基于響應(yīng)功率譜傳遞比的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別方法研究

曹林波，顏王吉，任偉新

（合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 前言

橋梁結(jié)構(gòu)在服役過程中，其行為本質(zhì)是結(jié)構(gòu)動(dòng)力行為，結(jié)構(gòu)安全性本質(zhì)上是動(dòng)力安全性。在研究動(dòng)力安全性評估時(shí)，一個(gè)首先需要解決的問題就是正確地識別或監(jiān)測結(jié)構(gòu)工作時(shí)的動(dòng)力特性或模態(tài)參數(shù)[1,2]。

一般來說，模態(tài)參數(shù)識別方法可以分為實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法[1]與工作模態(tài)識別方法[3]。相較于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法需要同時(shí)測量結(jié)構(gòu)的激勵(lì)和動(dòng)力響應(yīng)，工作模態(tài)識別方法僅測量響應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)響應(yīng)數(shù)據(jù)來識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。顯然，運(yùn)用這類方法不用中斷結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)營，實(shí)施方便，安全性高。

需指出，以上提及的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法更多地局限于識別位移模態(tài)參數(shù)。近年來，由于工程應(yīng)用對橋梁局部剛度變化的靈敏度提出了更高的要求，國內(nèi)外學(xué)者開始致力于應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別和應(yīng)用研究。

人們對于應(yīng)變模態(tài)的研究起源于上世紀(jì)80年代。1984年，英國學(xué)者Hillary和Ewins[4]應(yīng)用電阻應(yīng)變計(jì)測量了力-應(yīng)變傳遞函數(shù)，提出應(yīng)變模態(tài)的概念。清華大學(xué)李德葆等人[2]從三個(gè)不同角度分別推導(dǎo)結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)表達(dá)式，建立了應(yīng)變頻響函數(shù)。進(jìn)入21世紀(jì)，一些常用的工作模態(tài)參數(shù)識別方法被引入應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別中來，如特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法[5]、隨機(jī)子空間方法（SSI）[6]、頻域分解法（FDD）[7]。

常用的工作模態(tài)參數(shù)識別方法中，通常會(huì)對結(jié)構(gòu)激勵(lì)做理想化的模型假定，而在實(shí)際應(yīng)用中，這些假定往往很難得到滿足，使得模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果的準(zhǔn)確性受到影響。2007年，Devriendt和Guillaume[9]提出了傳遞比函數(shù)驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)分析方法。他們通過證明得到在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)極點(diǎn)處，響應(yīng)傳遞比函數(shù)等于對應(yīng)兩測點(diǎn)的模態(tài)振型分量之比，不依賴于結(jié)構(gòu)激勵(lì)的特性。其后，一些學(xué)者對該方法進(jìn)行了深入研究[10-12]。

值得注意的是，傳遞比函數(shù)驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法都至少需要聯(lián)合兩個(gè)及以上不同荷載工況下的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)信息來完成模態(tài)參數(shù)的識別，這將加大實(shí)驗(yàn)的難度和費(fèi)用。2012年，Yan和Ren[13]通過引入?yún)⒖键c(diǎn)，提出了響應(yīng)功率譜密度傳遞比的概念。通過證明，可以得到在系統(tǒng)極點(diǎn)處，響應(yīng)功率譜密度傳遞比函數(shù)等于對應(yīng)兩測點(diǎn)的振型分量之比，與輸入和參考點(diǎn)的選取無關(guān)。在同一荷載工況下即能識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

國際上利用傳遞比方法識別應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的研究還鮮有報(bào)道。因此，本文對基于應(yīng)變功率譜傳遞比的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別方法進(jìn)行了研究。論文定義了應(yīng)變功率譜傳遞比的概念，證明得到應(yīng)變傳遞比函數(shù)在系統(tǒng)極點(diǎn)處與兩測點(diǎn)應(yīng)變振型之比等價(jià)的特性。基于這一特性，提出了基于功率譜傳遞比的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別新技術(shù)。通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明本文所提的方法能準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 應(yīng)變頻響函數(shù)

由文獻(xiàn)[2]可知，結(jié)構(gòu)應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣為：

