談立體幾何教學中需要強化的幾個關鍵點

☉江蘇省海安市曲塘中學 萬海兵

立體幾何是高中數學的主干內容，也是考查考生空間想象能力、推理認證能力的有效載體，在教學中我們要對解題思路與方法進行提煉，對解題過程進行規范，注重數學語言的簡捷性，鍛煉與培養學生良好的解題習慣.

一、強化對知識點的梳理

在教學中要引導學生注重對重要知識點的整理與再加工，對各知識點的脈絡有一個清楚的認識，了解這些知識點在整個高中數學的作用與價值，整體把握知識點的內部結構，做到心中有數.

如：空間中的平行關系，主要包括：

知識的梳理中要熟練掌握三者間的相互關系，如：欲證“線面平行”，既可從“線線平行”入手，也可從“面面平行”入手.

例1如圖1，在三棱錐PABC中，D、E、N分別為棱PA、PC、BC的中點，M是線段AD的中點.求證：MN∥平面BDE.

圖1

分析1：從面面平行入手，經過MN構造與平面BDE平行的平面.取AB的中點O，連接NO，MO，易證平面MON∥平面BDE，進而問題得證.

分析2：從線線平行入手，連接PN交BE于點F，連接DF，利用三角形重心的性質可證得DF∥MN，進而可證得MN∥平面BDE.

當然，不論哪種思路，都要依賴于線線平行關系.在備考中要注意“線線平行”關系的尋找與利用.

二、強化良好的審題習慣

問題解決的最終目標就是求出結論或說明已給結論的正確或錯誤.因而解決問題時的思維過程大多都是圍繞著結論這個目標進行定向思考的.教師要引導學生通過審題，探索已知條件和結論之間的內在聯系和轉化規律，善于從條件或結論中捕捉解題信息，并進行轉化，從而確定解題方向.

例2如圖2，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：

（1）略；

（2）AD⊥AC.

審題路線圖：要證AD⊥AC→需證線面垂直：AD⊥平面ABC→需證線線垂直：AB⊥AD（已知），BC⊥AD（需證）→需證線面垂直：BC⊥平面ABD→靠攏已知：平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD.

圖2

三、強化常規解題方法的總結

例如：對于三視圖問題主要采用還原法，即將所求的幾何體還原于特殊的長方體或正方體中.

例3（2018年全國卷）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為______.

圖3

本題的求解既可以利用平移法、補形法來構造線線角，也可以利用向量運算和坐標運算來直接求解.（答案為，過程略）

四、強化規范性解答

在解答立體幾何問題時，不規范性的地方主要體現在以下幾個方面：

（1）建立空間直角坐標系時，坐標軸兩兩垂直的關系未證明，就應用.

（2）計算錯誤，如點的坐標、直線方向向量的表示及法向量的求解.

（3）跳步解答，任何的“跳步”書寫都容易產生歧義，都是要失分的.如證明直線l與平面α（m為α內的直線）平行時，要說明

（4）對兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角及空間兩向量的夾角范圍不明確.

例4如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是平行四邊形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分別是BC，A1B1的中點.

圖4

（Ⅰ）求證：EF∥平面A1C1CA.

（Ⅱ）當側面A1C1CA是正方形，且BC1=C1C時.

（1）求二面角F-BC1-E的大小.

（2）在線段EF上是否存在點P，使得AP⊥EF？若存在，指出點P的位置；若不存在，請說明理由.

解析：（Ⅰ）如圖5，取A1C1的中點G，連接FG，GC.在△A1B1C1中，因為F，G分別是A1B1，A1C1的中點，所以FG∥B1C1，且

在平行四邊形BCC1B1中，因為E是BC的中點，所以EC∥B1C1，且

所以EC∥FG，且EC=FG.所以四邊形FECG是平行四邊形.所以FE∥GC.

又因為FE?平面A1C1CA，GC?平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.

（Ⅱ）因為側面A1C1CA是正方形，所以A1C1⊥C1C.

又因為平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且平面A1C1CA∩平面BCC1B1=CC1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，A1C1⊥C1B.

又因為BC1⊥C1C，所以以C1為原點建立空間直角坐標系C1-xyz，如圖6所示.

設C1C=a，則A（0，a，a），B（a，0，0），C（0，a，0），A1（0，0，a），B1（a，-a，0）

（1）設平面FBC1的一個法向量為n=（x，y，z）.

又因為A1C1⊥平面BC1E，所以是平面BC1E的一個法向量.

圖5

圖6

由圖6可知，二面角F-BC1-E為鈍角，所以二面角FBC1-E的大小為

（2）假設在線段EF上存在點P，使得AP⊥EF.

故點P在點E處時，有AP⊥EF.

總之，在立體幾何的教學中除了強化上述四個關鍵點，解答或證明過程還要做到“步步有理有據”，分清主次，出現錯誤之后，應盡可能地及時訂正，從根源上找到錯因所在，及時總結知識上存在的漏洞，真正做到審題到位，下筆準，答題快.