解析構造函數在高中數學解題中的應用

☉山東省青島第二中學 孫云濤

構造函數對學生的綜合能力要求較高，不僅要牢固掌握并深入理解基礎知識，而且需要具備靈活應用所學知識的能力.教學實踐發現，多數學生不知道如何構造函數，面對數學試題要么走不少彎路，要么不知如何下手，因此，教師應圍繞教學內容，講解構造函數在不同試題中的應用，傳授構造函數的解題技巧.

一、構造函數在不等式中的應用

不等式是高中數學的重要知識點，其較為抽象，相關題型復雜多變，部分試題采用常規思路便可求解，部分試題則需要學生構造函數，故難度較大.為使學生掌握不等式試題的解題技巧，教師一方面要做好不等式的基礎知識的講解，尤其在應用基本不等式求解時，應引導學生找到等號成立的條件，切實夯實基礎.另一方面，在教學實踐中應多積累優秀試題，引導學生深入分析不等式試題，傳授構造函數在解題中的應用方法，幫助學生迅速找到解題的關鍵點.

例1設f（x）是定義在R上的奇函數，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0，且f（-2）=0，則不等式xf（2x）＜0的解集為______.

該題目題干簡潔，較為抽象，顯然運用常規解法無從下手，此時應考慮采用構造函數法來求解.認真觀察題干中給出的不等式，滿足“xf′（x）+nf（x）”的形式，教師可引導學生嘗試著構造函數F（x）=xf（2x），而后借助函數的奇偶性、單調性，以及數形結合等知識來解答.構造函數時，應注意題干中“f（-2）=0”這一條件的應用.

由題干可知，構造函數F（x）=xf（2x），則F′（x）=2xf′（2x）+f（2x），當x＜0時，F′（x）=2xf′（2x）+f（2x）＜0，即在（-∞，0）上F（x）單調遞減.因為f（x）為奇函數，而y=x也為奇函數，由奇偶函數的知識可知F（x）是偶函數.顯然在（0，+∞）上F（x）單調遞增.因為f（-2）=0，則F（-1）=0，由上可大致畫出函數圖像，由圖像易知其解集為（-1，0）∪（0，1）.故填答案為（-1，0）∪（0，1）.

二、構造函數在數列中的應用

數列是高中數學的重點與難點內容，包括等差數列、等比數列等知識點.數列可與其他數學知識綜合命題，難度較大.在教學實踐中，教師一方面要為學生深入講解等差、等比數列的概念、通項公式的求解方法，使學生牢固記憶與靈活應用數列的相關性質；另一方面，優選具有代表性的試題，引導學生應用構造函數的方法進行求解，體會構造函數在解答數列試題中的應用過程，總結構造函數在解答數列試題中的技巧.

例2已知{an}為等比數列，且滿足a1=2，a8=4，函數f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），則f′（0）的值為（ ）.

A.26B.29C.212D.215

該題目是數列與函數的綜合題，難度中等，關鍵在于能夠找到解題的突破口.認真分析給出的函數表達式及所要求解的內容，可考慮采用構造函數法，即構造函數f（x）=xg（x），而后應用數列性質進行求解.

令g（x）=（x-a1）（x-a2）…（x-a8），則f（x）=xg（x），對其進行求導得f′（x）=g（x）+xg′（x）.顯然f′（0）=g（0）=a1·a2·…·a8，又因為a1=2，a8=4，則g（0）=a1·a2·…·a8=（2×4）4=212.故正確答案為C.

三、構造函數在解析幾何中的應用

解析幾何是高中數學的難點，是高考的必考知識，試題難度或難或易.解題中只有結合題干條件，靈活應用多種解法，才能提高解題效率，因此，在教學實踐中，教師一方面應靈活應用多種教學方法，以幫助學生記憶與理解解析幾何中的計算公式，如可以引導學生通過繪制思維導圖，直觀記憶各個知識點，構建系統的解析幾何知識網絡體系；另一方面，為學生創設新穎的試題情境，鼓勵并引導學生應用構造函數法進行求解，幫助學生樹立解題自信，不斷提高有關解析幾何試題的解題水平.

例3已知實數a、b、c、d滿足，其中e為自然對數的底數，那么（a-c）2+（b-d）2的最小值為（ ）.

A.8 B.10 C.12 D.18

很多學生面對該題不知如何下手，只有極少部分學生能看出“（a-c）2+（b-d）2”表示的是兩點間距離的平方，但究竟該如何解答仍是一頭霧水.在教學實踐中，教師應引導學生認真觀察題目中給出的等式，然后進行化簡并構造函數，便不難求解.

四、構造函數在三角函數中的應用

三角函數是高中數學的基礎知識，圍繞三角函數既可以單獨命題，也可以與向量、函數結合起來命題.若和其他知識點結合起來命題，則難度一般較大，因此，在教學實踐中，教師應注重解題方法的傳授.一方面，三角函數與定義域密切相關，解答相關試題時，教師應引導學生在給定的定義域內分析問題；另一方面，圍繞具體例題，為學生講解應用構造函數解答三角函數試題的方法，使學生掌握這一重要的解題方法.

例4已知在時，不等式f（x）tanx＜f′（x）恒成立，則下列不等式錯誤的是（ ）.

該題目以三角函數為背景進行命題，難度較大.認真分析題目中給出的不等式關系及定義域可知，當x∈時，sinx＞0，cosx＞0，結合所給的選項，可考慮通過構造函數F（x）=f（x）cosx來進行求解.

構造函數F（x）=f（x）cosx，則F′（x）=-f（x）sinx+f′（x）cosx.因為對任意的，不等式f（x）tanx＜f′（x）恒成立，即f（x）sinx＜f′（x）cosx恒成立，f′（x）cosxf（x）sinx＞0恒成立，即F′（x）＞0，故F（x）在上單調遞增.易知，由此可知，所以，結合四個選項可知，只有D選項是錯誤的.故答案選D.

五、結論

構造函數是一種重要的解題方法，其能幫助學生迅速找到解題思路，并快速解題.但構造函數的專業性較強，很多學生不易掌握，因此，在教學實踐中，教師應做好構造函數的教學研究.本文通過研究可得出以下結論：

（1）構造函數解題主要根據函數的單調性、奇偶性、周期性等知識點來進行求解，因此，在教學實踐中，教師應做好函數基礎知識的教學，使學生牢固掌握高中階段各種函數的基礎知識，為學生能夠靈活構造各類函數奠定基礎.

（2）為使學生加深對構造函數的認識，教師應圍繞高中數學教學內容，講解相關的例題.同時，優選經典題目，并不斷地進行專題訓練，鼓勵學生總結與積累構造函數的技巧，提高學生構造函數的應用水平，促進其解題能力的進一步提升.