振動磨機研磨介質填充率的質量計量法及其修正

程 敏 劉保國 劉彥旭

1.河南工業大學機電工程學院，鄭州，4500012.河南工業大學小麥和玉米深加工國家工程實驗室，鄭州，450001

0 引言

振動磨機依靠研磨介質的沖擊、剪切、擠壓、摩擦等破碎形式[1]，對糧油食品、藥材、礦產資源等多種物料進行超微粉碎加工[2-4]，同時還具有物料改性功能(機械力化學)[5-7]。研磨介質填充率不僅影響振動磨機的粉碎效率和粉體質量，還影響磨機的振動特性及運行狀態，具有聯系磨機內外部動力學的紐帶作用[8-9]。要研究研磨介質填充率對振動磨機內外部動力學特性的影響，必須確定研磨介質填充率的準確數值。

20世紀80年代中后期以來，對振動磨機研磨介質填充率問題的研究集中在實驗研究，主要研究研磨介質填充率對磨機粉碎效率、粉體質量的影響，以及對磨機振動特性的影響[10-11]。2000年以來，國內學者從理論方面對上述問題進行研究，為磨機的設計、運行和維護提供理論支撐。劉政等[12]將磨筒內所有研磨介質視為研磨介質群，理論分析了研磨介質填充率對磨機振幅的影響規律，發現振幅隨著填充率的增大而減小。蘇乾益等[13]將磨筒內的研磨介質群簡化為剛體，討論了研磨介質填充率對振幅和能耗的影響。目前，振動磨機研磨介質填充率的計算方法以體積計量法、面積計量法和質量計量法為主[14]。體積計量法是最基本的計算方法，是面積計量法和質量計量法的基礎。陳炳辰[15]從體積計量法出發給出了一種基于面積計量法的人工檢測方法，但磨筒的封閉結構以及研磨介質填充平面難以精確測量，限制了該方法的應用。質量計量法比較容易操作，只需在研磨介質填充前將質量測量出來，代入計算公式即可，但使用該方法之前必須根據磨筒和研磨介質尺寸計算出研磨介質的致密度系數。林勇[16]給出的柱形研磨介質致密度系數極值約為0.75，球形研磨介質致密度系數極值約為0.58；黃燦軍[17]給出的球形研磨介質致密度系數極值約為0.74。兩人給出的球形研磨介質致密度系數存在較大偏差，且與文獻[14]報道的球形研磨介質致密度實驗值0.61(推薦值0.62～0.66)有差距。為此，必須重新確定研磨介質的致密度系數，進而對研磨介質填充率的質量計量法進行修正。

本文在綜合分析振動磨機研磨介質填充率的3種計算方法的基礎上，利用幾何密排方法得到了柱形研磨介質的排布特征以及磨筒空隙處的研磨介質填充判別條件，利用磨筒空隙處三角形面積近似替代填充研磨介質小圓面積，重新導出了柱形研磨介質和球形研磨介質的致密度計算公式，對質量計量法進行修正。研究結果表明：利用三角形面積代替磨筒空隙處研磨介質填充面積，對致密度系數的基礎計算公式進行修正是準確、可靠的。算例仿真計算結果表明：研磨介質形狀對磨機振動特性的影響是顯著的，對研磨介質填充率的質量計量法進行修正是必要的。

1 研磨介質填充率的計算方法

1.1 研磨介質填充率的基礎計算公式

可以從多個角度對研磨介質填充率進行定義。從體積方面來說，研磨介質填充率φV=Va/Vc，其中，Va為研磨介質處于松散的靜止狀態下的表觀體積，Vc為磨筒有效容積[18]。振動磨機研磨介質的閉口空隙一般較小，可忽略不計，可以用研磨介質的幾何體積V來代替研磨介質的表觀體積Va。從面積方面來說，研磨介質填充率φS=S/Sc，其中，S為磨筒靜止時研磨介質的填充截面積，Sc為磨筒的有效截面積。從質量方面來說，研磨介質填充率φmc=m/M，其中，m為某一工況下填入研磨介質的質量，M為磨筒填滿該研磨介質時的總質量[19]。根據上述3種定義，可得3種不同形式的研磨介質填充率計算方法。