式中，s表示復(fù)頻率；分別表示結(jié)構(gòu)第r階應(yīng)變模態(tài)振型向量和第r階位移模態(tài)振型向量；Nm是結(jié)構(gòu)的模態(tài)階數(shù)；mr、cr與kr分別是結(jié)構(gòu)第r階的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼與模態(tài)剛度。

假設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼類型為瑞利阻尼，應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣可寫為

式中，λr為系統(tǒng)極點(diǎn)，；ωdr為結(jié)構(gòu)第r階共振圓頻率；表示共軛。

1.2 應(yīng)變響應(yīng)傳遞比定義

定義結(jié)構(gòu)測點(diǎn)i和j的應(yīng)變響應(yīng)，εi(t)和εj(t)，的應(yīng)變響應(yīng)功率譜密度傳遞比為：兩測點(diǎn)應(yīng)變響應(yīng)關(guān)于同一參考應(yīng)變εp(t)的互譜函數(shù)之比

1.3 應(yīng)變響應(yīng)傳遞比重要特性證明

對于穩(wěn)定隨機(jī)過程，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)應(yīng)變響應(yīng)與外部激勵(lì)存在以下關(guān)系

根據(jù)比例復(fù)變函數(shù)極限理論，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，若復(fù)數(shù)函數(shù)序列fn(z)與滿足

同理，關(guān)于參考點(diǎn)q的應(yīng)變響應(yīng)功率譜密度傳遞比滿足

由此可知，對于不同參考點(diǎn)，應(yīng)變響應(yīng)功率譜傳遞比在系統(tǒng)極點(diǎn)處均等于應(yīng)變模態(tài)振型向量對應(yīng)于兩測點(diǎn)的振型分量之比，與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)位移模態(tài)振型、參考應(yīng)變響應(yīng)無關(guān)，不依賴于外部荷載輸入。

1.4 基于響應(yīng)功率譜傳遞比的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別

構(gòu)建不同的參考點(diǎn)p和q的應(yīng)變響應(yīng)功率譜密度傳遞比的差值函數(shù)。系統(tǒng)極點(diǎn)λm附近該差值函數(shù)滿足，

圖1 箱梁跨度分布和橫截面形式

聯(lián)合不同測點(diǎn)和不同參考點(diǎn)的信息，計(jì)算構(gòu)成應(yīng)變響應(yīng)功率譜密度傳遞比函數(shù)矩陣

式中，u為作為參考的固定的測點(diǎn)，n是所有測點(diǎn)的數(shù)目。在系統(tǒng)極點(diǎn)處收斂于

2 數(shù)值算例

本節(jié)采用一個(gè)三跨連續(xù)箱梁的有限元，本文方法的準(zhǔn)確性。

連續(xù)箱梁總長100m，跨度分布為(30+40+30)m。箱梁總寬10m，高度為1.6m。箱梁的頂板、底板和箱室的兩側(cè)腹板厚度為18mm，箱室中間腹板厚度為20mm。兩個(gè)箱室總寬為6.4m。在箱梁翼緣板的下部和箱室內(nèi)部設(shè)置有高度20cm，厚度16mm的縱向肋板。箱梁跨度分布和截面如圖1所示。

假設(shè)全梁由分布均勻的鋼材構(gòu)成，密度為7900kg/m3，彈性模量為210GPa。箱梁模型利用有限元分析軟件ANSYS建立，采用BEAM188單元模擬并進(jìn)行分析。沿箱梁軸向每兩米設(shè)置一個(gè)單元，全橋共分為50個(gè)單元。沿軸向節(jié)點(diǎn)編號依次為1到51，在1號、16號、36號及51號節(jié)點(diǎn)分別設(shè)置相應(yīng)的約束條件。

利用白噪聲激勵(lì)對箱梁進(jìn)行激振。在箱梁上除支座外每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加白噪聲激勵(lì)。采樣頻率定為100Hz，采樣時(shí)長定為5min。取箱梁每個(gè)節(jié)點(diǎn)橫截面上底板中點(diǎn)為測點(diǎn)，記錄其應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)。

圖2 基于響應(yīng)功率譜傳遞比方法頻率識別結(jié)果

頻率識別結(jié)果比較 表1

分別利用響應(yīng)功率譜傳遞比方法與有限元法對箱梁的應(yīng)變模態(tài)進(jìn)行識別。其中響應(yīng)功率譜傳遞比方法頻率識別結(jié)果如圖2所示，表1所示為兩種方法頻率識別結(jié)果的比較。振型識別結(jié)果如圖3所示，其中PSDT表示基于響應(yīng)功率譜傳遞比方法。對比兩種方法識別結(jié)果可知，基于響應(yīng)功率譜傳遞比的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別方法可以快速準(zhǔn)確的識別出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。

