漫談解析幾何問題的解題策略

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 吳艷煒

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 繆澤娟

說到解析幾何，給人的第一印象就是運算，煩瑣的運算總是讓人崩潰，因害怕運算而害怕解析幾何的學生不在少數.筆者曾經做過一個試驗，給學生出了兩道題：一道是三角函數恒等變換求值的題目，另一道是解析幾何中的定值證明題，要求學生擇其一加以完成，結果全班學生不約而同地選擇了三角函數恒等變換求值的題目，這足以看出學生是多么害怕解析幾何中的運算.學生害怕的主要原因是什么呢？筆者又進行了調查.調查結果顯示，他們主要害怕找不到解決解析幾何問題合理的方法，因為方法不恰當導致計算無休止，導致“無功而返”.由此看來，教師教給學生知識的同時傳授方法更重要，尤其是解析幾何.如何讓學生擺脫害怕解析幾何的心理呢？筆者認為，教師應該多多傳授解析幾何的解題策略，讓他們感受到解析幾何的運算并非“猙獰恐怖”，而是有章可循的，方法得當，堅持運算，也可輕松達到成功.

一、教會學生立足定義，返璞歸真

何為解析幾何，就是代數化的幾何.解題時，既要重視圖形幾何特征的挖掘，又要善于運用圓錐曲線的定義，以圖形（數形結合）為指導，以定義應用為根本.這樣既可簡化運算，又可加深對圓錐曲線定義的理解.因此，教師在解析幾何的習題教學中要不斷滲透圖形意識，不斷加強定義意識，讓學生感受到定義法的優越性.

例1如圖1所示，F1、F2分別是橢圓b＞0）的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1.

圖1

（1）若|PF1|=2+，|PF2|=2-，求橢圓的標準方程；

（2）若|PF1|=|PQ|，求橢圓的離心率e.

分析：解題思想：從橢圓定義出發求它的標準方程和離心率；解題方法：根據橢圓定義，構造三角形，進而直接計算a與c的值，或將其轉化為含有字母a與c的齊次方程，從而算出離心率.

解：（1）根據橢圓的定義，有，故a=2.

設橢圓的半焦距為c，則PF2⊥PF1?△PF1F2是直角三角形，于是，即，所以b=.故橢圓的標準方程為

（2）如圖1所示，連接QF1，根據橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，

由|PF1|=|PQ|，有|QF1|=4a-2|PF1|.

點評：一切數學性質或定理都源于數學定義，圓錐曲線也不例外.橢圓的定義其實就是一個恒等式，體現出數與形的關系，抓住這個定義，把定量計算與定性分析有機地結合在一起，能夠幫助我們看清解析幾何問題的本質，從而找到最快捷，最切實可行的方法.

二、教會學生利用圖形，巧妙轉化

如何實現幾何條件代數化，關鍵在于充分利用圖形.解決解析幾何問題的一般思路或步驟是：先將圖形中的各元素代數化，再通過代數運算得出結論，最后將結論“返還”解析幾何.從這個過程中不難發現，解解析幾何問題主要有兩個任務：一是如何將幾何問題代數化（思維能力），二是如何計算代數問題（運算能力），前者是基礎，后者是保障，二者缺一不可.那么問題來了，如何將幾何問題轉化為代數問題？這就是我們教學的重點之一.我們應該引導學生主動地去理解幾何對象的本質特征，教會他們善于將幾何條件、幾何性質用代數的形式表達出來，并能恰當選擇代數化的形式，要做到這一點，我們必須要引導學生在審題上下功夫.

例2假設橢圓滿足橢圓上的三個點與橢圓的中心剛好構成正方形，那么這個橢圓的離心率是（ ）.

分析：解題思想：利用圖形，數形結合；

解題方法：由圖形（橢圓與正方形）的對稱性特征，知正方形的對角線長就是橢圓的長半軸，并可以計算出如圖2所示的正方形在第一象限內的頂點的坐標（用字母a表示），將其代入橢圓的標準方程，就可得到關于a，b的關系式，進而轉化為關于a，c的關系式，從而求出離心率.這里用到了正方形對角線的性質：相等，互相垂直且平分.

圖2

解：由題意知，點在橢圓上，將這個點代入橢圓方程，得，故選D.

點評：從本題的分析與解答看出，對圖形特征分析的重要性.解答本題必須明確兩點：第一是正方形的三個點在橢圓上的位置，有一個頂點必須是橢圓長軸的端點，若是短軸的端點就不可能構成正方形；第二是在橢圓上與橢圓的對稱軸相交的弦的中垂線，一定不經過橢圓的對稱中心，即

三、教會學生設而不求，消參歸一

由于解析幾何的運算比較繁雜冗長，學生往往會產生懼怕心理.在教學中，不難發現，提問學生如何解答這類問題時，他們往往能說會道，且句句在理，可一旦叫他們加以運算時，他們則磨磨唧唧，倒騰了半天也得不出結果.究其原因就是因方法不當而半途而廢.所以在教學中，教師在課堂上不僅要讓學生實戰演習，還要培養學生運算的求簡意識，以提高他們數學運算的核心素養.尤其是要教會他們“設而不求”和整體代換的解題技巧，讓他們學會化難為易，化繁為簡的技巧，從而走出煩瑣計算的陰影，樹立成功解題的信心.

例3如圖3所示，已知橢圓，經過坐標原點O的直線與橢圓交于P，A兩點，點P位于第一象限，過P作x軸的垂線，C為垂足，連接AC并延長與橢圓交于點B，設k是直線PA的斜率.求證：對于任意k＞0，都有PA⊥PB.

圖3

分析：解題思想：用“設而不求”思想討論與橢圓有關的直線的位置關系；解題方法：設直線PA方程，與橢圓方程聯立，求出點P，A，C的坐標，先求出直線AB的方程，再求得PB的斜率，從而得到kPA×kPB=-1.或利用點差法直接證明kPA×kPB=-1，從而證明PA⊥PB.

證法1：將直線PA的方程y=kx代入，解得，則P（μ，μk），A（-μ，-μk），于是C（μ，0），故直線AB的斜率為，其方程為，代入橢圓方程得（k2+2）x2-2μk2x-μ2（3k2+2）=0，解得或x=-μ（舍去），因此于是直線PB的斜率，因此k1k=-1，故PA⊥PB.

證法2：設P（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），B（x2，y2），則A（-x1，-y1），C（x1，0），且兩式相減得，即，即故.所以所以PA⊥PB.

點評：本題的解答告訴我們：增強解題的目標意識，尋求題中各元素間的內在聯系，挖掘內在的幾何意義，通過整體代換，實現設而不求，簡潔明了、準確解題，這是解答解析幾何綜合題的總策略、總原則.比較本題給出的兩種解法不難發現，證法1是常規方法，思維比較自然，但計算量大；而證法2，則根據P，B兩點在橢圓上，將其坐標代入橢圓方程，再利用點差法，很順暢地求出了，再利用，得到結論，充分體現出設而不求“點差法”的優越性.

本文最后值得一提的是，方法與策略雖好，但只是理論上的東西，要把這些理論轉化為學生的能力，教師必須在教學中親力親為，必須起到引領示范作用，同時要在課堂上舍得花時間讓學生練習，只有這樣才能提高學生的解析幾何運算能力.