螺旋錐齒輪銑齒機主軸-軸承系統的動力學分析

王志永 杜偉濤

中南林業科技大學機電工程學院，長沙，410000

0 引言

刀具主軸是數控機床機械本體部分的關鍵部件，其動力學特性直接關系著數控機床的加工精度、穩定性和可靠性。精密旋轉機械在設計之初需要進行動力學設計，而基于機械構件建立合理的動力學模型是進行動力學設計的基礎。數控螺旋錐齒輪銑齒機在銑削螺旋錐齒輪時，刀具走的是復雜空間曲線，如果動力學性能不滿足要求，容易產生顫振現象，影響銑削工件的加工質量。

旋轉機械的動力學問題一直是動力學領域研究的重點。穩定可靠的旋轉機械動力學模型不僅可以直接提高設計效率，優化傳統機械的設計方案，還可以為提高現有機械的綜合性能指標提供方案支持。JORGENSEN等[1]在對高速主軸-軸承轉子系統進行動力學分析時，對主軸轉子采用集總質量法并將其等效成Timoshenko梁模型，考慮了角接觸球軸承離心載荷對剛度的影響，用實驗證明了主軸-軸承系統動力學的數值解法具有快速性和魯棒性強的特點；ALTINTAS等[2]利用有限元方法對主軸-軸承系統進行虛擬仿真，對角接觸球軸承的布置間距進行了優化設計；GUO等[3]采用表面積分法和有限元法構建了軸承的接觸力學模型，利用所提出的方案對滾動軸承的剛度矩陣做了仿真計算；姜彥翠等[4]在研究銑床主軸動力學模型時，考慮了銑削軸向力和離心力對結合面間剛度的影響，用有限元法求出了系統的固有頻率；趙萬華等[5]構建了主軸轉子系統的結合面動力學模型，重點分析了結合面剛度、阻尼。

當前，學者對梁、滾動軸承的動力學研究頗多，對主軸系統結合面的接觸動力學有一定的研究，但缺乏對主軸-軸承系統，特別是對螺旋錐齒輪銑齒機刀具主軸系統的動力學研究。筆者以數控螺旋錐齒輪銑齒機的刀具主軸系統為研究對象，對刀具主軸系統中的軸和圓錐滾子軸承進行動力學耦合分析，利用數值分析的方法對主軸-軸承轉子系統動力學模型進行求解，并利用實驗驗證了所建立的動力學模型的準確性。

1 刀具主軸系統動力學模型

刀具主軸系統是數控螺旋錐齒輪銑齒機的重要組成部分，其運轉的穩定性直接關系到銑齒機的加工精度。對銑齒機的刀具主軸系統建立動力學分析模型，有助于分析并提高其動力學特性。圖1所示的國產某型數控螺旋錐齒輪銑齒機的刀具主軸系統包含主軸、圓錐滾子軸承、力矩電機、刀盤體部分(含刀盤和承載刀盤的法蘭)、連接套。根據刀具主軸系統的機械結構，建立以軸承、主軸、刀盤、力矩電機為主的質點系刀具主軸系統動力學模型，如圖2所示。

圖1 數控銑齒機的刀具主軸系統三維圖Fig.1 3D graph of spindle system of CNC cutting machine tool

圖2 刀具主軸系統動力學模型Fig.2 Dynamics model of cutter spindle system

構建刀具主軸系統動力學簡化模型時作如下假設：刀盤、法蘭、力矩電機轉子與主軸剛性連接，如圖2所示；圓錐滾子軸承分為內圈、外圈、滾珠和保持架。銑齒機的刀具主軸轉速在400 r/min以內，且刀具主軸系統質量較大，因此，銑齒機刀具主軸系統屬于低速、重載回轉機械。動力學分析時，由于阻尼對主軸-軸承系統影響不大，可依據主軸系統動力學簡化模型，建立無阻尼動力學方程。此外，本文不分析箱體對主軸系統產生的影響，將軸承外圈與箱體假設為剛體結構。主軸與軸承內圈采用過盈配合的連接方式，剛度較大，故將軸承內圈和主軸轉子看作剛性連接。

