應用相似三角形的性質推證數學中的“并聯”規律

◎秦宇峰

如果兩個三角形相似，那么三邊對應成比例，對應高之比等于對應邊之比。物理在電路圖中，若兩個燈泡并聯，一個電阻為R1，另一個電阻為R2，則有R總是R1、R2的調和平均數。其實在數學中，還有許多結論也符合并聯規律。如：

1.已知：AB‖CD，AD、BC相交于E，過E作EF‖AB，交BD于F，AB=a，CD=b。求證：

總結：如果三條線段平行且構成如圖的形狀，那么中間線段是兩邊線段的調和平均數。

2.已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD、BC交于點E，EF⊥BD，AB=a，CD=b。求證

證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴AB‖CD‖EF

以下的證明過程同第一題。

總結：如果三條線段都垂直于同一條線段且構成如圖的形狀，那么中間線段是兩邊線段的調和平均數。

3.已知：在△ABC中，AD⊥BC，BC=a，AD=b，EFGH是正方形，E在AB上，H在AC上，FG在BC上，EH交AD于點M。求證

總結：在一個任意三角形中，如果它的內接正方形的一邊在三角形的一邊上，那么這個正方形的邊長是三角形這一邊與高的調和平均數。

4.已知：在Rt△ABC，AD⊥BC，∠BAC=90°，AB=a，AC=b，BC=c，EFGH是正方形，E在AB上，H在AC上，FG在BC上，EH與AD交于點M。求證

總結：在一個直角三角形中，如果它的內接正方形的一邊在斜邊上，那么這個正方形的邊長等于三邊之積與兩直角邊的積加上斜邊的平方的和的商。

練習：

5.已知：在Rt△ABC，∠C=90°，BC=a，AC=b，D在AC上，E在AB上。求證

總結：在一個直角三角形中，如果它的內接正方形的兩邊在直角邊上，那么這個正方形的邊長是兩直角邊的調和平均數。

這些題的結論相同或接近，一條線段是另外兩條線段的調和平均數。記住在什么條件下可以得到什么結論，非常有助于我們解題，可以縮短思維回路，尤其針對選擇題或填空題，會起到意想不到的快捷與方便。