圖3 應(yīng)變模態(tài)振型識別結(jié)果比較

3 實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閷?shí)驗(yàn)室中一座簡支梁橋模型，模型全長6m，兩端支座之間距離5.55m，面板寬0.80m，厚5mm。主要受力結(jié)構(gòu)為橋面板下的兩根10號工字鋼梁，工字鋼梁間距離為56cm，每隔1.35m設(shè)置一道工字鋼橫梁進(jìn)行連接。每根工字鋼梁設(shè)置一個(gè)固定鉸支座和一個(gè)移動(dòng)鉸支座。梁橋模型如圖4所示。

圖4 簡支梁橋模型

將每根工字鋼梁均分為12個(gè)單元，每個(gè)單元長度46.5cm，在單元分界處，沿順橋向在工字梁底板上粘貼應(yīng)變片，應(yīng)變片測點(diǎn)布置如圖5所示。

使用普通鐵錘敲擊橋面板或工字梁的方式進(jìn)行激勵(lì)。依據(jù)實(shí)驗(yàn)方案，采用美國國家儀器公司的NI多功能數(shù)據(jù)采集儀器為響應(yīng)信號的采集系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)采樣頻率設(shè)定為200Hz，采樣時(shí)長為10min。

實(shí)驗(yàn)完成后，選取利用鐵錘敲擊橋面板中間部位與橫梁中部部位的荷載工況得到的應(yīng)變響應(yīng)進(jìn)行識別。并將識別結(jié)果與利用響應(yīng)傳遞比方法（TOMA）得到的識別結(jié)果進(jìn)行比較。識別結(jié)果分別如圖6、圖7所示，將頻率識別結(jié)果記錄如表2所示。由識別結(jié)果通過有限元與振型分析可知，在頻率為50Hz附近，響應(yīng)傳遞比方法識別出虛假模態(tài)，而此虛假模態(tài)由實(shí)驗(yàn)過程中交流電影響所致。響應(yīng)功率譜傳遞比方法能較好抑制這一虛假模態(tài)的影響。兩種識別方法識別得到的模型前兩階豎向振型如圖8所示。對比可知響應(yīng)功率譜傳遞比方法可以較好地識別該模型的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)，具有良好的魯棒性，為方法在實(shí)際工程中成功取得應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

圖5 應(yīng)變片測點(diǎn)布置

圖6 基于響應(yīng)功率譜傳遞比（PSDT）方法頻率識別結(jié)果

圖7 基于響應(yīng)傳遞比(TOMA)方法的模態(tài)頻率識別結(jié)果

模態(tài)頻率識別結(jié)果匯總 表2

圖8 模態(tài)振型識別結(jié)果匯總

4 結(jié)語

本文對基于響應(yīng)功率譜傳遞比的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別方法進(jìn)行了研究。應(yīng)變響應(yīng)功率譜傳遞比函數(shù)具有在系統(tǒng)極點(diǎn)處只與相關(guān)測點(diǎn)振型相關(guān)，而與系統(tǒng)所受激勵(lì)性質(zhì)無關(guān)的特性，故可聯(lián)合多個(gè)測點(diǎn)的響應(yīng)信息來進(jìn)行結(jié)構(gòu)固有頻率的識別，并進(jìn)一步識別出結(jié)構(gòu)的振型。主要結(jié)論包括：

①對比本文所提方法與有限單元法等傳統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法識別結(jié)果，表明本文所提方法可以準(zhǔn)確識別系統(tǒng)的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)；

②當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)中含有有色噪聲時(shí)，本文所提方法能較好地抑制有色噪聲的影響，識別結(jié)果具有良好的魯棒性；

③實(shí)際實(shí)驗(yàn)室中橋梁模型的動(dòng)力實(shí)驗(yàn)識別結(jié)果與響應(yīng)傳遞比法的識別結(jié)果比較表明，本文所提方法可較好應(yīng)用在實(shí)驗(yàn)室嘈雜環(huán)境中的結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識別，為方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。