橫看成嶺側(cè)成峰，多種思維離心率
——2019年全國(guó)卷Ⅰ理第16題

☉浙江省寧海縣知恩中學(xué) 何起紅

求解離心率是圓錐曲線中最常見的一種題型，一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，也是歷年數(shù)學(xué)高考、競(jìng)賽中比較常見的一類問(wèn)題.此類問(wèn)題往往小巧玲瓏，常考常新，變化較大.解決圓錐曲線的離心率的關(guān)鍵是尋找橢圓或雙曲線中參數(shù)a、c所滿足的關(guān)系式，根據(jù)題設(shè)條件可靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)、解三角形知識(shí)、直線的方程、直線的斜率、平面幾何的性質(zhì)等進(jìn)行綜合分析與處理，從而得以解決離心率的求值及取值范圍等與離心率有關(guān)的問(wèn)題.

一、真題在線

例（2019·全國(guó)卷Ⅰ理·16）已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若，則C的離心率為______.

二、多解思維

思維角度1.解析幾何角度

利用解析幾何知識(shí)，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程、直線的交點(diǎn)及直線的位置關(guān)系等建立關(guān)系式來(lái)破解.

方法1：（交點(diǎn)坐標(biāo)法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

結(jié)合A是F1B的中點(diǎn)，可得，整理可得c4-5a2c2+4a4=0，即e4-5e2+4=0，解得e=2（其中e=±1，e=-2舍去）.

故填答案：2.

方法2：（坐標(biāo)法1）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得|OB|=|OF1|=c.

故填答案：2.

方法3：（坐標(biāo)法2）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得|OB|=|OF1|=c.

而F1（-c，0），由F1B⊥OA，可得，則有b2=a（a+c）=c2-a2，整理可得c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=2（其中e=-1舍去）.

故填答案：2.

思維角度2.平面幾何角度

利用平面幾何知識(shí)，通過(guò)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等面積法思維等建立關(guān)系式來(lái)破解.

方法4：（等邊三角形法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

所以∠F1OA=∠F1F2B.

結(jié)合漸近線的對(duì)稱性∠F1OA=∠BOF2，則有∠F1F2B=∠BOF2.

結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可知|OB|=|OF2|.

利用∠F1F2B=∠BOF2與|OB|=|OF2|，可知△BOF2為等邊三角形，則∠BOF2=60°.

故填答案：2.

方法5：（等面積法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

而|OF1|=c，可得|OA|=a，因此有|AB|=|F1A|=b，|F2B|=2|OA|=2a，|F1B|=2b.

結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得|OB|=|OF1|=c.

設(shè)點(diǎn)B到x軸的距離為h，利用等面積法有|F1B|·|F2B|=|F1F2|·h，可得

結(jié)合xB2+yB2=|OB|2，則有，整理可得4a2=c2，即

故填答案：2.

思維角度3.三角函數(shù)角度

利用三角函數(shù)知識(shí)，通過(guò)三角函數(shù)的定義、三角恒等變換公式及兩直線的夾角公式等建立關(guān)系式來(lái)破解.

方法6：（夾角公式法）由題可知雙曲線C的漸近線方程為

而|OF1|=c，可得|OA|=a，所以|AB|=|F1A|=b.

結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得|OB|=|OF1|=c.

故填答案：2.

三、解后反思

在平時(shí)做題時(shí)，不能滿足于把題目解決出來(lái)就可以了，還應(yīng)該盡量思考不同的解法，從不同角度加以切入，并比較不同方法之間的異同點(diǎn)，從而歸納出常見解法與優(yōu)異解法.通過(guò)不斷追求一題多解，一題多思，對(duì)思維品質(zhì)的追求與提升有很好的幫助，這比單純地追求數(shù)量的“刷題”顯得更為重要.