建構互動、留白、開放的課堂教學的思考

☉甘肅省民樂縣職教中心學校 錢 沛

怎樣解決高中數學教學中的“滿堂灌”、“題海戰”是值得所有高中數學教師認真思考、解決的問題.認真研究課標、研究教材、研究學生是解決這一問題的基礎，教師在教學的所有環節中都應抓住機會學習和思考，本著為學生思維發展而教學的宗旨，在學生的“最近發展區”進行教學的思考、設計和組織，使學生能夠在教師精心設計的互動、留白、開放的課堂教學中獲得長足的進步.

一、共建互動

“教”與“學”應該在師生交往、共同發展的互動過程中進行，師生之間、生生之間的充分互動、溝通、交流必須在尊重學生主體地位的基礎上進行.師生之間、生生之間的互動所產生的思維碰撞和智慧火花正是其思維能力不斷發展的具體體現，這一完善學生數學認知的重要過程對于保持學生的學習興趣、激發學生的學習自覺性有著巨大的影響.這一過程的實現需要教師能夠設計出有價值的問題，需要課堂活動的有效互動來支撐.

有效互動必須建立在教師能夠設計出有價值的問題的這一基礎上，這里所說的有價值指的是教師能夠設計出符合學生普遍認知規律并揭示數學本質的問題，與此同時還應考慮學生的認知基礎與習慣.用問題引領學生在概念形成階段落實概念本質特征的理解與領悟.值得教師關注的是，這一環節上的問題設計一定要有層次感，合理分解過于抽象、概括的問題并引導學生在具體到抽象的研究中對問題展開分析，使學生能夠在已有的認知基礎上加深對新知識、新方法的理解與建構.比如，筆者在“多面體（一）”的教學中就采取“反復變式”、“層層遞進”的方式對問題進行了精心設計.教材中有這樣一道例題：過正方體三頂點的平面和其表面的交線圍成正三角形.筆者首先從這道例題入手引導學生嘗試改變其中一點，保持跟正方體表面的交線仍圍成三角形，以及移動其中一點但與其表面的交線圍成矩形的情況，使學生在充分感受正方體截面這一概念中獲得多面體的截面的定義，并由此深入探索多面體的截面特點，將有關公理的復習和應用進行有意義的滲透并引導學生對相對復雜的正方體的截面情況展開分析和研究.

作為教學活動的組織者和引導者，教師在和學生有效互動的過程中應善于激發學生的認知沖突，充分利用學生的認知沖突并引導學生在小組合作和交流中相互取長補短，給予學生一定的空間并善于運用延遲判斷以促進學生更好地表達自己的見解，引導學生學會傾聽并能在問題的思考中做到專注而細致，從而不斷激勵學生并因此培養學生的學習自信.另外，有效的課前預習和先練后講也能使學生在課堂上與教師形成更加有效的互動.比如，教師在講解無窮等比數列各項和這一概念之后可以設計以下問題：這個和是精確值嗎？引導學生在討論與思辨中對概念的本質形成比較深刻的理解.

二、設計留白

為學生在課堂上騰出更多的思考空間就是我們通常所說的留白，這需要教師在具體教學中克服講授過密、過細的習慣.學而不思則罔，給予學生足夠的空間并激發其思考是教師一定要做到的.筆者在教學實踐中一般會運用教材的開發來幫助學生進行更加深層次的思考，或者從教學時空上引導學生體驗研究的基本方法和過程，并將學生多姿多彩的思維過程充分展現出來以促成其思維深度的達成.

為學生設計課堂留白首先要做到的是課本材料的選擇，一般來講，教師此時需要將學生較為熟悉的概念、命題、常見問題提出來，并引導學生以此為出發點進行研究，使學生能夠在研究中列舉出研究對象的屬性及問題的結論，接著應引導學生對其屬性與結論進行思考并進行條件或目標的適當改變，啟發學生提出新的問題并進行選擇和解決，最終令學生獲得更加深入的思考和領悟.其基本流程一般如下圖所示.

