下放式海洋微結構湍流剖面儀運動學與動力學分析*

宋大雷,王浩杰,周麗芹,臧勝波

(中國海洋大學工程學院，山東 青島 266100)

海洋湍流剪切數據是進行海洋微結構湍流研究的重要原始資料，對建立海洋物理模型進而研究海洋宏觀運動有重要意義[1]。通過剪切數據計算得到的湍流動能耗散率，是湍流的一個重要特征參數。

Osborn團隊于1970年代首先研制出搭載翼型剪切流傳感器的垂直微結構湍流剖面儀，并成功進行測量海洋微結構湍流[2]。垂直微結構湍流剖面儀(以下簡稱湍流儀)是目前獲取海水剪切流數據最普遍和最有效的平臺之一，已受到海洋領域科研人員的普遍認可。

加拿大Rockland公司研制的VMP系列和德國ISW Wasser公司與SST公司合作研發MSS系列湍流儀是當前最具代表性的，得到國際市場的廣泛認可。在國內，天津大學率先開展對湍流儀的研制，目前已研制成功第三代樣機。本文以實驗室自主研發的下放式湍流儀為研究對象，對其相關性能進行分析。

湍流儀下潛過程中，剪切傳感器通過探針以一定的頻率測量微結構湍流水平方向的脈動信號。根據下潛速度和攻角，計算微結構湍流脈動在時域、頻域和空間波數域的強度，進而計算湍流動能耗散率[3]。湍流脈動頻率和下潛速度成正比，而剪切傳感器的固有頻率決定脈動頻率的測量上限[4]。剪切信號在頻域和波數域上的分析皆基于湍流的脈動頻率。

姿態會影響水流攻角，在小范圍內，剪切傳感器輸出信號幅值與水流攻角近似成正比[5]。過大的傾角會導致測量誤差加劇，給數據分析帶來困難。

儀器的固有頻率決定流致振動的頻率[6]，而流致振動頻率決定湍流耗散率的測量下限[7]。同時，流致振動會帶來嚴重的噪音信號，影響剪切傳感器的工作性能。

因此，合理而穩定的下潛速度、良好的下潛姿態以及小固有頻率，對于準確可靠的測量湍流動能耗散率具有十分關鍵的作用。通過動力學分析，研究結構對這些因素間影響，能夠為后期數據處理及結構優化提供幫助。

1 運動模型建立

1.1 運動坐標系

湍流儀在下潛的時候，由于受到流場的的影響，受力不平衡，會出現繞軸擺動。此時，其速度可以分解為兩部分：旋轉中心的直線速度，以及繞軸轉動。

為便于分析，參考水下滑翔機的運動模型建立方法[8]，采用雙坐標系對湍流儀的運動進行分析，坐標系如圖1所示。

圖1 運動坐標系Fig.1 Motion coordinate systems

圖1中，OXYZ是絕對坐標系，O為儀器入水點，XOY為海平面，Z為豎直向下方向。oxyz為相對坐標，以儀器自身為參考，o為儀器自由轉動的中心點，x為軸線方向，xoy為XOZ的平行面。

湍流儀內置姿態傳感器，用偏航角、俯仰角和翻滾角(Heading-Pitch-Roll)三個角參數來描述儀器姿態。在OXYZ坐標系下，描述儀器的三個姿態角，坐標系如圖2所示。

圖2 姿態角參考坐標系Fig.2 Coordinate system for attitude angles

在圖2中，OP為湍流儀軸線的平行線，OP1和OP2分別為OP在YOZ′和XOZ平面上的投影。β、φ、γ分別對應偏航角、俯仰角和翻滾角[9]。由于MTI姿態傳感器安裝時固定面的不同，三個姿態角數據可能存在互換。

角θ為儀器的傾角，即與豎直方向的夾角。儀器在平面內擺動時，β、φ符號要么保持相同，要么不同，變化率也成線性關系。因此，定義θ與β同正負，其值可以通過角β、φ計算得到：

(1)

在傾斜較小的情況下，上式通過近似簡化為：

(1*)

1.2 動力學模型

在局部海域，海流方向具有一致性，即V在一個確定的平面內，假設其在Y軸(z軸)上的速度分量為0。為簡化分析，將湍流儀在空間的運動降到二維坐標進行分析，其運動模型如圖3。

