走近參數(shù)范圍，探析方法視角

☉江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué) 耿 燕

討論參數(shù)的取值范圍是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，也是高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生掌握的核心內(nèi)容，考慮到該類問題的題型多變，所涉及的知識點(diǎn)較多，題型結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，學(xué)生在實(shí)際求解時(shí)很難準(zhǔn)確把握其中的切入點(diǎn)，從而造成突破困難，下面對其方法視角加以探析.

一、分離視角——分離參數(shù)，化歸最值

在求解一些含有參數(shù)的不等式問題時(shí)，可以基于分離視角采用參數(shù)分離的方法，使不等式問題中的變量和參數(shù)分別置于不等號的兩側(cè)，從而將問題化歸為不等式的最值問題，通過求解其值域或最值來實(shí)現(xiàn)對原問題的求解.即對于a≥f（x）恒成立問題，只需要求解f（x）max即可；而對于a≤f（x）恒成立問題，只需要求出f（x）min即可.

例1已知函數(shù)f（x），若對于任意的x∈［2，+∞）都有f（x）＞0，試求參數(shù)a的取值范圍.

分析：題干中給出了函數(shù)f（x）的解析式，求當(dāng)f（x）＞0時(shí)參數(shù)a的取值范圍，實(shí)際上構(gòu)建的是不等式問題，其中不等式中含有兩個(gè)變量，即a和x，并對x的范圍進(jìn)行了設(shè)定，求另一變量a的取值范圍，可以采用參數(shù)分離的方法，分別將a和x置于不等號的兩側(cè)，通過求最值來確定參數(shù)的取值范圍.

解：根據(jù)題意可知，對于在x∈［2，+∞）上恒成立，進(jìn)一步變形有a＞-x2+3x在x∈［2，+∞）上恒成立.可設(shè)h（x）=-x2+3x，則只需求出h（x）的最大值即可，即，則當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得最大值，且最大值為2，則a＞h（x）max=2.所以參數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）.

評析與總結(jié)：參數(shù)分離后的一側(cè)應(yīng)為函數(shù)原式，需要對其取值范圍加以討論，進(jìn)而確定其最值，而求解函數(shù)的最值也是一個(gè)難點(diǎn)，必要時(shí)可以引入導(dǎo)函數(shù)，通過求導(dǎo)的方式來加以確定.另外，還需要掌握一些不等式問題中常見的變量分離情形，例如：①f（x）≥h（k）恒成立?f（x）min≥h（k）；②f（x）＞h（k）恒成立?h（k）＜f（x）min.

二、構(gòu)造視角——構(gòu)造函數(shù)，借用性質(zhì)

在求解不等式、方程等參數(shù)范圍問題時(shí)，利用分離參數(shù)有時(shí)會存在一定的困難，而且無法分離出獨(dú)立的函數(shù)，此時(shí)就可以考慮采用構(gòu)造函數(shù)的方法，在不等式問題中構(gòu)造出新的函數(shù)，利用函數(shù)分析的方式來討論參數(shù)的取值范圍.

例2若不等式對于任何大于1的自然數(shù)n均成立，試求參數(shù)a的取值范圍.

分析：題干中給出了對應(yīng)的不等式，且表明不等式成立的情形，求其中參數(shù)a的取值范圍，考慮到不等式較為特殊，可以考慮在其中構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，通過求新函數(shù)的取值來確定參數(shù)a的取值范圍.

解：設(shè)f（n）=2），分析可知f（n+1）-f（n）＞0，則函數(shù)f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的單調(diào)遞增函數(shù)因此要確保不等式始終成立，只需要保證即可，從而可解得，即參數(shù)a的取值范圍為.

評析與總結(jié)：在上述求不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，所采用的是構(gòu)造函數(shù)的方法，并基于函數(shù)的性質(zhì)來分析參數(shù)的取值范圍.而研究函數(shù)的取值范圍需要考慮兩點(diǎn)：一是函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)性.前者是函數(shù)取值合理性的保證，后者則是利用函數(shù)變化規(guī)律來推導(dǎo)取值的關(guān)鍵.

三、數(shù)形視角——分離函數(shù)，圖像分析

相對而言，不等式參數(shù)求值問題較為抽象，計(jì)算過程較為煩瑣，如果不能準(zhǔn)確分析不等式的特征，則很容易造成解題停滯，而數(shù)形結(jié)合是解決該類問題較為有效的策略.利用數(shù)形結(jié)合方法來求解不等式參數(shù)問題時(shí)，可以基于題干中的不等式分離出相應(yīng)的函數(shù)，然后繪制出相應(yīng)的函數(shù)圖像，通過幾何意義轉(zhuǎn)化及圖像分析的方式來直觀求解.

