一圖多問 促進思維 提升素養
——以高三《橢圓》一輪復習第1課時為例

☉江蘇省梅村高級中學 汪 俊

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學特征的思維品質、關鍵能力，以及情感、態度和價值觀的綜合體現.數學核心素養是在數學學習和應用的過程中逐步發展起來的，是通過數學的反思、積累和升華孕育出來的，如何在高三數學教學過程中落實德育，又充分發揮復習課的功能，教會學生以不變應萬變，在減負中提升學生的數學核心素養？筆者以一節橢圓復習課為例，通過一圖多問，改變傳統的復習方式，對同一圖形的提問進行多角度思考與分析，提升學生思維的廣度和深度，從而達到培養學生數學核心素養的目的.

一、教學片段與評注

片段1

問題1：觀察如圖1所示的橢圓，你能得到哪些信息？

學生之間相互討論補充，得到橢圓的焦點在x軸上，標準方程為，焦距為2.

圖1

問題2：你能求出該橢圓的方程嗎？為什么？若不能，你能添加一個條件使得橢圓的方程能夠求出來嗎？

生1：不能直接求，可以添加長軸端點的坐標得到a，再求b，或添加短軸端點的坐標得到b，再求a，從而得到橢圓方程.

生2：也可以添加橢圓的離心率e，然后求出a，從而得到橢圓方程.

師：還能添加其他條件嗎？

生3：添加橢圓上除端點外的任意一點的坐標也可以，如添加橢圓過點，求橢圓的方程.

師：很好！由生3的條件我們一起來求一下橢圓的方程？

師生共同分析，通過待定系數法，先設出橢圓的標準方程，但要注意先定位，再定量.有時要分類討論焦點在x軸上還是在y軸上；也可以利用橢圓的定義，直接利用橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為2a，然后求出a，再求出橢圓的方程.

評注：通過兩個開放性的問題，以題目帶動知識，讓學生在問題解決中復習橢圓的相關知識，讓學生在問題中復習待定系數法、定義法來求橢圓方程的注意點及步驟，滲透分類討論、數形結合的思想，注重方法的多樣性和思維的發散性.

片段2

問 題3：如圖2，若P（x0，y0）是橢圓上的任意一點，連接PF1，PF2，你能提出哪些問題呢？

先讓學生獨立思考，然后交流分享，最后歸納學生提出的問題，主要有：求PF1+PF2的值、△PF1F2的周長和面積、∠PF1F2的度數達到最大值時P的位置、焦半徑PF1，PF2的求法等.

師：大家提出的問題都很好，下面我們重點來討論如何求出PF1，PF2的長度？

生4：利用兩點之間的距離公式可知：

圖2

所以PF1=a+ex0，同理PF2=a-ex0.

師：很好！有沒有同學有其他的解法呢？

生5：利用橢圓上任意一點到焦點的距離與到相應準線的距離之比是離心率e可得，化簡整理得PF1=a+ex0，同理PF2=a-ex0.

師：這位同學利用了橢圓的第二定義，運算較為簡單，非常好！接著老師引導大家利用PF1，PF2的長度表達式去研究P點在何處時，∠PF1F2最大.

評注：提出問題比解決問題更重要，在此環節中，教師主動引導學生提出問題并解決問題，在圖形中研究問題，讓學生的思維層次不斷提升，注重問題本質的揭示和方法的提煉，滲透數學思想，有利于培養學生思維的深刻性.同時不滿足于問題的單一解決方法，引導學生多角度、多方法來解決問題，不僅強化了知識之間的聯系，同時培養了學生思維的發散性和廣闊性.

片段3

圖3

問題4：如圖3所示，若點P（x0，y0）是橢圓上在第一象限內的任意一點，A為長軸端點，B為短軸端點，連接AB，你又能提出哪些問題？并嘗試解決.篩選學生提出的問題并歸納如下：

①若△PAB是等腰三角形，求P點坐標.

②是否存在點P，使得△PAB是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

③過點P作y軸的平行線交AB于點E，則PE長的最大值為多少？

④△PAB的面積的最大值為多少？

教師首先肯定這四個問題都值得研究，然后引導學生重點探究后面兩個問題.

師：這是建立了PE關于θ的函數關系式，建立函數模型，很好！

師：上面的解法非常好，我們通過三角代換順利地解決了與橢圓有關的最值問題，這也是我們經常用到的方法.我們能否用這個方法來解決下面這個問題呢？

問題5：如圖4，求出P點到直線AB的距離PQ的最大值.

圖4

師：很好！你把求PQ的最大值轉化為求△PAB面積的最大值，能否不通過求△PAB的面積而直接表示PQ的長？

教師引導學生可以從三角代換出發設出P點的坐標后運用點到直線的距離公式，或者發現PQ=PEsin∠ABO，從而把求PQ的最大值轉化為求PE的最大值.最后通過幾何畫板來演示，讓學生直觀感受到：過點P作AB的平行線，當平行線與橢圓相切時，PQ最大，這也是得到PQ最大值的一種方法.

評注：由定點變動點，問題層層推進，水到渠成，學生通過自己提出問題，培養問題意識，通過一題多解，多題歸一，在問題解決中提高學生解決與橢圓有關的線段最值、三角形面積的最值問題的能力，增強學生的問題意識和應用意識，注重問題本質的揭示，滲透換元和轉化的思想.

二、教學反思與總結

1.改變方式，激發興趣

數學復習不能簡單的重復，否則會讓學生覺得枯燥無味，從而失去了學習的興趣，應該把能力的培養轉化為技能的訓練.所以我們在高三復習過程中要不斷地推陳出新，改變復習方式，在復習形式上創新，讓學生在梳理知識的同時，感悟數學解題策略，提煉數學基本方法，從而達到增長智慧、提高素養的目的.本節課突破原來的“知識復習—例題分析—鞏固運用—拓展升華”的教學模式，巧妙運用一圖貫穿一課的方式，在圖中不斷添加條件，提出問題，層層深入，逐步衍生出所要復習的知識和方法，從而達到復習的目的.

2.思想滲透，提升素養

在高三復習課中，學生已經較為全面地掌握了基礎知識，教師更有條件在教學中有意識地向學生滲透數學思想，揭示數學本質，讓學生在應用中體會感悟，在反思中明晰升華，讓課堂因思想而厚重.本節課通過問題鏈接知識，用思想引領方法，抓住圖形變化的核心，讓學生經歷問題的逐漸遞進、深度探究，從而提升學生的核心素養.

所以在高三復習中也應該放慢腳步，把更多的時間留給學生思考，把動手的機會、表達的機會、反思的機會讓給學生，從而達到促進思維、提升素養的目的.