三角求值方法多，等價變換最關鍵
——2019年全國卷Ⅱ三角求值題

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 王慶龍

三角函數的求值問題一直是高考中三角函數問題的常見題型之一，而三角恒等變換是三角求值中的關鍵所在.由于三角函數公式繁多，關系又錯綜復雜，解題時既有多種公式可供選擇，又容易陷入公式無從選擇的困境.三角函數的求值問題在解法上具有多樣性，解題切入口也不唯一，對運算能力要求比較高，是考查綜合能力的良好載體，也是很好地考查學生思維的靈活性、多樣性、拓展性的場所.

一、真題在線

【高考真題】（2019·全國卷Ⅱ理科·10；文科·11）已知，則sinα=（ ）.

本題短小精悍，條件簡單，難度中等，可利用的三角函數公式眾多，切入點多樣.根據題目中二倍角與單倍角的關系，可以借助三角恒等變換加以轉化，當中可以利用同角三角函數基本關系式及相關的公式來處理；也可以借助三角函數定義，利用參數x，y，r的代數運算來處理；還也可以直接通過選項中的結果來進行驗證處理，從而達到求解目的.

二、一題多解

破解視角1.三角恒等變換法

解法1：（平方關系轉化法1）由題中關系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，則有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，結合，可得2sinα=cosα.

將cosα=2sinα代入平方關系sin2α+cos2α=1，可得

故選擇答案：B.

解法2：（平方關系轉化法2）由題中關系式2sin2α=cos2α+1，可得

代入平方關系sin22α+cos22α=1，可得cos22α=1，整理可得5cos22α+2cos2α-3=0，解得或cos2α=-1.

故選擇答案：B.

點評：利用平方關系或平方運算、萬能公式等方法來處理，結合同角三角函數基本關系式與二倍角公式的轉化與應用，都充分體現了方程思想及三角恒等變換思維.這也是解決此類問題的常見思維，通技通法.

破解視角2.三角函數定義法

解法3：（三角函數定義法）由于，在角α的終邊上取一定點P（x，y）（x＞0，y＞0）

由題中關系式2sin2α=cos2α+1，可得4sinαcosα=2cos2α，即2sinαcosα=cos2α.

故選擇答案：B.

點評：通過三角函數的定義的導引，把相應的三角函數值問題轉化為相應的定義中有關參數x，y，r的關系式，利用關于x，y，r的代數運算，并結合方程的思想來處理與轉化，進而求解相應的三角函數值.這是解決此類問題的特殊思維，回歸定義.

破解視角3.驗證法

解法4：（代入驗證法）已知

故選擇答案：B.

點評：驗證思維是破解選擇題比較常見的一類思維方式，借助各對應選項中的結果，逆向思維，將對應的結果代入題目條件，逆向運算，產生與條件或已知結論矛盾的情況就是錯誤的選項.驗證法有時也是破解問題的一大“殺技”.

三、變式探究

探究：保持原題條件，改變所要求解的三角函數名稱，從最簡單的層面加以變形與拓展，難度相當.

【變式1】已知，則cosα=（ ）.

解析：由題中關系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，則有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，結合，可得2sinα=cosα.

故選擇答案：D.

【變式2】已知，2sin2α=cos2α+1，則tanα=（ ）.

解析：由題中關系式2sin2α=cos2α+1，可得cos2α=2sin2α-1.

利用二倍角公式可得cos2α=2cos2α-1，則有2sin2α-1=2cos2α-1，即sin2α=cos2α.

而sin2α=2sinαcosα=cos2α，結合，可得2sinα=cosα，所以

故選擇答案：B.

四、解后反思

充分挖掘課本知識，拉近課本與高考之間的距離，架起兩者之間對應的橋梁，是平時數學教學與學習的一個關鍵所在.進而有意識地針對一些典型高考真題，就某一層面的知識體系加以一題多解、一題多變剖析，從課本基本知識與基本方法入手，從多個角度切入，到多個思維破解，真正達到橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.