(1)體積計量法。已知磨筒的有效半徑R、長度L、研磨介質幾何體積V，可得磨筒的有效體積Vc=πR2L。由此可得體積形式的計算公式:

(1)

式(1)中的V是指所有研磨介質幾何體積之和，不包括研磨介質之間的排布空隙。理論上，利用排水法可以確定研磨介質的幾何體積，但當研磨介質較多時，需要較大容積的量具，不便于精確測量[14]。

(2)面積計量法。已知磨筒的有效半徑為R，可得磨筒的有效截面積Sc=πR2，面積形式的計算公式為

(2)

以式(2)為基礎的研磨介質填充率的簡易近似計算公式為φ=[50±61.2(h/R)]%[15]，其中，h為磨筒中心線到研磨介質填充平面的距離。由于測量h存在如下困難：①測量時，因研磨介質的堆積效應而存在較大誤差；②磨筒機械結構的限制導致測量不便。因此該方法在工程中使用不便、精度不高。公式推導過程中，S既包括研磨介質的幾何截面積，又包括研磨介質之間的間隙面積。因此，與式(1)相比，利用式(2)計算的填充率數值偏大。

(3)質量計量法。忽略研磨介質之間的空隙對質量的影響，根據式(1)可得

(3)

式中，ρ為研磨介質的密度。

與φmc=m/M相比，式(3)的計算結果偏小，未考慮研磨介質形狀、尺寸以及筒體容積對填充率的影響。工程中，研磨介質質量、密度和磨筒的半徑、筒長等參數比較容易確定，因此利用式(3)計算填充率比較方便，但需要對其進行修正，使之與φmc=m/M的計算結果一致。

1.2 研磨介質填充率的修正計算公式

定義致密度系數[14]

(4)

式中，Vg為研磨介質充滿磨筒時的體積。

由式(4)可知，致密度系數是研磨介質在磨筒內的空間占有率，與研磨介質的尺寸、形狀及磨筒的尺寸有關。對于柱形研磨介質而言，一般有

(5)

式中，Sg為研磨介質充滿磨筒時的填充截面積，Sg=Vg/L。

如果考慮研磨介質之間的空隙對填充率的影響，則根據式(4)可得

M=ρVg=πηR2Lρ

(6)

將式(6)代入φmc=m/M，可得

(7)

式(7)為質量計量法的修正計算公式，其中，γ為容重[15-16]，γ=ηρ。事實上，容重是指單位體積物質所具有的重量，單位為N/m3，因此，γ用致密度一詞表達更準確，單位為kg/m3。同理，如果考慮研磨介質間隙對填充截面積S的影響，可得面積計算法的修正計算公式：

(8)

此時，體積計量法和修正面積計量法的計算結果相同，即φSc=φV，但都小于修正的質量計量法的計算結果φmc。與確定填充研磨介質的幾何體積V和填充截面積S相比，確定填充研磨介質的質量m和密度ρ更方便，因此，利用質量計量法計算研磨介質填充率更加實用，其準確度主要與致密度系數η有關。

2 研磨介質致密度系數的計算與分析

2.1 研磨介質的幾何密排特征

振動磨機的研磨介質主要為球形和柱形(以短圓柱研磨介質和棒狀研磨介質為主)[11]。為便于推導，以柱形研磨介質為例進行分析。柱形研磨介質的致密度系數為磨筒橫截面上的研磨介質小圓總面積與磨筒橫截面積之比。假設磨筒橫截面上的研磨介質小圓個數為N，半徑為r，則Sg=Nπr2。研磨介質小圓半徑一般為已知參數，因此只要確定N就可計算出研磨介質致密度系數。