1.1 刀具主軸系統離散化

對于連續的刀具主軸系統(圖2)，可將其看作1根變截面軸和4個圓盤組成的轉子系統。本文將銑齒機的刀具主軸系統等效成無阻尼振動系統，采用集總參數法[6]解決刀具主軸系統質量等效問題，將刀具主軸系統簡化為n個集總質量單元，并由無質量彈性軸連接，從而實現主軸轉子的離散化，圖3中，μi、li分別為單位長軸段i(i=1，2，…，n)的質量和軸段長度。

圖3 刀具主軸轉子連續體離散化Fig.3 Continues mass discretion of cutter spindle rotor

根據集總質量法規則，將離散后的n個集總質量單元按照總質量和質心均不變的原則等效到主軸轉子的兩圓錐滾子軸承處：

(1)

第j軸段的集總質量為

(2)

1.2 刀具主軸系統動力學方程

根據圖2所示的刀具主軸系統動力學簡化模型，假設刀具主軸系統的位移矩陣為

X=[xb1yb1xb2yb2z]

(3)

式中，xb1、yb1分別為左圓錐滾子軸承沿x方向和y方向的位移；xb2、yb2分別為右圓錐滾子軸承沿x方向和y方向的位移；z為刀具主軸在軸線方向上的位移。

根據圖2所示的動力學簡化模型，得到刀具主軸系統的系統總動能

(4)

其中，mb1為左圓錐滾子軸承處的等效質量，包含軸承處的質量和刀盤體等效到軸承處的質量；mb2為右圓錐滾子軸承處的等效質量，包含軸承處的質量、連接套和力矩電機等效到軸承處的質量。根據式(1)、式(2)計算可得mb1和mb2。

刀具主軸系統的系統總勢能為

(5)

式中，kb1、kb2分別為左右圓錐滾子軸承處的徑向剛度；kz為刀具主軸的軸向剛度。

根據機械動力學中的模態分析理論[7]，建立刀具主軸系統的無阻尼動力學方程：

(6)

式中，M為質量矩陣；K為剛度矩陣；F(t)為載荷矩陣。

建立Lagrange算子：

L=Ek-Ep

(7)

并利用Lagrange方程構建刀具主軸系統的動力學微分方程：

(8)

由式(3)～式(5)、式(8)可計算出刀具主軸系統的動力學微分方程：

(9)

式中，ω為刀具主軸的角速度；Fr(t)為軸承對軸作用的徑向載荷；Fa(t)為軸承對軸作用的軸向載荷；mt、rt分別為刀盤體的質量和旋轉半徑；mm、rm分別為力矩電機的質量和旋轉半徑。

由式(9)可得出刀具主軸系統動力學模型的M、K、F(t)：

M=diag(mb1，mb1，mb2，mb2，mb1+mb2)

K=diag(kb1，kb1，kb2，kb2，kz)

因此，根據刀具主軸系統無阻尼動力學方程(式(6))求解刀具主軸系統的模態頻率ωn時，將二階常系數非齊次線性微分方程轉換成二階常系數齊次線性方程

(10)

進行求解。

在求解外界激勵下的刀具主軸系統振動頻率時，將齊次線性微分方程(式(10))問題變換成求解非齊次線性微分方程

(11)

的通解問題。

求解式(10)、式(11)的關鍵在于求解刀具主軸系統的質量矩陣M和剛度矩陣K，其中，M可以利用式(1)、式(2)計算得到，因此，重點問題在于求解式(10)和式(11)中的剛度矩陣。

2 主軸轉子動力學建模

2.1 主軸轉子動力學模型

根據圖2所示的刀具主軸系統動力學模型，對主軸進行徑向、軸向和繞軸線的轉動變形分析，將刀盤和主軸、連接套、力矩電機這些零部件進行等效處理，并基于梁理論進行建模。目前，應用的梁理論主要有精確彈性方程法、Euler-Bernouli梁理論、Timoshenko理論。銑齒機的刀具主軸在工作過程中同時受到銑削力(銑削力分別作用在軸向和徑向)、刀盤和力矩電機質量的作用，依據圖2所示的主軸支撐方式，將刀具主軸等效成2點六自由度的Timoshenko梁[5,8-9]，如圖4所示，并根據Timoshenko梁單元的分析方法建立刀具主軸的動力學方程。刀具主軸同時存在沿X軸、Y軸的移動，以及繞X軸的轉動。

