探究阿波羅尼斯圓的數學文化價值*

☉福建省泉州石獅市華僑中學 馮聯英

目前，數學文化越來越被重視，2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》中就強調要把數學文化教育貫穿整個高中數學課程并融入教學中，這突出了數學的文化價值.《普通高中數學課程標準》（2017年版）把數學文化列入高中課程，并提出在數學教學中要注重數學文化的滲透.近年來，體現數學文化的內涵與價值的高考題也頻頻出現，從而大大提升了數學文化的價值.基于這種背景下，嘗試探究阿波羅尼斯圓的文化價值.

一、知識生成中探究阿波羅尼斯圓的數學文化價值

在數學知識形成的過程中，包含了步驟、方法、技巧、思想及數學文化等諸多內容.而課堂教學不僅要讓學生知其然，更要讓學生知其所以然.因此，教師在教學時應注重知識的發現與形成過程，并將數學文化滲透到各個數學知識的生成中，讓學生對知識的認識和理解進一步深化，不斷培養學生探究問題的能力.例如，在引出阿波羅尼斯圓時，可以作如下探究：

1.引出阿波羅尼斯圓

題源：（人教A版必修2第124頁B組習題3）已知點P（x，y）與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求點P的軌跡，并求出它的方程.

分析：這是一道以阿波羅尼斯圓為背景的題，已知的是幾何關系，顯然只需將這個幾何關系轉化為代數關系，化簡即可.

變式1：點P（x，y）與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為1呢？

變式2：點P（x，y）與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為λ呢？

變式3：設O、A是平面內的兩個定點，平面內的動點P滿足呢？

分析：設兩定點之間的距離為2a，距離之比為λ（λ＞0，λ≠1），以兩定點所在直線為x軸，中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，可得方程為其軌跡是以為圓心，為半徑的圓.此圓即為阿波羅尼斯圓.

這種用循序漸進、從特殊到一般的探究方式引出阿波羅尼斯圓，自然流暢，學生更容易接受.在建構阿波羅尼斯圓的同時，感受數學文化的魅力；在拓展和延伸阿波羅尼斯圓問題時滲透數學文化，體驗數學文化的價值.

2.介紹阿波羅尼斯

阿波羅尼斯，出生于亞細亞西北部的城市柏加，他青年時代曾客居亞歷山大城，追隨歐幾里得的學生學習數學，是亞歷山大時期的數學三巨匠之一，是繼歐幾里得、阿基米德之后的著名數學家.他對圓錐曲線作了系統而深刻的研究，《圓錐曲線》是他的代表作，他的主要研究成果都集中在這部代表作里，他的研究成果之一就是阿波羅尼斯圓.

通過探究與阿波羅尼斯圓相關的典型題及其變式，將數學文化融入數學知識生成中的同時，穿插介紹阿波羅尼斯及其研究成果，使枯燥無味的數學變得富有趣味和探索意義.

3.深化阿波羅尼斯圓

探究阿波羅尼斯圓這種經典的數學文化題，不僅讓學生的知識體系得到進一步完善，探究經驗得到進一步積累，同時也為今后的學習與發展奠定了基礎.如阿波羅尼斯圓條件中“到兩個定點的距離之比”改為“之積”后的點的軌跡是什么；同樣，把“距離之比”分別改為“之和”、“之差”呢；或把“兩定點”中的其中之一改為“定直線”，則動點軌跡又是什么；或把“兩定點”中的其中之一改為“定直線”，則距離之和為定值的動點軌跡又是什么等.這樣，利用所學知識進行探究，將以阿波羅尼斯圓為背景的問題進一步深化和升華，把數學文化滲透到數學教學中，變換思維視角，領悟數學思想，體驗探究樂趣，激發學習興趣，培養精神品質.

二、高考中探究阿波羅尼斯圓的文化價值

阿波羅尼斯圓是幾何中的經典問題，它有著豐富的學術價值和教育價值，是一個重要的題源，在高考中頻頻出現.如2005年高考江蘇卷19，2006年高考四川卷理6，2008年高考江蘇卷13，2010年高考江蘇卷18，2011年高考四川卷理21，2011年高考山東卷文22，2013年高考江蘇卷17，2015年高考湖北卷理14，如果掌握阿波羅尼斯圓的知識背景，那么在解題時能很快找到求解的方向，降低求解問題的難度.

例1（2008年高考江蘇卷13）若AB=2，AC=則S△ABC的最大值為______.

解法1：利用余弦定理和函數的最值問題來處理.

該法從余弦定理入手，雖然入手低，但計算量大，得分率不高.

解法2：建立平面直角坐標系處理最值問題.

以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0）.

解法3：利用阿波羅尼斯圓.

顯然這是阿波羅尼斯圓，以AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設A（-1，0），B（1，0），動點C（x，y），由BC得，化簡得（x-3）2+y2=8.因此點C的軌跡是以D（3，0）為圓心為半徑的圓，所以點C到AB的最大距離為半徑，故S△ABC的最大值為

本題雖然用解法1，2能解決，但用阿波羅尼斯圓去解，運算量小得多，該題體現了高考命題多思少算的指導思想，體現了課程中滲透數學文化的基本理念和考試大綱對數學文化的考查要求，也體現了數學文化在選拔性考試中獨特的點石成金的作用.

例2（2013年高考江蘇卷17）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），設圓C的半徑為1，圓心在直線l：y=2x-4上.（1）略；（2）若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

分析：這也是一道與阿波羅尼斯圓相關的高考題，由|MA|=2|MO|可知，點M的軌跡是阿氏圓D，又點M在動圓C上運動，所以原問題轉化為圓C與圓D有公共點，即兩圓相交或相切.

所以點M在以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓上.由題意知，點M（x，y）在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則2-1≤|CD|≤2+1，即，整理得-8≤5a2-12a≤0，得

探究點M的軌跡是該題的難點，而點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，突破了這個難點，將可轉化為求兩圓的位置關系問題.解決這類問題，要抓住阿波羅尼斯圓的概念本質，特別當點的軌跡比較隱蔽時，常常要把問題轉化為點與點的距離、點到線的距離，或直線和圓的位置關系、圓和圓的位置關系來處理.學生在這樣的探究過程中，經歷了阿波羅尼斯圓的發現、探索特征規律，形成研究方法，積累解題經驗，從而提升學生的核心素養，體驗數學文化的價值.

數學文化是豐富多彩的，它是人類文化寶庫中的奇葩.它讓學生體會到數學與自然及人類社會的密切聯系，體會到數學的意義，數學文化的價值，不僅帶給學生數學文化知識，而且也帶給學生數學思想和數學方法，是文學修養和科學理念，是審美情操和理性思維，這些將會讓學生受益終身.因此，在數學活動中，要充分研究教學資源，挖掘數學文化價值.