一類變胞并聯機構。GAN等[4-5]提出了一種變胞虎克鉸Uv，并分析了3-UvCUv變胞并聯機構的幾何約束。YE等[6-7]基于一種三構態的平面五桿變胞機構，通過構建混聯支鏈，綜合出含約束奇異特性的變胞并聯機構。ZHANG等[8]基于Bennett閉鏈構建混聯支鏈，提出一種新型變胞并聯機構。于紅英等[9]通過鎖住不同運動副的方式實現變胞支鏈的構態變換，提出一種基于基本支鏈構型的變胞并聯機構設計方法，并應用所提出的綜合方法，綜合了動平臺為Bricard機構的變胞并聯機構。劉偉等[10]提出了一類2模式可轉換變胞并聯機構。文獻[11-12]中通過將3個交于一點的轉動副替換球鉸，提出了一種關節鎖死的變胞球鉸Sv。

綜上可見，學者們通過研究機構的支鏈奇異特性實現變胞。一些機構需要在遠離機架的關節上安裝伺服電動機或關節鎖死裝置，影響機構的動態性能，并使機械結構變得復雜。通過驅動副的開啟與鎖死可有效避免變胞過程中的約束奇異以及支鏈奇異，而現有文獻中關于驅動變胞并聯機構的研究較少，特別是缺乏關于系統的包含一維、二維和三維轉動的驅動變胞并聯球鉸的相關研究。

本文基于有限旋量法提出一種可以實現一維轉動、二維轉動和三維轉動的三構態驅動變胞并聯球鉸。根據螺旋理論分析機構各構態的自由度，利用矢量法和幾何約束關系分析機構全構態運動學。最后基于驅動變胞并聯球鉸，提出一種八模式3-SPS/SmPU變胞并聯機構。

1 3-RRR并聯機構型綜合

3R球面并聯機構動平臺的有限旋量集合可表示為

{sf,PM}={sf,cΔsf,bΔsf,a}

(1)

其中

式中 {sf,PM}——動平臺的有限旋量[13]集合

{sf,c}——轉動副Rc的有限旋量集

θc——轉動副Rc從1位置繞其軸線sc轉到2位置所轉過的角度(圖1)

ro——轉動副Rc的矢徑

圖1 剛體有限轉動示意圖Fig.1 Sketch of rigid body finite rotation

串聯支鏈RbRc表示為

(2)

而有限旋量三角積[14-15]表示為

(3)

式中O——零向量

由于動平臺與所綜合的三自由度支鏈自由度相同，因此不需要在描述動平臺的有限旋量因式末端添加線性無關的轉動和移動因子。三自由度支鏈{sf，iL}的標準型為

(4)

式中 {sf，iL}——軸線交于o點的3個轉動副(Ra、Rb、Rc)的串聯支鏈集合

由于支鏈標準型中的3個轉動副完全相同，故支鏈RaRbRc無需進行運動副位置互換。可以通過運動副的替換綜合三自由度支鏈標準型對應的所有可行衍生支鏈。

根據旋量三角積的運算法則可得

{sf,iL}={sf,iL}S

(5)

(6)

式中 {sf,iL}S——球鉸S的有限旋量集

{sf,iL}U——虎克鉸U的有限旋量集

{sf,iL}R——轉動副R的有限旋量集

綜上可得所有可行三自由度支鏈，如表1所示。

表1 三自由度支鏈Tab.1 Three degrees of freedom branches chain

任取表1中3條支鏈，根據3條支鏈的等效轉動副交點共點即可綜合得到3R球面并聯機構。如3條RaRbRc支鏈中9個轉動副軸線交于一點。如圖2所示，為避免桿件間的碰撞干涉設計成圓弧形桿，為使計算簡單方便將每條支鏈的轉動副軸線初始位置分布為兩兩垂直，且3個驅動副軸線兩兩垂直。

圖2 3-RRR變胞并聯機構Fig.2 3-RRR metamorphic parallel mechanism

2 變胞并聯機構的結構特性

如圖2所示，3-RRR變胞并聯機構由定平臺1、動平臺2以及3條相同的支鏈構成，每條支鏈由3個轉動軸線兩兩垂直的轉動副和圓弧形桿構成(支鏈1由R1、L12、R2、L23和R3構成，支鏈2由R4、L45、R5、L56和R6構成，支鏈3由R7、L78、R8、L89和R9構成)。3-RRR變胞并聯機構具有3種轉動構態：只驅動R1、只驅動R4或只驅動R7的3種運動模式，定義為構態1；同時驅動R1和R4、同時驅動R1和R7或同時驅動R4和R7的3種運動模式，定義為構態2；同時驅動R1、R4和R7，定義為構態3，包含1種運動模式。