圖4 刀具主軸的Timoshenko梁模型Fig.4 Timoshenko beam model of cutter spindle

根據達朗貝爾原理和圖4所示的Timoshenko梁模型，建立刀具主軸轉子的動靜力學方程：

(12)

式中，Fi為梁第i處作用的微元載荷；mi為梁第i處微元質量；ri為梁的微元質心矢徑；Δri為梁偏移軸心的徑向距離。

數控螺旋錐齒輪銑齒機刀具主軸的實際最高切削轉速為400 r/min，屬于低速轉子系，所以據式(12)可構建公式

(13)

式中，ki為梁單元微元剛度；F(t)為主軸轉子所受載荷。

來描述載荷作用下主軸轉子的無阻尼動力學方程[10]，對銑齒機刀具主軸做出工況下的合理動力學分析。

2.2 主軸轉子剛度矩陣

求解主軸轉子無阻尼動力學方程(式(13))時，首先需要確定主軸轉子的剛度矩陣。根據主軸轉子的負載情況將主軸轉子看成Timoshenko梁，連續體的Timoshenko梁軸的運動方程為[11]

(14)

式中，E為材料彈性模量；I為極慣性矩；G為剪切彈性模量；y為撓度；k為梁的剪切形狀因子；μ為單位長度的質量；ρ為材料的密度；A為材料的截面面積。

假設連續Timoshenko梁的狀態矩陣為

(15)

式中，d為連續梁的位移矩陣；F為連續梁的載荷矩陣；θ為梁的扭轉角度；Q為梁的集中載荷；M為梁的扭轉載荷。

根據圖4所示的刀具主軸Timoshenko梁模型，并利用式(15)可以得到主軸左右兩端的位移和力之間的關系：

[dLFL]T=Ks[dRFR]T

(16)

(17)

D2=λ(coshλ1-cosλ2)

D4=λ(λ1sinhλ1+λ2sinλ2)

式中，下標L和R分別表示主軸的左右兩端。

根據矩陣理論，式(16)可用分塊矩陣可表示為

(18)

對式(18)作矩陣變換可得

(19)

通過式(17)、式(19)可以得到主軸轉子的剛度矩陣。

3 圓錐滾子軸承動力學建模

圓錐滾子軸承屬于典型的多體剛柔耦合系統，高速運轉時需考慮其柔體特性，低速、重載工況下，通常可將其當作剛體進行等效處理[12]。建立圓錐滾子軸承的動力學模型時，為了使計算結果收斂，一般作如下假設[13]：圓錐滾子軸承的外圈靜止不動，內圈和軸剛性連接并可以任意角速度轉動；圓錐滾子與軸承內外圈的接觸應力分布符合Hertz接觸理論；在載荷作用下，圓錐滾子軸承的滾子和內圈發生彈性位移，外圈固定不動。

為了建立完整的刀具主軸系統剛度矩陣，需求解出圓錐滾子軸承的軸向剛度和徑向剛度。根據圓錐滾子軸承的機械結構和前述假設，可得到圓錐滾子軸承滾子的力學分析圖(圖5)。

圖5 圓錐滾子軸承的滾子受力分析Fig.5 Mechanical analysis of roller in tapered roller bearings

根據剛度的定義，可得出圓錐滾子軸承的軸向剛度

ka=Fa/δa

(20)

對于精密的旋轉機械的圓錐滾子軸承[14-15]，軸向預緊力Fa0(單位N)為30d～40d(單位mm)，d為軸承內圈內孔直徑。在Fa0作用下，圓錐滾子軸承的軸向位移為

(21)

(22)

式中，la為滾子的有效長度；α為圓錐滾子軸承公稱接觸角；Z為滾子數量。

在忽略油膜厚度的前提下，圓錐滾子軸承的徑向剛度為[16-18]

(23)