例3已知不等式關(guān)于x∈［-4，0］恒成立，試求參數(shù)a的取值范圍.

分析：題干中給出了不等式恒成立的情形，并求解相應(yīng)參數(shù)的取值范圍，由于不等式涉及根號，若采用參數(shù)分離的方式則計(jì)算過程較為煩瑣，因此可以考慮采用數(shù)形結(jié)合的方式，以不等號為分割點(diǎn)，分別在兩側(cè)構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為比較兩函數(shù)值域的大小問題，然后分別繪制出兩函數(shù)的圖像，通過分析圖像的特征來求參數(shù)的取值范圍.

圖1

解：分別設(shè)，對函數(shù)y1進(jìn)行變形，可得（x+2）2+y12=4（y1≥0），則其圖像是以（-2，0）為圓心，2為半徑的上半圓，而函數(shù)y2為單調(diào)遞增的直線.將兩圖像繪制在同一直角坐標(biāo)系中，如圖1所示，若要使不等式成立，則需要滿足y1＜y2在區(qū)間x∈［-4，0］上恒成立，其幾何意義就為在對應(yīng)區(qū)間上函數(shù)y1的圖像均位于y2的下方.結(jié)合圖像分析可知，只要圓心（-2，0）到直線的距離大于2，且1-a＞0即可，即d=，解得a＜-5，所以參數(shù)a的取值范圍為（-∞，-5）.

評析與總結(jié)：數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)取值實(shí)際上利用了不等式的幾何意義，同時(shí)也體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的緊密聯(lián)系.在進(jìn)行不等式變形構(gòu)建函數(shù)的過程中，除了需要考慮兩者自變量的有效性，還需要掌握一定的技巧，如一般分離函數(shù)時(shí)需要確保其中之一為已知的簡單函數(shù)，這樣才更容易討論參數(shù)的取值范圍.

四、變換視角——主元變換，提煉構(gòu)式

在求解不等式問題中的參數(shù)取值時(shí)，一般其中含有兩個(gè)變量，在解題時(shí)我們習(xí)慣上將其中的x視為主元，而將另一變量a視為參數(shù)，如若按照常規(guī)的思路進(jìn)行變形分析，則過程較為煩瑣復(fù)雜，因此可以考慮采用變換主元的策略，將參數(shù)a視為主元，而將x視為要求取值范圍的參數(shù).

例4若實(shí)數(shù)p滿足|p|≤2，試求不等式x2+px+1＞2x+p恒成立時(shí)x的取值范圍.

分析：在上述不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量x和p，解題時(shí)需要將其中的一個(gè)變量視為主元，將另一個(gè)變量視為是已知的常數(shù).如若將x視為主元，但由于其取值未知，而p的取值范圍在題目中已經(jīng)進(jìn)行了限定，則用常規(guī)方法求解則存在一定的困難，因此可以考慮將p視為主元，則問題轉(zhuǎn)化為分析定義域［-2，2］上關(guān)于p的函數(shù)恒成立問題.

解：對不等式進(jìn)行變形，則有（x-1）p+x2-2x+1＞0.設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則需要使f（p）在［-2，2］上始終大于0，分析可知函數(shù)f（p）為單調(diào)函數(shù)，則需要滿足從而可解得綜上可知，x＜-1或x＞3.所以x的取值范圍為（-∞，-1）∪（3，+∞）.

評析與總結(jié)：從上述的變換主元可知，主元變換前后并不會改變不等式的性質(zhì)，只是問題分析過程中一種思維變換的方法.同時(shí)該種方法同樣是建立在函數(shù)思想之上的，需要充分利用函數(shù)性質(zhì)和圖像特征等知識.一般適用變換主元法求解參數(shù)取值的問題具有以下特點(diǎn)：一是含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的變量，二是其中一個(gè)變量具有明確的取值范圍.

總之，雖然參數(shù)取值范圍問題受題干不等式、題設(shè)條件、構(gòu)建方式的影響題型較為多樣，但實(shí)際上其求解方法也較為固定，上述所探究的只是其中幾種常見的解題視角和方法，在實(shí)際解題時(shí)需要全方位、多視角地對問題進(jìn)行審視，從而靈活地選取方法，以求高效求解.而在實(shí)際教學(xué)中需要教師多加引導(dǎo)并拓展學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的解題能力.