問題的提出、分析、解決在很多情況下都需要一些最基本的數學觀念來支撐，這其中也離不開一些基本思想方法的指導.比如，逆向思考、數形結合及模型聯想等都是這一過程中不可或缺的.例如，筆者在“圓的切線與切點弦方程”的教學中，首先引導學生對課本例題進行了觀察：過圓C：x2+y2=r2上的點M（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，并引導學生從其結論聯想到“向量的數量積”，使學生能夠著眼于數形關系的本質并將其貫穿于問題的解決，使學生充分感受到向量法的奇妙和簡潔.事實上，教師在課堂上若不能給予學生足夠的思考空間，學生的發現、領悟與感受都可能較為淡薄和缺憾.而且，推廣與逆向思考策略在問題提出的過程中也得到了多次應用.

三、開放優化

提及學生創新能力的培養，大多數教師都會想到開放題的設計與訓練.筆者在教學實踐中也經常會把雙基訓練的封閉題改編成開放題并以此來幫助學生獲得能力的提升.

設計條件開放題能夠幫助學生更好地領悟、掌握雙基.概念、公式、定理在開放題的設計與教學中得以串聯并因此形成完整的知識結構.比如，筆者在“探究三角形中的等差、等比數列問題”的教學中設計了下面一道題：三角形的三邊a，b，c成等差數列（等比數列），則角B的取值范圍如何？引導學生在練習此題的基礎上改變題中條件并進行新的思考，使學生充分感受處理邊角不等關系的方法及解決方法的嚴謹性.

設計結論開放題能夠幫助學生不斷增強探究意識.比如，在基本不等式、冪函數的圖像與性質的教學中，教師首先可以引導學生進行以下問題的研究：已知a，b∈R+，且a+b=1，大家能寫出多少個有關不等式的正確結論呢？這種雙基訓練起點不高的開放題能夠使學生更加輕松地進入數學活動中，而且，終點模糊的題設也為學生創設了更多創新的機會.

設計策略開放題能夠幫助學生更好地在解題中發揮主動性與積極性，創新意識和實踐能力也會因此得到鍛煉和發展.比如，在三角函數最值問題的教學中，教師首先可以給出例題：在半徑是R、圓心角是定值α∈的扇形OMN中截取一個內接矩形，大家比比看誰截取的面積最大？

學生在截取扇形的內接矩形的實踐中進行選擇、比較，并借助幾何畫板進行觀察、研究截取圖形的面積，充分體驗到實驗學習和發現學習的樂趣并對研究對象形成了更好的認知.

設計綜合開放題能幫助學生提升靈活應用的能力.已知數學對象被重新描述能令學生的思維獲得不同視角下的激發與碰撞，教師在教學實踐中應積極引導學生利用新的工具.比如，幾何模型的構建能使抽象問題具體化并令學生的思維變得形象，能使學生更好地把握問題的本質并對數學規律建立不同的思考，能使學生的思維在數學發現的基本思考之上變得更加靈活.比如，在應用“邊角互化”證明有關三角形恒等式的問題中，教師可以創設情境并以此幫助學生在應用幾何性質的分析中發現、證明恒等式.問題設計如下：在△ABC中，已知CD⊥AB，垂足為D，利用線段長度的關系可得△ABC中的恒等式bcosA+acosB=c，大家是否能從圖形面積的角度寫出一個關于△ABC的三角恒等式呢？若能，請進行證明.

“互動、留白、開放”的教學實踐在高中數學教學中的價值是有目共睹的，但問題的設計需要廣大數學教師繼續思考和探索.比如，怎樣尋找適合學生的問題切入口，怎樣用清晰簡練的語言表達問題等方面均需要教師的不斷思考.解決開放題所需要的充裕時間與有限的課堂教學時間是相互矛盾的，因此，教師一定要把握好開放題的難度以保障課堂教學的順利進行.另外，涉及課程開發、課堂教學、教學評價等領域的這一綜合性的問題也需要教師在思考與研究中不斷實踐和審視.