例說多變量問題的處理策略

☉江蘇省海門中學 湯曉玲

多變量問題是近年高考中的熱門考題，也是高中數學中較難處理的問題，往往得分較低.從內容上看，多變量問題涉及的知識點多，覆蓋面廣，綜合性強；從題型上看也是?？汲Ｐ?，解法靈活.面對這類問題時，許多學生望而生畏，完全找不到求解這類問題的突破點.本文通過幾道典型例題的解答，介紹多變量問題的幾種常規的處理策略.

一、基本不等式

例1已知正數x，y滿足，求x+2y的最小值.

分析：抓住已知條件中的定值，將所求的x+2y配湊成與已知條件相關的形式.

若已知條件中有定值，可以對所給的條件或結論進行適當的變形（因式分解、多項式展開等），尋找兩者之間的聯系，配湊出定值，利用基本不等式解決.

二、換元法

例2已知正實數x，y滿足，則xy的取值范圍是______.

分析：將xy換元成t，抓住已知條件中的定值，進而將其轉化為求t的取值范圍.

解法一：令t=xy，則

解法二：由解法一可得

三、主元法

例3設x1，x2，x3是三個互不相等的實數，若x1x2+x2x3+x3x1=-24，且x1+x2+x3=-3，則x1x2x3的取值范圍是______.

分析：注意到x1，x2，x3完全等同的地位，可以把x1+x2和x1·x2表示成x3的函數，根據一元二次方程有兩個不等實根，進而求出x3的取值范圍，進一步求出x1x2x3的取值范圍.

解：由已知條件得

所以x1，x2是方程x2+（3+x3）x+x32+3x3-24=0的兩個不等實根.

從而Δ=（x3+3）2-4（x32+3x3-24）＞0?-7＜x3＜5.

令f（x）=x3+3x2-24x（-7＜x＜5），則f′（x）=3x2+6x-24=3（x+4）（x-2）.

令f′（x）=0得x=-4或x=2.

列表得：

當x=-4時，f（x）取得極大值80，f（x）在x=2處取得極小值-28.

檢驗：①當x3=-4時，

圖1

所以x1，x2是方程x2-x-20=0的兩個不等實根5，-4.

與已知x1，x2，x3是三個互不相等的實數矛盾.

②當x3=2時

所以x1，x2是方程x2+5x-14=0的兩個不等實根-7，2.

與已知x1，x2，x3是三個互不相等的實數矛盾.

所以-7＜x3＜5且x3≠-4且x3≠2，又f（-4）=80=f（5），f（-7）=-28=f（2），所以-28＜f（x）＜80，從而x1x2x3的取值范圍是（-28，80）.

本題中x1，x2，x3的地位完全等同，也可以轉化成關于x1，x2的函數來處理，特別要注意題目中的陷阱，三個數互不相等，所以最后答案是開區間（-28，80）.有些問題中如果把涉及的常見變量字母（如“x”）當作主元，那么解題過程會比較煩瑣，甚至無法求解.因此，根據解題的需要，必要時嘗試換個角度來審視題意，或許就會豁然開朗.

例4若關于x的方程x2+ax+b=0有不小于2的實根，則a2+b2的最小值為______.

分析：如果直接從方程x2+ax+b=0有不小于2的實根出發，根據該方程在［2，+∞）上實根的個數進行分類討論，并作出所得不等式組所表示的平面區域，這樣相對來說比較煩瑣.其實倘若注意到原方程是關于a，b的二元一次方程，故可以嘗試以a，b為主元，x為次元，那么xa+b+x2=0可以看做是關于a，b的直線方程，a2+b2的幾何意義是該直線上的點到原點的距離的平方，故可以將此最小值表示為關于次元x的函數表達式，最后求得此函數的最小值.

解：原方程可看做關于a，b的直線方程l：xa+b+x2=0，a2+b2的幾何意義是直線l上的點（a，b）到原點（0，0）的距離的平方，故

本題的審題角度較為新穎，解題過程更為簡潔.事實上，在多變量問題中，主元和次元是相對的，必要時可以相互轉化，從而實現抓住關鍵、化難為易的目的.

四、數形結合

如果滿足條件的多變量問題的約束條件可以用幾何圖形來表示，則可以挖掘待求問題的幾何意義，并利用數形結合思想來求解.

例5在平面直角坐標系xOy中，過點P（-5，a）作圓x2+y2-2ax+2y-1=0的兩條切線，切點分別為M（x1，y1），N（x2，y2），且，則實數a的值為______.

分析：注意到這個條件，可以聯想到斜率公式，利用三點共線來解決.

解：記圓心為C，MN的中點為Q（x0，y0），圓C的方程為：（x-a）2+（y+1）2=a2+2.

因為MN⊥PQ，設A（1，0）.

圖2

所以P、A、Q、C四點共線.

在多變量問題中，若問題條件的數量關系有明顯的幾何意義或以某種方式將問題轉化為幾何圖形來實現，從而依靠幾何圖形的特征或性質將問題解決，這就是“數形結合思想”.用數形結合思想來解題的關鍵在于觀察、分析、類比、聯想，找出代數問題的幾何特征，進而構造出相應的幾何模型來解決問題.數形結合能使復雜的代數問題簡單化、直觀化、形象化，能夠提升學生的思維高度，激發學生的學習興趣.