如何在解題教學中滲透學法指導

☉江蘇省江陰高級中學 沈敏忠

很多高中學生都會為自己的數學學習準備幾本好的資料，將資料上的練習題做上一遍就可以提高數學成績是這部分學生的普遍認知，然而這種認知和行為卻往往不能為其帶去良好的學習效果，實際上，將大量的時間和精力置于盲目解題卻又不反思、總結的行為并不能令其數學成績得到有效提升.

筆者結合自己的教學實踐、高中數學的學科特點進行了學習方法滲透的研究與思考，具體做法如下.

一、培養學生獨立思考的習慣

重視學生主體并培養學生獨立思考的習慣能夠有效促進學生的積極參與和認知結構的完善，學生靜心思考和獨立解題能夠有效地增強其數學學習的自信.

例1已知α，β∈，且，求證：

分析：學生在解決此題時，如果不能對題目進行獨立的思考和分析，在答題時不假思索地運用常規思路求解sin（α+β）或cos（α+β），并結合α+β的取值范圍進行證明，但題中的條件等式只有一個，從而求解三角函數值是行不通的，解題受阻自然產生.因此，變換思維角度來求解是必須的，先證α+β≥，再證α+β≤，或者運用反證法令問題得解.

證法1：首先，由已知等式得sin2α+sin2β=4sinαsinβ，即sin（α+β）cos（α-β）=cos（α-β）-cos（α+β），cos（α+β）=cos（α-β）［1-sin（α+β）］≥0.因為α+β∈（0，π），所以α+β≤；其次，由已知等式及均值不等式可得所以cotαcotβ≤1，即tanαtanβ≥1.所以又因為，所以α≥，即α+β≥綜上可得

證法2（反證法）：因為，所以α+β∈（0，π）.設，若，則，由正、余弦函數的單調性可得，所以，與已知矛盾.同理可證，當＜α+β＜π時，與已知同樣矛盾.因為α+β∈（0，π），所以

這一道有一定難度的題目的解題教學不僅對反證法的解題思路進行了巧妙的復習，還使學生在新問題的獨立思考中獲得了分析問題、解決問題的能力.學生養成獨立思考習慣的同時也大大提升了自身的數學素養.

二、培養學生一題多解、多解歸一的思考意識和習慣

引導學生在解題中進行一題多解、多解歸一的思考能夠有效地發展學生的智力和解題能力，學生的數學學習變得生動活潑的同時也大大減少了題海練習，數學學習的視野也會因此更加開闊.從不同方向對同一道數學題進行審視往往能夠得到不同的解法，因此，教師在解題教學中應抓住一切有利時機對學生進行有針對性的啟發，使學生在已有知識的基礎上盡可能地提出各種不同的新構想，使學生能夠逐步養成追求更好、更簡、更巧的解題方法的意識與習慣，基礎知識之間的縱橫聯系與溝通也因此變得更為緊密，學生也會在解題能力發展的同時獲得更為廣闊的解題思路.

例2已知f（x）=，a，b為相異實數，求證：|f（a）-f（b）|＜|a-b|.

從探求解題方法的角度對這道不等式證明題進行思考可以獲得以下思路：

思路1：常規方法，首先進行平方，將絕對值符號去掉，然后作差比較，最后運用配方法進行證明.

思路2：作商比較法，首先運用共軛根式的知識將分子進行有理化，然后利用放縮原理進行證明.

思路3：三角代換法，觀察式子的結構特征并聯想函數，令x=tanα，然后再轉化成三角不等式進行證明.

思路4：構造復數證明，結合函數的特點，以及復數的模構造復數z=1+xi，然后利用復數的三角不等式進行證明.

思路5：考察表達式f（x）=可視作點P（x，1）到點O（0，0）的距離，當a≠b時，由點P1（a，1）、P2（b，1）與原點確定的△OP1P2中任一邊大于其余兩邊之差即可令問題得到證明.

思路6：解幾證法，方程f（x）=表示雙曲線y2-x2=1的上支，為雙曲線上兩點（a，f（a））、（b，f（b））連線的斜率的絕對值，則問題即轉化為估計雙曲線的上支的任一弦所在直線的斜率，雙曲線y2-x2=1的漸近線斜率是±1，則得證.

解決本題可以從代數和幾何兩個角度入手，引導學生聯想一題多解模式并使學生學會從多角度觀察、思考和聯想，能使學生在已有知識的基礎上進行融會貫通并獲得更多的解題辦法.符合學生認知心理與認知規律的這種引導不是解題方法的簡單羅列，也不是解題思路的強行灌輸，而是引導學生自主探索、自我發現的有益思維過程.

三、培養學生及時小結和糾錯的習慣

各種原因都可能導致學生在解題時出錯，錯誤自然在所難免，但一錯再錯的現象卻值得教師關注，這是學生混淆概念、忽視隱含條件、特殊代替一般、忽視特例、邏輯不夠嚴密等問題造成的，因此教師應該在教學中對學生不斷地進行針對性的訓練和培養，使學生能夠逐步養成及時小結和糾錯的習慣，并因此達成有效防范錯誤的目的.

例3若是第二象限的角，則m的取值范圍為（ ）.

A.m=8 B.3＜m＜9

C.m=0或m=8 D.-5＜m＜9

錯解：θ是第二象限的角，由和-1＜解得3＜m＜9，故選B.

這是一個典型錯誤，其實只要在解題后對其進行檢驗，很快就能發現這一解答是錯誤的.取m=5，則sinθ=此時.這是沒有考慮sin2θ+cos2θ=1這一隱含條件而導致的錯誤，本題應選A.

合理“設置錯誤”以幫助學生及時發現錯誤和糾正錯誤也是極有意義的教學手段，這能使學生在錯誤的發現、辨析和糾正中抓住問題的本質，使學生能夠對問題形成全方位、多角度的思考和分析并獲得事半功倍的學習效果.不僅如此，學生還能因此逐步養成不斷反思的好習慣.

四、培養學生寫“數學小論文”的習慣

很多數學概念與結論都給人特別抽象的感覺，但事實上，很多數學問題都是從現實生產、生活中得來的.教師應使學生能夠明白這種意義并運用已有知識解決超出教材范圍的問題.

例4一扇形鐵板AOB的半徑是R，圓心角是，在該扇形中切割下一內接矩形PQRS，矩形PQRS的各頂點均在扇形的弧或半徑上，則該矩形的最大面積是多少？

分析：解決本題首先應弄清楚內接矩形有如圖1、圖2所示的兩種情況并分別作出處理，再最終求出其最值.由題意可知，首先可以構造函數，然后選取如圖所示的自變量θ并建立矩形面積關于θ的三角函數.圖1中矩形的面積很快可以求出，面積，可得當時，其面積可取最大值；圖2中矩形面積可得當時，其面積取得最大值.因為，因此如圖1所示的內接矩形的最大面積更大，為這一結論得出之后，教師應該啟發學生進行以下思考：條件發生變化時可得出什么結論呢？你在這一結論中可得到什么啟示？引導學生首先提出問題并在此基礎上進行數學小論文的創作.

圖1

圖2

總之，教師應對教與學這一雙邊活動進行更多的思考，將學法指導滲透進教學的各個環節中去并因此促成學生更多的領悟思考，使學生能夠在掌握更多學習方法的過程中獲得更多終身受益的能力的領會和提升.