基于基本概念的高中數學核心素養的教學研究

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學 沈亞平

自從高中數學六大核心素養被提出，“數學核心素養”就日益被教育界重視和關注，其中許多的理論知識和研究成果也層出不窮.六大核心素養之首是“數學抽象”，這也是教育界的專家學者所重點研究和探索的對象.

我國著名教授史寧中曾經說過：“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想就是‘數學抽象’.”大家都能夠熟知，數學概念在數學學習中是基礎，是一切數學思維存在和產生的基本形式.從某種意義上來說，數學概念的形成過程其實也就是數學思維產生的過程，這也就是數學素養的養成過程.中國科學院院士李邦河曾經這樣說過：“數學的根本在于概念，而不在于技巧，一定程度上，數學技巧也是數學概念的一部分.”教師在教學過程中，怎樣巧妙安排和設計教學問題，以貼近生活的具體事實為例，抽取一類有著共同屬性或者本質屬性的數學現象，從中發現其規律性，形成數學概念.這就要求教師自己有著對“數學抽象”素養的理解力，能夠在自己的課堂上巧妙運用數學原理來解決現實生活中的問題，同樣也可以運用生活中的同一類型的現象引導學生去探索其數學本質，從而提升數學整體素養.據此，在高中數學教學過程中，切實有效地提升學生“數學抽象”素養，是每一個數學教師及教育工作人員應該正視的嚴肅話題.本文就結合教學實踐的兩個具體案例來加以淺析.

案例1：

教師：回憶之前所學的函數內容，哪些函數圖像是軸對稱的，又有哪些函數圖像是中心對稱的？

學生1：在三角函數中，y=sinx的圖像是中心對稱的，y=cosx的圖像是軸對稱的.

學生2：反比例函數的圖像是中心對稱的，標準方程為y=ax2+c的二次函數的圖像是軸對稱的.

教師：很好，那請兩個學生上來畫出軸對稱的二次函數的圖像及中心對稱的反比例函數的圖像.

學生：作出的圖像如圖1、圖2所示.

圖1 軸對稱

圖2 中心對稱

教師：同學們現在以小組形式簡單討論一下，如何應用表達式來表達出函數的對稱性.

學生：我們小組經反復推斷，通過特殊值看出f（x）=x2，f（-x）=f（x），而對于反比例函數來說f（-x）=-f（x）.

教師：有哪個小組可以證明一下這個結論.

學生：f（-1）=f（1）；f（-2）=f（2）；f（-3）=f（3），歸納發現，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），所以f（-x）=f（x）.

教師：同學們分析得很不錯，我們把圖像關于y軸對稱的函數稱為偶函數.定義為：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數y=f（x）是偶函數.請根據偶函數的定義推斷出奇函數的定義.

本節課的教學設計與學生思維非常貼切，從形到數很自然地過渡，學生通過課堂學習數學概念所形成的數學思維也經受了簡單的洗禮，解決數學問題的能力初步產生，課堂效果還行，達到了基本教學目標.不過，在對偶函數加以定義時，教師直來直去，學生也沒有深入地思考，并沒有真正理解和發現生活中有趣的偶函數現象，教師也太于積極主動，顯得很急躁，將定義灌輸到學生大腦中，這樣就使學生放棄了積極主動提問的可能性和深入思索生活中有趣的偶函數現象，無形中喪失了數學學習的興趣.鑒于此，教師應該讓學生主動去歸納、抽象偶函數的概念，引導學生定義呼之欲出的偶函數定義，從而無形中加深數學體驗和提升數學抽象能力.

為了更好地提升學生的數學思維和數學抽象能力，體驗學習數學的無窮樂趣，從有趣的生活現象來探索數學本質，因此筆者對這節課重新加以設計，讓學生加深了對基本知識的理解，還獲得了新的能力，使概念教學中的數學抽象更深入學生心中.筆者帶著問題，查閱了大量的資料，并進行了有效的吸收歸納，反復思考實踐，下面就是反思后的課堂實踐.

案例2：

教師：對稱滲透在生活中的方方面面，哪位同學可以舉例說明一下？

學生：蝴蝶、中國結、電視、窗戶.