Fr=Far+For=Fa0sinα+For

式中，Fr為徑向力；For為外界徑向力(圓錐滾子軸承所承載的集中質量載荷)；Far為軸向預緊載荷下產生的徑向力；δr為軸承的徑向位移；β為滾子半錐角；ν為材料的泊松比。

將式(19)、式(20)、式(23)代入式(11)，對式(11)運用子空間迭代法進行迭代求解，從而利用數值分析手段提取出刀具主軸系統的模態頻率。

4 刀具主軸系統動力學模型驗證

用數值分析方法對刀具主軸-軸承系統的動力學模型的微分方程進行求解。通常采用實驗方法檢驗所構建數字化模型是否符合工程實際[19]。本文采用Siemens LMS Test.lab實驗設備，先用力錘(錘擊力為700～1000N)定點錘擊刀具主軸系統，再用壓電式加速度傳感器采集主軸系統上的振動信號，初始預緊力為3000N。本文在構建刀具主軸系統的動力學方程時采用了集總質量法，將動力學模型的質量等效到主軸兩端的圓錐滾子軸承處，因此，加速度傳感器的布置主要考慮主軸2個圓錐滾子軸承處的X、Y、Z方向振動的測量。

為了得到振動信號的頻率信息，需要對采集到的振動信號進行分析處理。利用快速傅里葉變換(FFT)方法提取振動信號的頻率信息，圖6所示的振動信號頻譜反映軸承處徑向和軸向的振動頻率和幅值信息。

圖6 實驗振動信號頻譜圖Fig.6 Experimental spectrum of vibration signal

數控螺旋錐齒輪銑齒機刀具主軸系統的工作轉速較低、質量較大，因此分別從數值計算結果和振動實驗數據分析結果中提取出刀具主軸系統的前6階頻率。以實驗采集到的振動信號為基準，計算出二者的相對誤差。

對預緊力做適當調整[14]，并將預緊力提高到6500N(參考軸承工程手冊中的技術指導，該預緊力符合軸承安裝時所加預緊力的要求)，再依據主軸系統動力學模型計算出主軸系統的前5階頻率，其結果如表1所示。

表1 數值計算結果與實驗結果的對比分析Tab.1 Comparison of numerical results and experimental results

由表1可以得出：采用數值分析法計算得出的刀具主軸系統振動頻率與實驗結果存在誤差，且計算頻率高于實驗頻率。這是由于建立刀具主軸系統的動力學模型時，將其等效處理成了無阻尼轉子系統，而阻尼在振動系統中起到了消耗振動能量的作用，因此計算頻率比實驗頻率高，但是數值計算結果與實驗數據基本吻合，且相對誤差[20]在工程計算結果可接受范圍內。所以，本文建立的刀具主軸系統動力學模型具有一定的工程應用價值，可以為旋轉機械系統動力學分析、設計提供技術參考。

將預緊力提高到6 500N時，刀具主軸系統的前5階振動頻率有一定提高，前3階振動頻率提高幅度較為明顯，這有利于主軸系統在工作過程中避免累積較大的振動能量，防止產生共振，避免對整機工作性能造成不利影響。因此，在優化銑齒機刀具主軸系統的動力學特性時，可以采用所構建的刀具主軸系統動力學模型進行分析，并提出改進措施，實現對銑齒機刀具主軸系統的優化設計。

5 結論

(1)根據刀具主軸系統的機械結構，采用集總質量法對刀具主軸系統進行了等效處理，建立了刀具主軸系統的等效動力學模型；根據等效動力學模型得出刀具主軸系統的無阻尼動力學方程，運用能量法和Lagrange算子構建了刀具主軸系統動力學微分方程，得到刀具主軸系統的質量矩陣和剛度矩陣。

(2)為了求解主軸系統無阻尼振動方程的剛度矩陣，分別構建了主軸和圓錐滾子軸承的動力學方程，將主軸轉子等效成Timoshenko梁模型，以求解其剛度矩陣；通過對圓錐滾子軸承的受力分析得出圓錐滾子軸承的軸向剛度和徑向剛度。

(3)采用定點力錘激勵的振動實驗方法，對數值分析法構建的刀具主軸系統動力學模型進行了驗證。實驗結果表明，所構建的刀具主軸系統能夠反映刀具主軸系統的動力學特性。