一堂異面直線距離的代數求法探究課

☉江蘇省儀征中學 張順軍

求異面直線的距離一直是立體幾何教學的一個難點.在以往的教學中，往往只注重立體幾何本身的方法，而忽視了代數在解決此類問題中的作用，其結果必然導致學生思維狹窄，思路單一，無法把握“異面直線的距離”本質.為了解決這個問題，筆者上了一堂“異面直線距離的代數求法”探究課，摘錄如下，供大家參考.

一、給出問題——探究幾何通法

教師先提問學生：一個正方體的12條棱中有多少對異面直線，每對異面直線的距離是多少？然后給出下面例題，要求學生探究解法.

例1如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求對角線A1B與B1D1兩異面直線的距離.

本例極其普通，數見不鮮.從立體幾何方法的角度去探究并不難.筆者要求學生分組探討，5分鐘后，他們找到了兩種基本的解法.

思路1（平面射影距離法）：設O、O1分別為面ABCD和面A1B1C1D1的中心，則A1B與B1D1兩異面直線的距離等于B1D1與面A1OB的距離，也等于O1到面A1OB的距離，經過推證O1到面A1OB的距離為Rt△OA1O1的斜邊上的高，然后求這條高.

思路2（利用轉化思想）：將兩條異面直線的距離轉化為兩個平面之間的距離.因為A1B位于平面A1BD內，而B1D1位于平面CB1D1內，而這兩個平面都與對角線AC1垂直，且把這條對角線三等分，不難計算，因而平面A1BD與平面CB1D1的距離為，這個距離也就是對角線A1B與B1D1兩異面直線間的距離

圖1

二、變換圖式——探究代數新法

數學所研究的往往是最本質的東西.筆者把例1的圖形簡化，便得到了下面的例2.

例2如圖2所示，把一張由正方形ABCD和正方形ABEF組成的紙片折疊成一個直二面角，AB=1，你能求異面直線AC和BF的距離嗎？

學生眼尖，一眼就看出這張圖與圖1的關系，于是建議補形，回到例1中不就解決了嗎？筆者說，好馬不吃回頭草，能否想想用別的方法呢？方法總比困難多.學生思維頃刻陷入了困境，教室內鴉雀無聲.于是，筆者出示例3：

例3如圖3所示，接例2，P在線段BF上，PH⊥AC，垂足為這時線段PH的長能用x表示嗎？能求出線段PH的長的最小值嗎？

圖2

圖3

由于給學生鋪設了臺階，學生回答此例并不困難，他們先過P作PG⊥AB，垂足為G，并連接GH，并證明了△PGB，△GHA，△PGH都是直角三角形.于是在Rt△PGH中很快得出如下結論2），故

再利用二次函數的最值方法來求這個立體幾何最值問題就不難了，他們很快得到，當時，PH的最小值為的最終結果.

筆者追問：為什么例2的計算結果與例1相同.難道例2計算的就是兩條異面直線間的距離嗎？學生會心一笑，他們參照兩條異面直線距離的定義，參透了其中的奧秘和問題的本質，同時也感受到了幾何問題代數化的神奇.

三、再變圖式——辨別是非真假

學生解完了一類題，往往會造成一定的思維定式.為了及時消除這種思維定式，教師又提出了下列問題：

圖4

例4如圖4所示，接例3，M是線段AC上的動點，N是線段BF上的動點，且滿足CM=，這時，你能用字母a來表示線段MN的長嗎？如何求出它的最小值？這個最小值就是異面直線AC、BF之間的距離嗎？

對于本例，筆者要求學生獨立完成，不可交流.巡視時筆者發現學生有多種解法，由于受篇幅所限，這里只展示一種既簡潔又明了的解法：

把原圖視為由矩形CDEF（CD=1，DA=AF=CB=BE=1）沿AB把它折成直二面角（圖5（1）），設MN交AB于P，根據題設有，折成直二面角后的平面角是∠MPN（圖5（2））.

圖5

那么，最小值就是異面直線AC、BF之間的距離嗎？有些學生順口而出：是的，但轉念一想不對，上面兩個例子算出的結果是，而這里是，怎么會出現兩個數值呢？于是他們恍然大悟，本例中的兩點M、N雖然也是動點，但他們互相制約，因而不是異面直線間的距離，那究竟該如何證明它不是異面直線的公垂線呢？這時非要動用反證法不可了.

接下來筆者引導學生用反證法加以證明，并提醒學生解題時一定要“具體問題具體分析”.

四、學生改題——盡顯個人才華

教師：剛才我們從例1出發引出了一串問題，探究了兩條異面直線距離的解法，那么，你能圍繞“兩條異面直線距離”這個主題，把例4改編成新的題目嗎？允許互相探討.

數分鐘后，請兩位學生上講臺交流.

生1：把條件“點M是線段AC上的動點”與“CM=BN=a（0＜”分別改成“AM=CM”與”（如圖6）.

圖6

要求的結論不變，還是用x的表達式f（x）表示線段MN的長度，并求出它的最小值，并考察這個最小值是否是異面直線AC、BF之間的距離.

解：（1）在平面ABCD內作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，由題意不難得出MP⊥平面ABEF，所以MP⊥PN.因為M是AC的中點，所以

在△PBN中，∠PBN=45°，由余弦定理得：

容易推出，MN與AC并不垂直，因而這個最小值不是異面直線AC、BF之間的距離.

我把要求解答的問題變為“用x，y表示線段MN的長度，并求其最小值，判斷這個最小值否是異面直線AC、BF之間的距離.”

解：（1）在平面ABCD內作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，不難得出MP⊥平面ABEF，故有MP⊥PN.由于CM=x，所以，所以

在△PBN中，∠PBN=45°，由余弦定理得：

由于M，N相互獨立，且M∈AC，N∈BF，所以MN的這個最小值就是異面直線AC、BF之間的距離.

教師點評：兩位同學改題都很成功，解答也十分完整.兩種不同改法，得到兩個不同的結論，讓大家再次看清了兩條異面直線距離的“真面目”，同時也再次感受到了代數知識與幾何知識“聯合作戰”的威力，請大家為這兩位同學的精彩發言鼓掌（學生鼓掌雷動）.

至此，學生對兩條異面直線距離的代數求法有了一個清晰的認識，同時也對“異面直線的距離”這個概念有了更深層次的理解.