考慮重力影響時，柱形研磨介質在磨筒內應以筒壁為邊界逐層排列[20]，磨筒下方的研磨介質排列密實，上方的研磨介質排列松散，這導致橫截面上研磨介質群的質心與磨筒幾何中心不重合。如果忽略重力的影響，則研磨介質群質心應與磨筒幾何中心重合。為了保證研磨介質填充的高致密性，幾何排布時，要求任一研磨介質小圓與相鄰研磨介質小圓相切。研磨介質的幾何排布結果如圖1所示，其排布特征歸納如下[16]：①研磨介質小圓圍繞中心向外輻射排布，所有小圓圓心構成了正六邊形，即研磨介質小圓分布在正六邊形的邊上；②正六邊形頂點上的小圓與磨筒相切，即分布在正六邊形對角線上所有小圓的直徑之和與磨筒直徑相等；③研磨介質小圓圍繞中心每向外排布一層，增加小圓的個數均為6。

圖1 磨筒內研磨介質的幾何排布示意圖[16]Fig.1 Schematic diagram of geometric arrangement of grinding medium in grinding tube[16]

2.2 致密度系數基礎計算公式及間隙填充條件

2.2.1柱形研磨介質致密度系數的基礎計算公式

如圖1所示，畫出研磨介質小圓正六邊形的外接圓，研磨介質小圓圍繞中心排布的第i(i=1，2，…，n)層小圓的外接圓記為第i層輔助圓。第n層輔助圓的半徑為2nr，磨筒半徑R=(2n+1)r，小圓總數N=3n2+3n+1，則Sg=π(3n2+3n+1)r2。將R、Sg代入式(5)可得致密度系數

(9)

通過參數轉換計算發現，式(9)與文獻[15]的計算公式是完全相同的。隨著層數n的增大，η趨近于0.75。值得注意的是，此時的η僅表示構成正六邊形所有小圓的面積與磨筒橫截面積之比。磨筒橫截面積與構成正六邊形所有小圓面積的差值即磨筒截面空隙面積為

ΔS=π[(2n+1)r]2-Nπr2=πn(n+1)r2

(10)

由式(10)可知，隨著層數n的增大，磨筒內的空隙面積也增大。當正六邊形邊上的小圓與磨筒筒壁之間的空隙面積增大到能夠放下1層研磨介質小圓時，式(9)的計算結果就不準確了，需要在小圓總數中加上間隙處新增加小圓個數。因此，式(9)可稱為致密度系數的基礎計算公式。

2.2.2柱形研磨介質的間隙填充條件

如圖1所示，取研磨介質小圓構成的正六邊形的1/6，可得等邊三角形△AOB，過O點做△AOB的垂線，交于研磨介質小圓中心C、圓周點D、磨筒圓周點E，線段DE即為第2層研磨介質小圓圓周到磨筒的最大距離。不失一般性，第n層研磨介質小圓所得線段DE的長度為

(11)

如圖2a所示，當研磨介質增加1層時，所需空間尺度：

(12)

當研磨介質增加2層時，所需空間尺度為2lh，如圖2b所示。以此類推，當研磨介質增加i層時，所需空間尺度為ilh。由此可得，研磨介質小圓六邊形與磨筒邊界空隙處填充i層研磨介質所對應的條件為

lDE>ilh

(13)

圖2 研磨介質增加層數對應空間尺度示意圖Fig.2 Schematic diagram of spatial scale corresponding to increasing number of layers in grinding medium

將式(11)、式(12)代入式(13)，可得i=1時，n>6.964 1≈7；i=2時，n>13.928 2≈14。為了驗證間隙填充條件的準確性，利用幾何作圖方法畫出n=7，14時的研磨介質小圓幾何排布圖(圖3)。n=7時，空隙處增加了1層小圓；n=14時，空隙處增加了2層小圓。不難推測，n=7i時，增加i層研磨介質小圓。綜上所述，式(9)在n<7時計算的致密度系數是準確的。n≥7時，研磨介質小圓總數應加上磨筒筒壁空隙處新增研磨介質小圓的個數，應對式(9)進行修正。

