“隱圓”顯示，問題自解

☉山東省禹城市綜合高中 趙德才

一、問題呈現

【問題】（2019屆山東省高三百校聯考（非官方）·13）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=1及點，設點P是圓C上的動點，在△ACP中，若∠ACP的角平分線與AP相交于點Q（m，n），則的取值范圍是______.

本題是一個平面解析幾何中的動態問題，通過圓C上的動點P的變化，帶動∠ACP的角平分線與AP的交點Q（m，n）的變化，結合點Q所對應的“隱圓”問題，進而探求點Q到坐標原點O的距離|OQ|的取值范圍問題，即的取值范圍.解題的關鍵是抓住題目條件，結合已知條件及角平分線定理來破解，可以通過幾何法、坐標法與三角代換法等不同的方法來處理，從而得到有效解決.

二、多解思維

思維角度1：根據題目條件，結合角平分線定理得到，過點Q作QB∥PC交AC于點B，結合比例關系得到，進而利用條件確定點B的坐標，結合動態問題確定點Q的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用圓的性質來確定|OQ|，即的取值范圍.

解法1：由題得圓心C（0，1），半徑r=1，由A（3，0），可得由于∠ACP的角平分線與AP相交于點Q（m，n），所以結合角平分線定理可得

圖1

思維角度2：根據題目條件，結合角平分線定理得到，利用平面向量的線性關系式通過設出P（x0，y0），結合平面向量的坐標運算，得到x0與y0的表達式，代入圓C的方程，通過轉化得到點Q的軌跡是以為圓心為半徑的圓，再利用圓的性質來確定|OQ|，即的取值范圍.

在MoO3還原成MoO2的過程中存在低熔點中間相Mo4O11和MoO2.89的相變過程[5]，該轉變過程為放熱反應，若料層厚度較厚，則反應過程中的熱量較難逸出，易使中間相出現局部熔融從而造成板結形成粗大顆粒，在粒度分布上呈現明顯的第二峰。

解法2：由題得圓心C（0，1），半徑r=1，由A（，0），可得，由于∠ACP的角平分線與AP相交于點Q（m，n），所以結合角平分線定理可得2，即.設P（x0，y0），由Q（m，n），A（，0），可得，則有

而點P（x0，y0）是圓C上的動點，則有x02+（y0-1）2=1.

思維角度3：根據題目條件，結合角平分線定理可得，利用平面向量的線性關系式，通過三角代換設出P（cosα，1+sinα），結合平面向量的坐標運算，得到m與n的表達式，通過m2+n2的三角恒等變換，利用三角函數的圖像與性質來確定其取值范圍，進而得到的取值范圍.

解法3：由題得圓心C（0，1），半徑r=1，由A（，0），可得

由于∠ACP的角平分線與AP相交于點Q（m，n），所以結合角平分線定理可得，即

設P（cosα，1+sinα）（α∈［0，π））.

三、變式拓展

【變式1】（2019屆安徽省“江南十校”高三第二次大聯考·15）已知在平面直角坐標系xOy中，A（4，0）若點P滿足|OP|=1，線段PA的中點為M，則|BM|的最大值為______.

解析：如圖2所示，取線段OA的中點C（2，0），可得

圖2

所以隨著動點P的變化，點M的軌跡是以點C（2，0）為圓心，以為半徑的圓C.

連接BC并延長交圓C于點M0.

根據平面幾何知識可知，當點M為M0時，|BM|取得最大值，最大值為

所以|BM|的最大值為3.

故填答案：3.

【變式2】在已知平面直角坐標系xOy中，A（4，0），，若點P滿足|OP|=1，線段PA的中點為M，則|BM|的取值范圍為______.

解析：由變式1中的解析可知，|BM|的最大值為|BC|+，|BM|的最小值為

所以|BM|的取值范圍為［2，3］.

故填答案：［2，3］.

解決此類平面解析幾何中的動態問題，關鍵是要抓住題目條件，利用關系確定對應的“隱圓”問題，其實此時“隱圓”就隱藏在題中相應點的軌跡中.而正確判斷與確定這個“隱圓”，就為進一步地破解與應用打開局面，拓展思維，指明方向，問題往往也就迎刃而解.