3 機構自由度分析

由于3-RRR變胞機構構態1和構態2下的3種運動模式情況相似，故每種構態只分析其中一種。

3.1 構態1機構自由度分析

如圖2所示，以動平臺中心為原點，以R1的轉動軸線為Y軸，R4的轉動軸線為X軸，建立定坐標系OXYZ(固接于定平臺)。在構態1下，設驅動副R4和R7鎖定，只驅動R1，變胞并聯機構等效為2-RR/RRR，計算2-RR/RRR并聯機構各支鏈在定坐標系下的運動螺旋

(7)

式中，設(ai,bi,ci)和(di,ei,fi)(i=1，2，3)分別表示R2、R5、R8和R3、R6、R9的幾何中心Aj(j=2，5，8，3，6，9)在固定坐標系的位置。根據運動螺旋與其約束螺旋互易求各支鏈的約束螺旋

(8)

自由度計算公式為[16-17]

(9)

其中

d=6-λv=k-t

式中M——機構自由度d——機構階數

λ——公共約束數

n——包括機架的構件數目

g——運動副數目

fi——第i個運動副自由度

v——多環并聯機構在去除公共約束的因素后的冗余約束數目

t——多環并聯機構所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋數目

k——多環并聯機構所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋系最大無關組數

ξ——機構中存在的局部自由度

根據構態1的約束螺旋式(8)，可得公共約束數λ=3，則機構階數d=3，并聯機構所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋數目t=2，并聯機構所有支鏈的反螺旋去除公共約束后的反螺旋系的最大無關組k=2，多環并聯機構在去除公共約束的因素后的冗余約束的數目v=0，不是冗余機構。根據式(9)，2-RR/RRR并聯機構的自由度為

M=3(6-7-1)+7+0-0=1

(10)

由此可知，只驅動R1時，此變胞并聯機構具有1個繞y軸轉動的自由度。

3.2 構態2機構自由度分析

此構態下，鎖定1個驅動，不妨設R7鎖定，當3-RRR變胞并聯機構只驅動R1和R4時，其支鏈1和支鏈3的運動螺旋及其反螺旋分別為式(7)中第1式、第3式和式(8)的第1式、第3式，計算2-RRR/RR并聯機構的支鏈2在定坐標系下的運動螺旋

(11)

根據運動螺旋與其約束螺旋互易求支鏈2的約束螺旋

(12)

根據式(8)的第1式、第3式、式(12)和自由度計算式(9)，可得此構態下的自由度為

M=3(7-8-1)+8+0-0=2

(13)

由此可知，當驅動R1和R4時，此變胞并聯機構具有繞x軸和y軸轉動的自由度。

3.3 構態3機構自由度分析

同時驅動R1、R4和R7，其支鏈1的運動螺旋及其反螺旋分別為式(7)中第1式和式(8)的第1式，支鏈2的運動螺旋及其反螺旋分別為式(11)和式(12)。計算3-RRR并聯機構支鏈3在定坐標系下的運動螺旋

(14)

根據各運動螺旋與其約束螺旋互易求得支鏈3的約束螺旋

(15)

根據式(8)的第1式、式(12)、式(15)和自由度計算式(9)，可得此構態下的自由度為

M=3(8-9-1)+9+0-0=3

(16)

由此可知，此構態下3-RRR并聯機構具有繞x、y和z軸轉動的自由度。

同樣可以得到，構態1中只驅動R4(或R7)運動模式下的自由度和構態2中同時驅動R4和R7(或R1和R7)時的自由度。通過對3種構態下自由度的計算可知，3-RRR變胞并聯機構具有3種轉動構態，各構態下的自由度如表2所示。

表2 驅動變胞并聯球鉸的運動模式Tab.2 Motion mode of actuated metamorphic parallel spherical joint