圖3 磨筒空隙填充小圓幾何排布示意圖Fig.3 Schematic diagram of geometric arrangement for small circles filling in grinding cylinder

2.3 致密度系數的修正計算公式

2.3.1柱形研磨介質致密度系數的修正計算公式

如圖4所示，當研磨介質小圓組成的正六邊形與磨筒之間的空隙可以填充多層小圓時，空隙形狀逐漸接近等腰三角形△ABE。因此，磨筒空隙處填充的研磨介質小圓面積可用△ABE的面積S△ABE近似代替。其中，AB為△ABE的邊長，CE為△ABE邊AB上的高。由此可得△ABE的面積

(14)

則1/6磨筒空隙處可填充研磨介質小圓數目為

(15)

圖4 1/6磨筒空隙面積的三角形近似替代示意圖Fig.4 Triangular approximate substitution diagram for the gap area of the 1/6 grinding tube

對N0進行取整，即可得到填充小圓數目。n=7時，N0=4.18≈4，圖3a顯示可以填充3個小圓。n=14時，N0=16.72≈16，圖3b顯示可以填充15個小圓。因此，利用三角形近似替代計算空隙填充小圓個數基本上是準確的。如果考慮重力影響，實際填充小圓個數應該多于圖3所示的小圓個數，因此利用式(15)計算得到的小圓個數是可靠的。計算致密度系數ηc時，可直接將空隙處三角形面積S△ABE等效為填充小圓面積，此時

(16)

整理后，可得柱形研磨介質致密度系數的修正公式：

(17)

2.3.2修正計算公式與幾何作圖實驗結果的對比

利用幾何密排作圖實驗可以準確得到n≥7時，磨筒空隙處填充小圓的排布情況及數目，如圖5所示。當填充層數n為7、14、21、35時，分別利用幾何密排作圖實驗、式(9)、式(17)計算致密度系數，計算結果如表1所示。

圖5 1/6磨筒空隙填充小圓幾何排布示意圖Fig.5 Schematic diagram of geometric arrangement of small circles filled with 1/6 grinding tube

表1 3種計算方法的致密度系數Tab.1 Relative density coefficients obtained by 3 calculating methods

注：Ne為幾何密排實驗得到的磨筒空隙處填充研磨介質小圓數目，ηe為幾何密排實驗得到的致密度系數。

根據表1可知，n≥7時，式(9)的計算結果與幾何密排實驗結果的偏差較大，式(17)計算結果更接近幾何密排實驗結果，誤差小于5%。式(9)的計算結果趨于0.75，式(17)的計算結果與幾何密排實驗結果呈增大趨勢，與式(10)的變化趨勢一致。這進一步說明對式(9)進行修正的必要性，以及采用三角形近似替代法計算磨筒空隙處研磨介質小圓數量的準確性。當n趨近于無窮大時，式(17)計算的致密度系數極值為0.875，式(9)計算的致密度系數極值為0.75，二者之間的偏差為16.67%。n<7時，空隙處無法容納1層研磨介質小圓，利用公式(9)比較合適。

2.3.3球形研磨介質致密度系數的計算公式

對于球形研磨介質來說，磨筒長度方向上2層研磨介質之間的有效距離記為lh，磨筒長度為L，則磨筒內具有球形研磨介質的列數約為L/lh，磨筒的容積Vc=π[(2n+1)r]2L，球形研磨介質的總體積為

(18)

