基于數學核心素養的微專題研究
——以“與圓有關的高考問題探究”為例

☉江蘇省清浦中學 吳洪生

☉江蘇省清浦中學 金明

圓是高中數學中一個重要的C級考點，常與另一C級考點直線方程一起考查，它是中學數學一個重要的知識交匯點，在高考中備受命題者的青睞.圓與直線問題在江蘇高考中地位突出，常考常新，是高考的高頻考點，既可作為中上難度的填空題，也可在應用題或解析幾何解答題中考查.

一、以圓為背景的填空題

（一）轉化為“直線與圓”的位置關系

例1（南京、鹽城2018屆高三一模第12題）在平面直角坐標系xOy中，若直線上存在一點P，圓x2+（y-1）2=1上存在一點Q，滿足，則實數k的最小值為______.

分析：我們先設出直線上的動點坐標P（x0，y0），根據向量關系式可以寫出圓上的動點Q的坐標由于點在圓x2+（y-1）2=1上，可得，即x02+（y0-3）2=9.從而可以發現點P（x0，y0）在圓x2+（y-3）2=9上.由于點P既在直線上，又在圓x2+（y-3）2=9上，所以該問題自然轉化為直線與圓x2+（y-3）2=9有公共點，求滿足這個條件的k的最小值.

點評：該問題所涉及的范圍較廣，既考查了直線和圓的方程，還涉及了向量表達式的考查，并且還運用了相關點法求軌跡方程；對學生邏輯推理、直觀想象等核心素養的掌握程度要求較高；另外，其對轉化、化歸思想的綜合運用能力要求也較高.

（二）轉化為“圓與圓”的位置關系

例2（蘇北四市2018屆高三一模第12題）在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2+（y-1）2=r2（r＞0）上存在點P，且點P關于直線x-y=0的對稱點Q在圓C2：（x-2）2+（y-1）2=1上，則r的取值范圍是______.

分析：先設圓C1上點P的坐標為（x0，y0），那么根據點關于直線的對稱關系可以寫出點Q的坐標為（y0，x0）.由題目條件點Q（y0，x0）在圓C2：（x-2）2+（y-1）2=1上，可得（y0-2）2+（x0-1）2=1，那么可以發現點P還在圓C3：（x-1）2+（y-2）2=1上.所以問題自然轉化為半徑未知的圓C1與已知方程的圓C3有公共點，進而求未知半徑r的取值范圍.

點評：從知識內容來看，該問題結合點關于直線對稱的知識來考查圓與圓之間的位置關系，需要學生熟練地掌握點坐標的對稱知識；從核心素養來看，對學生掌握數學運用和直觀想象兩種素養的要求較高；從能力方面來看，主要是考查學生對逆向思維的運用能力，要求學生能夠通過圓的位置關系反過來去判斷圓的半徑.

二、以圓為背景的應用題

例3（2019年江蘇高考18）如圖1，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA.規劃要求：線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

（3）在規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米），求當d最小時，P、Q兩點間的距離.

圖1

圖2

分析：如圖2，假設BD和圓O的交點為M，連接AM，AM⊥BD，得到DM=AC=BM=6，AM=8.以點C為坐標原點，l為x軸，建立直角坐標系，則A（0，-6），B（-8，-12），D（-8，0）.

（1）設點P（x1，0），PB⊥AB，則，即，解得x1=-17，所以PB=15.

（2）當QA⊥AB時，QA上所有的點到O的距離不小于圓O的半徑，可設Q（x2，0），那么kAQ·kAB=-1，即，解得，所以.因為，在這個范圍內不滿足PB，QA上的所有點到O的距離不小于圓O的半徑，所以P、Q中不能有點選在點D.

點評：這是江蘇省2019年高考中的一道以圓為背景的應用題，要求學生能熟練地掌握建立坐標系的方法，求動點間的距離等內容；重在考查學生對數學建模、邏輯推理、數學運用的核心素養的掌握；同時，要求學生具有較強的借助幾何圖形去解決代數問題的綜合運用能力.

三、與圓有關的解答題

例4（2016年江蘇高考18）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）.

（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；

（3）設點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數t的取值范圍.

分析：將圓M的方程轉化為標準方程為（x-6）2+（y-7）2=25，可知M（6，7），r=5.

圖3

（1）由已知條件可設N（6，y0），由圓N與x軸相切，并且與圓M外切可知，0＜y0＜7，并且7-y0=5+y0，因此y0=1，圓N的方程為（x-6）2+（y-1）2=1.

（3）先設P（x1，y1），Q（x2，y2），根據已知條件，可知x2=x1+2-t①，且y2=y1+4②.因為點Q是圓M上的點，所以滿足（x2-6）2+（y2-7）2=25.將①②代入圓M的方程中，可以得到（x1-t-4）2+（y1-3）2=25.由此可看出點P既在圓（x-t-4）2+（y-3）2=25上，也在圓M上，可知兩個圓相交，所以有可解得

點評：從考查的知識內容來看，第（1）問考查了利用圓和直線、圓和圓的位置關系求出圓的方程，第（2）問考查了直線和圓在相交的情況下的問題，第（3）問是動點和向量的綜合考查；從核心素養來看，主要考查學生對邏輯推理、數據分析的掌握；從能力方面來看，主要是考查學生運用數形結合思想分析和處理數據的能力.

總之，高考中，與圓有關的知識考查的覆蓋面較廣，綜合性和技巧性都較強，是非常重要的一部分內容，教師在教學過程中，要從數學核心素養的各個方面出發，合理地設計教學方案，幫助學生提高圓的知識的應用能力.