由于3-RRR機構具有一維、二維和三維3種轉動構態，其三維轉動構態與球鉸等效，且通過驅動的鎖死與開啟實現機構的變胞，故可稱作三構態驅動變胞球鉸。

4 運動學分析

如圖2所示，以動平臺中心為原點，以R1的轉動軸線為y軸，R4的轉動軸線為x軸，在動平臺上建立動坐標系oxyz(初始狀態時，動坐標系與定坐標系重合)。

4.1 變胞并聯機構運動學分析

已知動平臺的姿態角(設動平臺繞動坐標系x、y和z軸轉動角分別為α、β和γ)和3-RRR變胞并聯機構的各桿件長度，求驅動副R1、R4和R7轉動角(分別設為θ1、θ2和θ3)。機構動平臺坐標旋轉矩陣R采用Y-X-Z型歐拉角，可得

R(βY,αX,γZ)=[RYβ][RXα][RZγ]

(17)

與動平臺相連的轉動副R3、R6和R9的各中心點在動坐標系的坐標矢量Aj為

(18)

與動平臺相連的轉動副R3、R6和R9的各中心點在定坐標系的坐標為

(19)

根據定長桿L23、L56和L89為轉動副R3、R6和R9中心坐標與中間轉動副R2、R5和R8中心坐標之差，可得

(20)

根據式(20)，可得3-RRR變胞并聯機構的運動學逆解

(21)

對式(21)兩邊求導，可得構態3機構雅可比矩陣為

(22)

式中J——機構雅可比矩陣

同理可求得驅動變胞并聯球鉸構態1和構態2下機構的運動學逆解。

4.2 變胞并聯機構運動仿真

圖3 3-RRR并聯機構運動曲線Fig.3 Motion curves of 3-RRR parallel mechanism

從圖3可以看出，運動學模型的計算結果與ADAMS仿真結果一致，驗證了所建運動學模型的正確性[18-20]。同樣的方法可驗證構態1和構態2下機構的運動學。對三構態驅動變胞并聯球鉸運動學的分析為機構的實際工業應用奠定了一定的理論基礎。且由于運動學是研究機構的輸與入輸出之間的映射關系，故同時也驗證了驅動變胞并聯球鉸運動的可行性。

5 應用

基于3-RRR驅動變胞并聯球鉸，通過在動平臺上串聯P副和U副，構成SmPU驅動變胞支鏈。由于驅動Sm后驅動變胞支鏈的自由度為3，結合驅動選取原則，通過與3條包含3個驅動副的六自由度支鏈組合，提出了一種多模式3-SPS/SmPU驅動變胞并聯機構。初始狀態下，3-SPS/SmPU變胞并聯機構中U副轉動軸線分別平行于定坐標系的y軸和x軸。

圖4 3-SPS/SmPU變胞并聯機構Fig.4 3-SPS/SmPU metamorphic parallel mechanism

如圖4所示，圖中帶箭頭的運動副表示驅動副。當變胞球鉸無驅動，3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有繞y軸和x軸轉動和沿z軸移動的3個自由度；當變胞球鉸處于構態1：只具有繞y(或x)軸轉動時，3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有繞y軸和x軸轉動和沿z軸和x(或y)軸移動的4個自由度；變胞球鉸只具有繞z軸轉動時，3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有繞y軸、x軸和z軸轉動和沿z軸移動的4個自由度；當變胞球鉸處于構態2：具有繞y軸和x軸轉動時，3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有繞y軸和x軸轉動和沿z、x、y軸移動的5個自由度；變胞球鉸具有繞z軸和x(或y)軸轉動時，3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有繞x、y、z軸轉動和沿z軸和y(或x)軸移動的5個自由度；當變胞球鉸處于構態3(即具有三維轉動自由度)時，3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有6個自由度。即3-SPS/SmPU變胞并聯機構具有8種運動模式。

6 結論

(1)提出了一種驅動位于定平臺的3-RRR驅動變胞并聯球鉸，通過便捷的開啟與鎖死驅動即可實現機構的變胞。

(2)建立了3-RRR驅動變胞并聯球鉸的運動學模型，其與ADAMS仿真結果一致，驗證了所建運動學模型的正確性。

(3)基于3-RRR變胞并聯球鉸，通過串聯P副和U副，構成SmPU變胞支鏈。并將變胞支鏈SmPU應用于八模式3-SPS/SmPU變胞并聯機構。