圖3 動力學模型圖示Fig.3 Graphical kinetic model

在圖3中，V為湍流儀o點相對周圍流體平均流動的相對運動速度，m/s；χ為V與Z軸夾角，rad。G和B分別為重力和浮力，N；L1和L2分別為重心和浮心到旋轉中心的距離，m。Fv為流體對儀器y軸方向的沖擊力合力，N；Fd為流體對儀器x軸方向的阻力合力，N；Mw為流體作用力對o點的合力矩，N·m。不考慮湍流脈動，水流平均速度對剪切傳感器的攻角α=θ-χ。

在二維坐標系下，湍流儀模型有三個自由度，即三個變量：X、Z和θ。此模型下，湍流儀的速度可分解為：

(2)

(3)

(4)

基于上述模型，在兩個坐標系下分別建立動力學微分方程組：

(5)

(5*)

式中：m為總質量，kg；J為等效轉動慣量，kg·m2。

2 參數計算

湍流儀總長為1 800 mm，耐壓艙長度810 mm，外徑125 mm，浮體長780 mm，外徑D=220 mm。以儀器最尾端為參考平面，其與儀器軸線的交點為坐標原點，建立坐標系，用于其他重要結構參數分析，其坐標系見圖4。

圖4 重浮力配置坐標系Fig.4 Coordinate system for configuration of gravity and buoyancy

在此參考系下，相關結構參數匯總見表1。

表1 結構動力學參數Table 1 Kinetic parameters of the structure

2.1 旋轉中心與轉動慣量

根據能量最低原理，湍流儀受到外力作用時，會繞轉動慣量最小的軸旋轉[10]。由于轉動時有附加質量(排開水的質量)存在，轉動中心o不在質心處，而是位于重浮心之間，到重心的距離為：

(6)

式中：m為湍流儀質量，mw為排水質量，L為重浮心距離。通過計算，得到L1=0.092 m，轉動中心o位于距尾端0.722 m處。

儀器對旋轉中心o的轉動慣量為：

(7)

式中：J1為儀器轉動慣量，J2為附加質量(即排開的水)轉動慣量。將相關參數代入，可得J=16.57 kg·m2。

2.2 流體作用力

在動力學模型中，湍流儀上有三個與流場相關的作用力：阻力Fd、沖擊力Fv以及沖擊力矩Mw。

Fd力方向與Vx相反，其中阻力系數CD已經通過計算得到。阻尼刷絲長為200 mm，CD=2.945，計算公式如下：

(8)

(9)

式中：L′為最尾端到o點的距離，L為總長，D(l)為該處直徑，m。若儀器不存在轉動，儀器受到的沖擊力合力為：

(10)

Fd作用于儀器一周，對o取矩為0，因此合力矩Mw只與Fv有關。在分析轉動慣量時，已將附加質量考慮在內，此處只計算由Fv引起的力矩，其公式為：

(11)

式中，L″為最尾端到Vy=0點的距離，m。若儀器不存在轉動，那么：

(12)

3 下潛速度

分析下潛速度不考慮儀器的傾斜，即儀器只有Z軸方向的速度。根據公式(5*(b))，結合坐標轉換公式，可以得出關于下潛速度VZ的關系式：

(13)

上式是帶二次項的微分方程，難以析解。但是，在足夠長時間后，重力、浮力和水阻力達到平衡，加速度為0，速度趨于穩定，那么公式13可化為：

(14)

加入配重結構，可以改變儀器下潛速度，配重使用鉛塊密度為11.3 g/cm3，每100 g鉛塊在海水中凈重為91 g。加入配重質量Nkg，凈重(0.06+0.91N)kg。結合阻力Fd，此時儀器的穩定速度：

(14*)

式中，g為重力加速度，取9.81 m/s2。

4 穩定姿態

當儀器處于動態穩定，線加速度和角加速度均為0，即要滿足?Vx/?t=0，?Vy/?t=0，?2θ/?t2=0，公式(5)代入參數后得：

(15)