教師：這些都是軸對稱的圖形，同學們知道有哪些是中心對稱的嗎？

學生：思考后，足球、光碟、乒乓球、方向盤.

教師：可以看出生活中中心對稱的圖形基本上都是圓和球類的，那么在數學函數中，也有很多中心對稱及軸對稱的抽象圖形.還要請同學們舉例，哪些函數是軸對稱的，哪些是關于原點對稱的？

學生：（畫圖與案例1相同）

教師：假設f（x）=x2，x∈R，設點A（x0，y0）是f（x）上一點，點A關于y軸對稱的坐標是什么，這兩個點的坐標又有什么特點呢？

學生：對稱點為A′（-x0，y0），兩個點的縱坐標相同都為y0.

教師：那么如何用表達式表示出來呢

學生：y0=f（x0），對于點A′，y0=f（-x0），所以f（x0）=f（-x0）

教師：那么能否換個定義域再看圖像的對稱性？結合數軸，同學們討論下定義域該滿足怎樣的條件？

學生：定義域也一定要關于原點對稱才行，要不然就對應不上了.

教師：如果對于函數y=f（x），x∈R，滿足f（-1）=f（1），可以說函數關于y軸對稱嗎？請舉例說明.

學生：不可以，如圖3所示，此函數f（-1）=f（1）=1，但不是軸對稱的函數.我覺得函數圖像上應該每一個點都符合f（x0）=f（-x0）才行.

教師：若你們已知f（x）=x2，x∈R是偶函數，請結合函數圖像來總結和補充出偶函數的定義.

學生：對于定義域內任意x0，都 有f（x0）=f（-x0），那 么y=f（x）是偶函數.

圖3

教師：總結得非常好，但是x0是一個常量，要變成變量來表示.因此設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數y=f（x）是偶函數.

案例2中，共有兩點進行了優化，其中：

1.對數學抽象素養的培養要重視“數學過程”教學

有效的概念教學并不是讓學生去記去模仿，而是要設計問題，使學生手腦口并用，在數學學習過程中，去歸納、去猜想、去研究和發現新的問題，通過概括和反思，不斷地修正自己的答案，盡可能地接近真理，不斷地在活動中，訓練學生的數學思維能力，形成用數學概念來解決數學問題的能力.學習函數奇偶性概念最容易讓學生苦惱的是常量如何轉化為變量的.在案例2中，筆者引導學生自己動手操作，自主探索，相互合作，深入思考留存在腦海中的數學問題，并引導學生從圖像出發，借助函數圖像來解決函數問題，把握函數定義中的“任意”，這樣學生就須經歷從數到形，又經歷從形到數的過程，并最終得出相對簡潔的數學表達式，在此過程中，學生的感知能力、概括能力、應用能力無形中得到了提高，而知識的變遷、誤區的矯正、歸納總結能力也得以強化，逐漸加深了對“數學抽象”的理解，學生的數學抽象能力也在一步步地提升，并在逐層探究中加以充實，這都與“數學過程”是密不可分的.因此，對數學抽象素養的培養要充分重視“數學過程”教學，只有在數學學習之后的探究才是高質量的、有效的數學抽象探究.

2.對數學抽象素養的培養要不斷提升學生的“概括能力”

數學抽象就是從事物的物理表象著手，最終得出研究實質的過程，從數量之間的關系、圖形之間的關系得出數學概念之間的關系，從事物的具體表象中抽象規律或者結構，并且應用數學符號或者是數學術語來表達.數學的總結概述輕松地展現了筆者思維的快慢、深淺及靈活程度，而這些也正和學生數學抽象素養培養提高的要求是一致的，所以說想要提升學生的概括能力可以從提升學生的數學抽象素養著手.學生的數學概括能力是否提高能夠從側面反映出研究問題是否有效果.案例2和案例1最為不同的地方是學生按照經驗得出偶函數的定義，這就是將數學概念進行了抽象化.數學概念的抽象化處理，有助于學生更深入地了解知識點，也有助于學生熟悉概念、解題方式及知識體系，對事物的數學實質有了更為深刻的了解.