準確把握概念本質，精致數學概念構建過程
——以“二面角”概念教學為例

☉廣西大學附屬中學 龐禮金

在高中數學教學過程中，教師總是要求學生要牢記各類定理和公式，準確把握概念的本質，實現以不變應萬變的教學效果.然而，現實情況卻是，相當部分數量的學生在考試之后總是覺得不錯，但試卷的實際得分卻與估計分值相差較大.何哉？究其原因是相當的基礎題的答題效果并不理想，會而不對的現象依然存在.因此，準確把握概念本質，精致數學概念的構建過程，充分培養學生對數學概念的領悟能力具有重要的意義.

一、高中數學概念構建原則

1.教學整體性

教師應注重教學過程和內容的完整性，既要求教師要耐心細致，不能以概念簡單為由而忽視對概念的教學，又要求教師對所教授的內容特別熟悉，特別是對于相關概念的衍生問題要準確掌握.以設計二面角概念的課程教學為例，立體幾何是高中數學中概念最多、邏輯性最強的部分，教師應在掌握各類細節的同時，制定出一套完善的教學方案，確保把知識點講清楚的同時也能貫通始終.

2.系統漸進性

教師不能急于求成，應該按照循序漸進的原則組織學生進行探究.以“二面角”的概念為例，向量法是解決該類問題的捷徑，但教材中二面角的概念是為了解決面面垂直問題而提出的一個概念，因此，教師必須全面了解二面角是怎么出現的，必須持續地、連貫地按照一定的順序進行教學，以實現預設的教學目標.

3.啟發創造性

教師的作用只是主導作用，為了充分發揮學生的主體作用，教師應充分調動學生學習的主動性.例如，在“二面角”概念的教學中，教師應結合多媒體演示、動手操作及合作探究等多種方式進行教學，最大限度地激發學生學習的動力和創造力.

4.理論聯系實際

為了有效避免理論脫離實際的現象，教師應將相關的理論知識與學生的生活實踐結合起來進行教學.以“二面角”概念教學為例，制作模型或多媒體輔助教學是一項不錯的選擇，但在“接地氣”方面仍然顯得不足，其在一定程度上限制了學生思維的擴展.因此，在課堂教學中，教師應從學生自身已有的認知結構中找出與二面角的定理和性質相類似的例子進行討論交流，擴大學生的知識面，從而不斷培養學生的邏輯思維能力和創新意識.

二、高中數學概念教學策略

對于初次接觸三維世界的學生而言，二面角的概念具有較強的抽象性，在具體的理解和應用的過程中肯定會遇到不小的困難，就像剛學函數時很多同學不理解f（x）一樣，而教材中對于二面角的定義也是通過邏輯推理的方式獲得的，那么如何在知識點的深度和難度之間尋找到一個平衡點？如何使原本枯燥的概念課變得生動，而又能把抽象的內容清楚地傳達給學生呢？

1.注重情景引入和直觀教學

如果在概念教學中，教師沒有與具體實際生活中的問題情境聯系起來，而是直接將概念知識的外延和內涵強行灌輸給學生，那么學生只是單純地接受和記憶知識，隨著時間的推移，所學的知識將會逐漸被遺忘，不利于學生對數學概念的理解與運用，因此，教師應注重情景引入和直觀教學相結合，在概念引入時直接突顯出概念的本質，把學生的注意力吸引到所學習的內容上來，讓學生體會到這個概念的產生是自然的，要讓學生知道為什么要學習這個概念.

2.“對話”與“講授”并行

教師應通過設置問題串的形式引導師生、生生對話，嘗試讓學生自己思考問題和總結要點，同時，對于一些教學重難點知識，教師應充分發揮自己的主導作用，對于一些共性問題以講授強調的形式幫助學生更好地理解.例如，對于“一條直線不可能一部分在平面內，而另一部分在平面外”這一公理，由于這個公理較為抽象難懂，教師應使用簡單易懂的生活語言進行講授，例如，通過以一點畫圓，能獲得直徑不相等的圓弧等已學知識幫助學生更好地理解，從而使得原本抽象的數學概念不再那么“高冷”.

3.促進小結過程中的整體理解

“一個概念、幾項注意”的傳統教學模式不利于學生創新思維的培養，忽略了概念的產生過程中數學文化對于學生的熏陶.因此，教師應通過課后小結的形式充分讓學生厘清概念的提出、演變及完善等探究過程，引導學生像數學家一樣思考，以“為什么、是什么、應該怎么樣”為線索不斷地完善學生的認知結構，準確地把握概念的內涵和外延，切實地讓學生感悟到數學概念形成過程中所蘊含的人文和科學精神.