此方程組的唯一解是：θ=0，Vy=0，Vx=0.105。轉換為XOZ坐標系下的速度：

此即公式(14*)中，M=0時的下潛速度配置。此時，Z軸方向的速度，χ=0，α=0。換而言之，只要傾角不為0，儀器就不可能處于動態平衡，必然存在某一參數的加速度。

僅考慮姿態的平衡，?2θ/?t2=0，分析VX和VZ對θ的影響。將浮力用重力近似替代，根據公式(5(c))，代入力矩參數后：

(16)

(16*)

從上式可以得出，在VX和VZ確定的情況下，重浮心距離L越大，角θ越小。假定VZ=0，對θ和VX關系進行定性分析得：

(17)

其函數曲線見圖5。

隨著VX變大，θ幾乎成二次型增大，VX對儀器穩定性影響十分明顯。分析不同VZ下θ和VX和關系，具體結果見圖6。

圖5 VX對傾角的影響Fig.5 Effect to tilt angle from VX

圖6 不同VZ對傾角的影響Fig.6 Effect to tilt angle from variational VZ

從結果可以看出，相同VX下，VZ越大，出現的傾角越小。因此，較大的下潛速度有助于儀器姿態的穩定。

傾角與攻角的差值χ只與VX和VZ有關：

(18)

相同VX下，VZ越大，χ越小，即姿態數據越接近于攻角。

綜上可以得出，L和VZ越大，儀器穩定性越好，攻角也越小。

5 自由擺動

分析湍流儀下潛過程中的自由擺動，即θ的變化規律，假定V=0。從Mw可以看出，公式(5(c))是一個非線性振動模型的微分方程，Mw為與多個參數相關的非線性阻尼。若不考慮流場的作用力，只分析重力和浮力的作用。即不考慮阻尼的影響，取Mw=0。考慮在小范圍擺動時(θ<5°)，sinθ近似于θ。那么可以將方程簡化為線性無阻尼自由振動模型：

(19)

這是典型的簡諧振動模型，結構固有頻率為：

(20)

對于本結構，由于mw與m十分接近，用m代如計算。基于J1和J2不隨L發生變化假定，上式可寫為：

(20*)

其關系如7圖所示。

圖7 結構固有頻率Fig.7 Natural frequency of structure in different configuration

從圖7中可以看出，隨著重浮心距離變大，固有頻率也隨之變大。將具體參數代入到公式中，可以得出：

(21)

在固有頻率下，湍流儀傾角及角速度的時間函數為：

(22)

上式中，θm為擺動幅值，τ為初始相位。對應剪切傳感器探針處因自由擺動帶來y軸方向速度為：

(23)

在此擺動頻率下，max(|at|) = 4.513θm，單位為m/s2。

無阻尼振動振幅不會衰減，實際中不存在。考慮阻尼的存在，根據公式11得：

(24)

因此完整的擺動模型為：

(25)

阻尼力大小與角速度平方成正比，是一個二次非線性阻尼。二次阻尼不會改變系統的固有頻率，幅值衰減一段時間后系統開始做簡諧振動[12]。通過數值算法來求近似解，定性分析振動衰減特性。定義t0時刻θ=0.087 rad(5°)，角速度為0。計算角度、角速度、角加速度隨時間變化分別如圖8所示：

圖8 振動方程數值結算結果Fig.8 Numerical results of the vibration equation

圖8給出了各個參數隨時間的變化，可以看出，隨著時間的推移，振動周期幾乎不變，而振動幅值在阻尼力的作用下持續衰減。為了更明確的分析衰減特性，計算后統計前8個角度峰值出現的時間和幅值(見表2)。

表2 θ峰值數據Table 2 Data on peaks of tilt angle

衰減幅度η為與上一個幅值的比值。從表2中數據分析，系統的擺動周期為3.02 s，振動頻率為0.331 Hz，即上面計算結構的固有頻率。隨著時間推移，幅值變動幅度越來越小，相應的阻尼系數也越來越小，直到振幅平穩。因此，在信號處理時，必須注意該頻率振動的影響。

