基于DELC的“直線的參數方程”的教學設計

☉四川省成都七中 高崢

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

將深度學習線路DELC應用于“直線的參數方程”的教學設計，通過設計標準與課程、預評估、營造積極的學習文化（氛圍）、預備與激活先期知識、獲取新知識、深度加工知識和評價學生的學習等七個步驟，引導學生從不同視角引入參數，層層剖析直線的參數方程的基本特征，不斷變換參數方程的形式進行應用，從而達到對參數的深層理解.

一、DELC的學習策略

《現代漢語辭典》里“深度”的定義是“觸及事物本質的程度”、“事物向更高階段發展的程度”；“學習”解釋為“從閱讀、聽講、研究中獲得知識或技能”.泛言之，學習是通過親身經歷來獲取知識、技藝、態度、心理概念或價值觀的過程，促進腦記憶的可測變化的訓練過程.Eric Jensen和LeAnn Nickelsen給出深度學習的定義為“新內容或技能的獲得必須經過一步以上的學習和多水平的分析或加工，以便學生可以通過改變思想、控制力或行為的方式來應用這些內容或技能”，他們進一步給出了深度學習路線DELC，包括以下七種策略：設計標準與課程、預評估、營造積極的學習文化（氛圍）、預備與激活先期知識、獲取新知識、深度加工知識和評價學生的學習.我們嘗試使用DELC對“直線的參數方程”進行教學設計.

二、直線參數方程的教學設計

1.設計標準與課程

設計標準與課程對于中國教師而言簡便易行，因為教材已將相關內容安排在一起形成有意義的教學單元，教學大綱也已明確了學生所要達到的學習目標.教師僅需把握正在學習的章節在K12階段的地位和作用、章節的知識結構及結構之間的邏輯關系和聯系.

例如，直線的參數方程是選修4-4中第二講“參數方程”中的第三部分，繼函數、直角坐標系、向量、圓錐曲線之后，用函數觀點、數形結合的思想研究直線方程的參數表達形式，章節結構如圖1所示.

圖1 課程內容及結構

2.預評估

預評估是在學生學習新內容之前教師對學生已有知識背景的評估.具備不同先期知識的學生會采用截然不同的加工策略.Kieser等的研究表明預評估可以指導學生取得更好的學習成果.通過測試、交談、提問等多種方式，我們可以收集學生關于預備知識的掌握情況，并對其缺失的知識或能力進行彌補.在課堂設計中，教師通常采用提問與新知識有聯系的前期知識來了解和鞏固學生的背景知識.研究發現，大多數學生的學習背景知識是模糊的、分散的、無條理的，這意味著他們不擅長將所學知識用特定的結構聯系起來.

3.營造積極的學習文化（氛圍）

雖然針對課堂授課起作用的只有非常有限的情緒狀態，但教師還是可以通過預評估階段為學生搭建適當的腳手架，增進學生的學習信心和安全感.安全感能讓大腦集中于未來進一步學習的新信息，激發有活力、輕松但敏感的求知欲，從而達到理想學習狀態.

4.預備與激活先期知識

從認知學的角度，學習就是將習得的新知識聯結到學生個體的神經網狀結構上.每位學生都有自己特有的圖式和背景知識，如何接入新知識與學生現有背景知識的聯系，教師需要采用多種方法預備和激活先期知識.如果新知識與先期知識相容，那么采用“同化”的方式使得學習迅速而有效；但如果新知識與先期知識有相悖之處，則需要采用“順應”的方法調整學生已有網絡結構，即是說，在學習中新方法和持續不斷的反饋及修正是必要的.例如，直線的傾斜角定義及取值范圍、直角坐標系中直線方程的點斜式、參數的意義、共線向量的概念、三角函數的定義、同角三角函數的平方關系和商數關系、輔助角公式、圓錐曲線的參數方程等都是與直線的參數方程相容的、有聯結的先期知識；橢圓和雙曲線參數方程中的旋轉角與直線參數方程中的傾斜角、拋物線參數方程中的參數t與直線參數方程中的參數t則需用“順應”的學習方式.

5.獲取新知識

圍繞新知識與先期知識的聯結點，思考如何通過直線的普通方程建立直線的參數方程？學生若對此問題感到迷惑，教師則需搭建腳手架問題：選擇怎樣的參數，才能使直線上任一點M的坐標（x，y）與點M0的坐標（x0，y0）和傾斜角α聯系起來？以便學生明確問題的本質.待學生充分討論后自由發言.

思路一：由直線l的普通方程y-y0=tanα（x-x0），得

思路二：直線M0M的斜率與tanα相等，即轉化為思路一.

6.深度加工知識

（1）參數方程的標準形式的特征分析.

如上所述，經過點M0（x0，y0），傾斜角為的直線l的參數方程是：

這個方程組一般稱為直線參數方程的標準形式，它具有如下特征：

10（x，y）是直線l上任意一點的坐標；

20（x0，y0）是直線l所經過的定點M0的坐標；

30傾斜角α滿足：

1）sin2α+cos2α=1；

2）α∈［0，π），sinα∈［0，1），cosα∈（-1，1］.

例1寫出經過點M0（1，2）且傾斜角為的直線l的參數方程.

解：根據直線參數方程的定義，得

例2已知直線l的參數方程為（t為參數，試寫出直線l的傾斜角.

解：直線l的參數方程可化為（t為參數），故直線l的傾斜角為

（2）參數t的幾何含義.

上述兩種思路中參數t的引入方式不同，教師需要引導學生溝通引入方式之間的內在關聯，尋找本質相同的參數意義.在思路一中，需要教師引導學生使用數形結合思想，畫出圖像，以直觀觀察和的意義；還要特別注意x-x0與y-y0的符號對參數t的影響.

例3設直線l的參數方程為（t 為參數），求出直線l的傾斜角，并指出t的幾何意義.

解：因為sinα＞0，所以直線l的參數方程的標準形

對例3的理解學生會感到困難，只有注意到sinα＞0，才能實施正確變形，而且涉及對參數t的幾何意義的深刻理解.

7.評價學生的學習

認知心理學的研究表明，對初次接觸的復雜事物，大腦只能產生粗略的、非常不準確的表征，學習者在第一時間難以完成復雜學習，因此沒有反饋幾乎是不可能學會抽象的復雜的認知.數據普遍證實反饋極大地促進了考核成績的提高和直接遷移成績的提升（McCarthy，1995）.反饋也是優質課堂活動的組成部分，作業和一段時間后的測試是反饋的重要方法，是對課堂實時反饋的重要補充.

反饋思考：經過點P（1，2）作直線l，交橢圓于A、B兩點.若點P恰好為線段AB的中點，求直線l的斜率.

解：設過點P（1，2）的直線l的參數方程為（t為參數），代入橢圓方程，整理得（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0.（*）

因為點P在橢圓內，（*）必有兩根，設為t1，t2，

由t的幾何意義知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，且t1+t2=0.

所以2cosα+sinα=0.所以直線l的斜率為tanα=-2.

如上所述，當學生試做例3、反饋思考題和做作業時，他們能夠看到、聽到、體驗到自己、同學及教師所做同樣事情的不同結果，能接納公平的反饋進行自我對照和自我修正，這不僅使他們能夠進行深層次的理解學習，而且能使他們體會到數學思想方法，如數與形的結合、運動與變化、相對與絕對、分解與綜合等的突出作用，培養思考和分析問題的方法及辯證唯物主義觀點.