一道高三模考題的解法探究

☉北方民族大學數學與信息科學學院 何陳程

☉湖北省宜昌市第十七中學 何金華

三角函數是高中數學函數部分的一個重要的組成部分，是高中數學必備的基礎知識，同時也是歷年高考的重點和熱點內容.教材中涉及三角函數的內容主要分為兩大塊：《必修4》中的“三角函數”與“三角恒等變換”這兩章，以及《必修5》中的“解三角形”這一章.雖說多數情況下，考查三角函數知識以基礎題和中檔題為主，學生失分不會太嚴重，但是我們也不可掉以輕心，避免“陰溝翻船”，這不，這次全市高三期末聯考數學試卷中，第14題出現了一道三角形中的三角函數問題，學生的得分情況只能用一個“慘”字來形容，于是在這里寫出來，探究這道題的解法，與大家共勉.

題目在△ABC中，已知sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，其中，若為定值，則實數λ=______.

思路分析：題設條件中給出了而且式子sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C中含有θ，這是一種暗示，暗示我們要根據tanθ的值求出sinθ，cosθ的值.因為sin（C-θ）展開后會出現θ的正弦、余弦值，題設中有是定值，那么，我們猜想：要么是將sinA·sinBsin（C-θ）=λsin2C展開后轉化成正切形式，要么是將轉化成正弦、余弦，總之，只要我們找出這兩個式子之間的內在聯系，此題離解出正確答案就不遠了，下面我們就一起來探討這道題的解法.

解法1：因為，所以cosθ=2sinθ，4sin2θ+sin2θ=1.又因為，所以，

點評：本解法中，將sinAsinB整體代入是關鍵，遵循了我們解決這類問題的常規思路，即將正切轉化為正弦、余弦來處理.

解法2：將已知等式sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C變形處理，可得sinAsinB（sinCcosθ-cosCsinθ）=λsinCsin（A+B），將代入，有sinAsinB·

點評：本解法中，將其中一個sinC用sin（A+B）替換，從而將正弦、余弦等式轉化構造成已知條件中的的形式是解題的關鍵.

解法3：將已知等式sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C變形處理，可得sinAsinB（sinCcosθ-cosCsinθ）=λsinCsin（A+B），將代入，有sinAsinB·

點評：與解法2類似，只是最后一步的處理方式不同而已，解法2是從化簡結果看，本解法則從對比已知條件中的正切等式整體形式出發.

解法4：由正弦定理知所以已知等式sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C可化為將由已知條件tanθ=求得的代入，有所以2absinC-abcosC=根據余弦定理，可得變形得

點評：在三角形的相關問題中，正弦定理和余弦定理是常用的兩個基本定理，在本解法的整個轉化過程中，這兩個定理的作用體現得淋漓盡致.

變式訓練：在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a，b，c，若且a2+b2+c2=1，則△ABC的面積為______.

思路簡析：因為要求△ABC的面積，而面積的公式中是含有正弦值的，所以可先將已知條件中等式處理為然后結合余弦定理，有即=2，再由a2+b2+c2=1即可求得△ABC的面積為

在三角恒等式的處理上，經常會運用三角函數中的一些基本公式、基本定理，平時教學時，我們要讓學生熟記這些基本公式、基本定理，這是我們解題的根本所在，要追求一題多解，多指導學生從不同的角度去思考問題，以拓寬學生的數學思維空間.