從求解過程看高考解答題中壓軸題的求解策略

☉浙江省杭州市余杭區教育局教研室 曹鳳山

高考數學試卷中的“壓軸題”一般是指試卷中體現難度、保證區分度、重在素養考查的試題，是一份試卷中的“重頭戲”，在各類題型中基本上都處于后兩題的位置，往往凝結了命題專家的大量心血.這些試題在考查基礎知識、基本技能的同時，重在考查知識的融會貫通，考查對數學思想方法的理解和領悟，考查數學核心素養.在壓軸題上多得分，在選拔性考試中的重要性不言而喻.

本文通過“解剖麻雀”，從一道高考真題的求解過程中，反思、歸納解答題中壓軸題的一些求解策略.供參考.

題目（2018年全國高考數學卷Ⅲ第21題）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（1）若a=0，證明：當-1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0.

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

首先看第一問的求解.

思路1：若a=0，則f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，求導得，不能直接求零點、判定符號，所以再次求導，得f″（x）=，在（-1，0）上，f″（x）＜0，f′（x）單調遞減.而f′（0）=0，所以f′（x）＞0，函數y=f（x）單調遞增.又f（0）=0，故f（x）＜f（0）=0；同理在（0，+∞）上，f（x）＞0.

解題過程中證明了：當x∈（-1，0）時，ln（1+x）≥，這個關系式看起來有點陌生，實際上，用x代換1+x，得到，x再代換為，有，即lnx≤x-1，所以≤lnx≤x-1，是不是很熟悉的形式？

思路2：發現思路1中兩次求導，較煩瑣.能不能避免兩次求導，如何避免？

兩次求導的根源在哪里？如果出現h（x）=f（x）lnx+g（x）的形式，求導以后勢必還會包含對數函數lnx的形式，下面求零點、判定符號就不方便，只有對數函數lnx“單獨行動”，求導以后才能得到代數形式，需要把對數函數與其他形式“分離”.如（2+x）g（x），根據已知條件，2+x＞0，研究函數y=f（x）的符號等價于研究函數y=g（x）的符號變化，即證明：當-1＜x＜0時，g（x）＜0；當x＞0時，g（x）＞0.

通過形式轉化，步驟減少、運算量減少、難度降低，問題的求解更具一般性，體現了數學求解的本質特點：轉化與化歸.

再看第二問的求解.

思路1：仿第一問解答.f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）將x=0代入發現是個恒等式，一無所獲.

思路2：如果第二問是建立在上述第一問思路2的基礎上，第二步應該有以下變形，f（x）=（2+x+ax2）·，但是，與第一問不同的是，第一問是具體函數f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x的函數值符號判斷，由于2+x符號確定，問題轉化為函數g（x）=ln（1+x）-的函數值符號判斷.而f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x的極大值點與有什么關系？明顯不似第一問那樣簡單.這里，簡單的形式變換不能解決問題.

回到給出的問題：x=0是f（x）的極大值點，根據極大值點的概念，在x=0的左側存在一個區間（-δ，0］（δ＞0），函數單調遞增（f′（x）≥0）；在x=0的右側存在一個區間［0，δ）（δ＞0），函數單調遞減（f′（x）≤0）.由于f′（x）=（1+令，則m′（x）=，注意到f′（0）=0，又對于很小的δ＞0，在（-δ，+δ）上1+2ax＞0，所以x∈（-δ，0）時，m′（x）≥0，即4a2x2+（6a2+7a）x+6a+1≤0，故6a+1≤0.

同理，由x∈（0，δ）時，m′（x）≤0得到6a+1≥0，因而

思路3：上述思路2雖然可以求解，但也是千轉百回.能不能再簡化求解？由第一問的求解過程，或者直接觀察關系式，有f（0）=0.這是一個顯然的條件，顯然在于關系式可以直接看出，顯然還在于第一問的求解一定會涉及.

若x=0是極大值點，且f（0）=0，則在x=0的左、右一定存在一個區間滿足f（x）＜0.

下面是否要對a分類討論呢？

從第一問的證明，若a=0，x=0顯然不是其極大值點.

a＞0時是否滿足題意？

觀察函數的結構，再由第一問結果可以發現，f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x＞（2+x）ln（1+x）-2x，x=0顯然不是其極大值點，不符合題意，只要考慮a＜0的情形.

充分利用試題的條件，直接給出的或者從關系式結構、數據等可以看出的，或者前面已經證明、解出的，都可以極大地優化問題求解過程.

啟示：刷百題不如解透一題.通過本題的求解，對于高考數學壓軸題，我們應該有更多的啟發與感悟.

（1）即使是壓軸題，也是以基礎知識、核心知識的考查為載體.本題考查函數的單調性、極值、極值點等概念，考查了導數中重要的關系，體現了導數在研究函數性質中的工具作用，都是中學數學的重要內容，如果對極大值點概念不清楚、求導運算不熟練，不能從數、形兩個角度去理解，就不可能順利求解.越是大型、敏感、重要的考試，考試內容越是中規中矩，不會超綱、越線，扎實基礎是數學學習永恒的核心.

（2）即使是壓軸題，通性通法肯定是可行的，重點在思維.問題的求解在通性通法，當然，通性通法的應用不可能都是課本上的直接應用水平，需要通過邏輯思維，剝去一些形式的外衣，對條件、待求、待證的形式、認識角度能進行轉換.觀察、聯想是基礎，轉化與化歸是重要的思考方向，理性的分析、選擇是數學學科培養目標之一，是科學育人的重要體現，作為壓軸題，思維份量占較大比重，從而實現高考“多想少算”的考查目的，從以上不同的解題思路與相應的運算量可以深有體會.

（3）注意題型結構.解答題大多是分步設問（形式），更重要的是分層設問（難度），螺旋遞進，其中，既有增加考查知識覆蓋面、體現人文關懷的考慮，也有步步登高、實現區分度與難度的目的.第一步門檻不是很高，要有信心爭取自己能力范圍內的分數，不能因為是壓軸題就談題色變.解題過程中充分注意第一步的解法、結論對后續求解的輔助、提示、啟發，第一問的結果往往是第二問的基礎，要站在前一步的臺階上繼續攀高而不是每一問都另起爐灶.還要關注，題意的理解往往不是一蹴而就，是一個漸進的過程，隨著第一步的求解，對問題的條件與待求會有更深、更全面的認識.本題中第一問對于第二問既啟示方法（對數與其他函數分離），又暗示結果，如x=0時，f（x）=0；a=0時，x=0不是極（大）值點等.解答題就是解答題，不能割裂前后之間的聯系.

（4）解題模式的積累與靈活應用.本題中出現的形如h（x）=f（x）lnx+g（x）的函數求導問題，平時的學習中肯定是遇到過的，這種形式與解法組合的“模塊”平時要注意積累，一旦識別出這種模式，求解就得心應手，畢竟在高考考場限定時間內不可能都創新，模式識別與應用就顯得尤為重要.再如本題中含有參數，分類討論也是最常見的模式，這個模式中不僅要有如何分類討論，還要有避免討論的策略，盡量完善形式與內涵.

（5）做給出的題，這對每一道題都是至關重要的.把握問題的共性是基礎，理解問題的個性是根本.忽視或者不能有效利用給出的題目的題型、結構、數據、待求與待證等都是解題的大忌.如本題中x=0是極大值點，第二問表面是極值，由于給出的函數的特點（f（0）=0），實際上還是符號問題，第二問與第一問形異質同，第二步求解的方法、思路得以轉變.理解題意，做給出的題是解題的根本.