三、二面角概念教學的實踐

高中數學是一門理論與實踐相結合的課程，為了研究的更深入，本文以二面角概念的構建為例進行研究.二面角是立體幾何中最為復雜抽象的概念之一，并且是歷年高考立體幾何題中必涉及的一個知識點，但在教材中并沒有給出嚴格的定義，因此，筆者結合日常的教學實踐和概念構建原則，將二面角的概念教學分為兩個課時，其中第一課時是讓學生從身邊具體的實物中發現和提出問題，第二課時是找出解決問題的策略，是重點突破和例題精講環節，其具體設計過程如下：

圖1 課本示意圖

1.趣味引入

為了激發學生的學習興趣，教師應結合學生的日常生活創設問題情境.如圖1所示，要求學生拿出教材，將教材的合訂線視為空間中的一條任意直線，要求學生觀察某一頁紙與上下紙頁之間的角度，引導學生思考如何測量出這個角度，指出這個角度就是我們所要學習的平面角.然后，結合學生已經掌握的異面直線的知識，通過兩人合作的形式，要求其中一個學生隨機支起一個角度，另外一個學生用兩根鉛筆分別在前一個學生已經支起的平面上尋找二面角.當大部分學生找到正確測量角度值的辦法之后，及時引導學生總結出二面角的平面角的取值范圍，以及二面角概念的特征等.

2.探索新知

在以上探究的基礎上，教師應結合課程教學的目標，以小組為單位，重點圍繞任何兩個平面是否都存在二面角、形成二面角的兩個平面是否必須要有公共的交線等問題展開探討，并及時用提示性的語言對相關的問題進行引導，例如，異面直線一定有交點嗎？異面直線所成的角是怎么求解的？從而幫助學生總結得出異面直線一定是沒有交點的，若想求得二面角的平面角就必須通過等價替換或平移的方式讓這兩個平面有交線.

同時，教師還應組織學生探究出二面角的大小和表示方法，如圖2所示，平面ABFE和平面EFDC所成的平面角與平面GHFE和平面EFDC所成的平面角是不相等的，其中前者明顯大于90°，后者明顯小于90°，并且平面還可以是無限延伸的，如圖3所示，將平面EFDC向左面延伸為EFD′C′，就會出現平面角不好認定的現象.因此，教師以此為知識沖突，進一步詳細闡述二面角的記法和方向，即平面ABFE和平面EFDC所成的平面角記為二面角A-EF-C，或者為A-EF-D、B-EF-D、B-EF-C，而平面ABFE和平面EFD′C′所成的平面角記為二面角A-EF-C′，或者為A-EF-D′、B-EF-D′、B-EF-C′.同時，要求學生從二面角的寫法著手，進一步理解二面角是從一條交線引出的平面，且這兩個平面被這個交線所“攔截”.

圖2

圖3

此外，為了有效地確保學生已經熟練掌握二面角的概念，教師還應通過多媒體的形式呈現如圖4所示的三維圖形，要求學生以小組為單位，進行組內之間的相互測試，并對于有問題的學生及時進行輔導.

圖4

3.重點突破

如何求得二面角是二面角概念學習的重點，通過課堂引入環節，學生就已經發現了兩個鉛筆可以擺出任意角，但只有兩個鉛筆垂直于合訂線之后所形成的角度才是平面角的度數.為了有效地驗證上述結論，教師應及時通過已學知識加以驗證.

仍以圖4為例，要求學生應用定義法求出二面角A-BB1-C、二面角A-BB1-D，從而引出直二面角的概念，并應用正方體的性質進行驗證.

4.例題精講

實踐是檢驗真理的唯一標準，上述二面角概念的獲得是依靠教師邏輯化的教學模式獲得的，但概念的應用需要通過實戰進行演練，在具體實踐中，為了讓學生充分理解有關二面角的一般出題模式，抓住二面角問題的源頭，教師應呈現出歷屆高考試題中有關二面角概念的考查方式，然后，要求學生以小組為單位，利用之前已經學習過的正方體或熟悉的實物模擬出題，讓學生扮演出題者，最后通過投票的形式選出最合理最精彩的題目，并及時給予鼓勵.

仍以圖4為例，學生根據歷屆高考試題，創新設計出如下題目：

①已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，試求二面角D-AC-D1的平面角.

②若ABCD-A1B1C1D1為長方體，AB=3，CB=2，BB1=4，試求二面角D-AC-D1的平面角.

四、結束語

綜上所述，數學概念知識是高中數學教學的出發點和落腳點，相比于傳統概念中純理論性的教學模式，在現代教學理念下，教師更應注重教學情境的創設，注重學生主觀能動性的激發和情感的體驗，準確把握概念本質，精致構建數學概念，有效提升學生對于實際與理論的相互轉化的認知水平，只有這樣，才能提高學生思考和解決問題的能力，才能提高學生對概念學習的質量和效率.