6 試驗數據分析

6.1 配速試驗

在湍流儀完成后，在青島市南姜碼頭先后進行了多次配速試驗。試驗水深約20 m，相同配置進行多次試驗，取平均值用于比較。摘取部分試驗速度數據如表3所示。

表3 下潛速度試驗數據摘錄Table 3 Extract of test data on sinking velocity

將試驗速度與理論速度進行比較，結果見圖9。

圖9 理論與試驗結果比較Fig.9 Comparison of theoretical and experimental results

從圖9中可以看出，在小于配置速度(<0.3 m/s)部分，試驗速度明顯低于理論速度，分析為儀器受纜繩拖曳影響較大所致。在配置速度范圍(0.3～0.7 m/s)內，理論計算的速度誤差較小，十分接近試驗結果。之后，隨著配置增大，試驗速度變化率明顯大于理論速度，可能是因為阻尼刷絲變形導致阻力系數變小。由于在碼頭試驗受到風浪、堤壩和試驗母船的影響，通過傳感器數據計算以及試驗時測得平均速度與實際速度間均可能存在較大誤差。

6.2 姿態分析

2016年7月，湍流儀跟隨東方紅2號科考船在南海進行了第二次海試。海試中，將無包塑的細纜系于湍流儀尾部進行布放。將湍流儀下放至海面下后等待一段時間，待其穩定后松開纜繩同時讓纜繩始終保持松弛狀態。當儀器到達設定深度后，通過拖拽纜繩回收。此次海試共完成三個剖面的測量，成三個剖面的測量，相關信息記錄如見表4。

表4 南海海試記錄Table 4 Record of test in the South China Sea

由于安裝方式不同，姿態傳感器的Heading、Pitch、Roll三個姿態角對應會有變化。下面數據中，Heading為湍流儀自身轉動角度，Pitch和Roll為與豎直方向的夾角，下潛過程姿態變化時域信號如圖10所示。

圖10 姿態角時域信號Fig.10 Time-domain signal of attitude angles

由于湍流儀實際重浮心偏離軸線、加工和安裝誤差及受水阻力不平衡等原因，Pitch和Roll角的平衡位置并不在0°。從圖10分析，Pitch角平均值為-0.7°，Roll角平均值為0.3°。假設姿態傳感器安裝面與儀器軸線完全垂直，根據公式2，湍流儀平均傾角為：

湍流儀傾斜較小，且姿態穩定，未出現較大的姿態角。姿態沒有出現持續偏離平均值，受到橫向水流的影響較小，攻角與傾角的誤差小。下潛過程中，存在輕微的旋轉，分析可能是受纜繩及海流的作用，產生軸線方向的力矩。

圖11 姿態角頻譜Fig.11 Spectrum of attitude angles

儀器的擺動會給Pitch和Roll帶來較大影響，而對Heading角幾乎不會產生影響。但Heading會影響傾角θ在另兩個角上的分量。進一步分析擺動情況，選取前35 s數據，對Pitch和Roll角數據去平均值處理，然后通過離散傅里葉變換進行頻譜分析，其分布如下：

通過計算傾角波動的基頻約為0.188 Hz。從圖11可以看出，隨頻率增加，兩個傾角幅值波動具有一致性，說明儀器此時間段基本同一平面內擺動。但Pitch角的擺動幅值遠小于Roll角，結構主要在Roll角方向擺動。

根據Roll角頻譜圖，在頻率為0.375 Hz處出現峰值，該頻率接近于理論計算結構的固有頻率0.331 Hz。在低頻段(0.188～0.563 Hz)，幅值變化較小，在0.26°～0.36°范圍內。在大于0.563 Hz后頻率出現快速衰減，儀器振動主要為低頻的擺動導致。

7 結論

本文從理論出發，對影響湍流剖面儀測量結果的幾個重要因素進行了分析。并通過實驗，對理論結果進行了驗證。文中所作的主要工作如下：

(1)建立雙坐標系運動模型，結合傾角、攻角確定雙坐標系下各個參數的轉換。

(2)分析下潛速度，可以通過控制配重質量達到下潛速度的配置。

(3)重浮心距離和下潛速度越大，儀器姿態越穩定。

(4)結構擺動固有頻率隨重浮心距離變大而增大，自由擺動在衰減一段時間后呈簡諧振動。

(5)通過試驗數據，驗證了理論計算的準確性，為進一步優化結構提供依據。