根據式(18)及磨筒容積Vc可得球形研磨介質的致密度系數：

(19)

n趨近于無窮大時，球形研磨介質的致密度系數ηs=0.625 2，在林勇[16]給出的球形研磨介質致密度系數極值0.58和黃燦軍[17]給出的球形研磨介質致密度系數極值0.74之間。林勇以柱形研磨介質致密度系數的基礎計算公式為基礎，導出球形研磨介質致密度系數公式，但在推導柱形研磨介質致密度系數時，未計及研磨介質小圓形成的正六邊形與磨筒空隙處的小圓數目，導致致密度系數極值偏小。黃燦軍在推導球形研磨介質致密度系數時，忽略了重力作用對球形研磨介質橫向排布的影響，以3個球形研磨介質構成的正四面體的高度為橫向有效距離，從而導致致密度系數極值偏大。另外，根據文獻[14]報道，利用實驗方法得到的球形研磨介質致密度系數為0.61，推薦值為0.62～0.66，與利用式(19)計算的球形研磨介質致密度系數吻合。不難推測，利用式(17)計算柱形研磨介質致密度系數也是比較可靠的。將式(9)、式(17)、式(19)分別代入式(7)，可以分別計算柱形、球形研磨介質的填充率。

3 修正質量計量法的應用算例

由上述研究可知，利用質量計量法的修正計算公式可以描述研磨介質形狀對研磨介質填充率的影響，而研磨介質填充率會影響振動磨機振動性能。下面以MZ-400型單筒振動磨機為例，將振幅、研磨介質慣性力和振強作為評價指標，利用MATLAB數值仿真分析研磨介質形狀對振動磨機振動特性的影響。MZ-400型單筒振動磨機的動力學模型為[21]

(20)

m′=m0+m1+λ(m2+m3)

m2=φπR2Lηρ

其中，m′為磨機振動體總質量；m0為激振器偏心塊質量；m1為磨筒質量；m2為研磨介質質量；m3為粉體物料質量；cx、cy分別為磨機振動體的水平和鉛垂阻尼，與激振力相比，可忽略不計；r0為偏心塊的質心半徑；λ為研磨介質與物料的參振系數，干法粉碎時λ取0.3，濕法粉碎時λ取0.7(對應轉速為1 500 r/min)[18]；kx、ky分別為為支撐彈簧的水平和鉛垂剛度，技術上可令kx=ky，為表達方便，令彈簧剛度ks=kx=ky；ω為激振器工作頻率，聯軸器連接時即為電機轉動的角速度；θ為初相位角。

通過求解式(20)得到的磨機振幅A、振強K以及研磨介質的慣性力：

(21)

K=Aω2/g

(22)

(23)

JB/T 8850—2015《振動磨》[22]給出的主要參數如下：磨筒有效體積為400 L；筒體外徑900 mm，考慮冷卻水道、外筒厚度、襯板厚度的影響，磨筒內徑取800 mm，磨筒長度l約為800 mm；振動頻率為24.5 Hz，對應角速度ω=154 rad/s；振幅A小于3 mm，則振強K小于7.26(極限振強)；研磨介質填充量為260～340 L，則許可填充率φ應為0.65～0.85；磨機振動部分質量小于1 220 kg，取激振器偏心質量m0為40 kg，偏心距r0為0.1 m，磨機磨筒質量m1為1 100 kg；彈簧剛度ks為4 MN/m。采用干法粉碎工藝，即λ=0.3。研磨介質材料均為耐磨鋼，研磨介質小圓半徑為10 mm，密度為7 850 kg/m3。圖6～圖8所示分別為不同填充率下，柱形研磨介質和球形研磨介質對磨機振幅、振強以及研磨介質慣性力的影響。

圖6 研磨介質對磨機振幅的影響Fig.6 Effect of grinding medium on amplitude of vibration mill

圖7 研磨介質對磨機振強的影響Fig.7 Effect of grinding medium on vibration strength of vibration mill

圖8 研磨介質對研磨介質慣性力的影響Fig.8 Effect of grinding medium on grinding medium inertia force of vibration mill

由圖6可知，柱形研磨介質的振幅大于球形研磨介質的振幅。在研磨介質填充率較小的情況下，振幅會超過JB/T 8850—2015規定的極限振幅，此時球形研磨介質的臨界填充率φs=0.23，小于柱形研磨介質對應的臨界填充率φc=0.44。為了安全起見，振動磨機啟動時的研磨介質填充率要求大于其臨界填充率。裝填柱形研磨介質正常啟動的臨界填充率φc>0.44，裝填球形研磨介質正常啟動的臨界填充率φs>0.23。因此可知JB/T 8850—2015給出的許可填充率φ為0.65～0.85是合理的。以上分析表明，研磨介質形狀會影響磨機的正常啟動條件，同時也證明振動磨機不能空載啟動[14,18]。

由圖7及式(22)可知，角速度一定時，磨機振強與振幅變化趨勢一致，均隨研磨介質填充率的增大而減小。在相同填充率下，柱形研磨介質的振強大于球形研磨介質的振強。經計算，磨機裝填柱形研磨介質時的填充率φc<0.44，球形研磨介質時的填充率φs<0.23時，振強超過JB/T 8850—2015規定的極限振強K=7.26而不能正常工作。大量實踐證明：振強K>6時，振動磨機才具有細磨作用[18]。球形研磨介質的填充率φs<0.42，柱形研磨介質的填充率φc<0.78時，振強K>6(臨界振強)。由此可知，球形研磨介質在許可填充率范圍內不具備細磨功能；柱形研磨介質磨機的細磨填充率范圍為0.65<φc<0.78，也是非常窄的。

圖8表明,研磨介質的慣性力隨著填充率的增加而增大，柱形研磨介質對應的慣性力大于球形研磨介質所對應的慣性力，有利于物料破碎。

由表2可知，在許可填充率下，柱形研磨介質和球形研磨介質的填充率對振幅、振強和慣性力的影響均約大于10%。不同形狀研磨介質對磨機振動特性的影響具有較大的差異性，振幅、振強的差異率大于22%，慣性力的差異率大于43%。

表2 研磨介質形狀與填充率對磨機振動特性的影響Tab.2 Effect of grinding medium shape and filling rate on vibration characteristics of vibration mill

注：差異率σ=(xc-xs)/xc，其中，xc為柱形研磨介質對應的振幅、振強及慣性力，xs為球形研磨介質對應的振幅、振強及慣性力。變化率δ=(x0.85-x0.65)/x0.65，其中，x0.85為研磨介質填充率為0.85時所對應的振幅、振強及慣性力，x0.65為研磨介質填充率為0.85時所對應的振幅、振強及慣性力。

綜上所述，在研磨介質許可填充率范圍內，研磨介質形狀對磨機振動特性的影響是顯著的。填充率相同時，柱形研磨介質的振幅、振強和慣性力均大于球形研磨介質，表明柱形研磨介質更有利于物料破碎，且與文獻[11]給出的實驗結論一致。

4 結論

(1)通過分析研磨介質填充率的體積計量法、面積計量法和質量計量法的計算公式及應用特點，發現3種計算方法存在一定的差異性。引入考慮研磨介質形狀和尺寸的致密度系數，對計算研磨介質填充率的質量計量法進行修正，得到了用研磨介質質量和磨筒尺寸表示的修正計算公式。

(2)利用幾何密排作圖方法得到了柱形研磨介質在磨筒內的六邊形排布特征，發現隨著研磨介質填充層數的增加，筒壁空隙處能夠繼續填充研磨介質，導出了能夠繼續填充研磨介質的判別條件，理論計算結果與幾何密排作圖實驗結果對應良好。

(3)利用三角形面積近似替代磨筒空隙處填充研磨介質總面積，得到了致密度系數的修正計算公式。修正公式計算結果與幾何密排作圖實驗結果之間的誤差小于5%,表明利用三角形面積代替磨筒空隙處研磨介質填充面積對致密度系數的基礎計算公式進行修正是準確、可靠的。

(4)算例仿真計算結果顯示，柱形研磨介質和球形研磨介質在振強、振幅、慣性力方面的差異率均大于20%，表明研磨介質形狀對磨機振動特性的影響是顯著的，對研磨介質填充率的質量計量法進行修正是必要的。