關于傅里葉變換與振幅關系的思考

趙煥青

（中北大學信息商務學院，晉中 030600）

關于傅里葉變換，很多文章只是告訴這么操作一下就可以得到正確結果，沒有解釋為什么這樣做，往往會讓人覺得“不明覺厲”，仿佛是一種魔法。但是一旦理解了它是一種分解操作，理解了“基函數”的意義，理解了傅里葉變換與幅度的關系，我們就很容易理解為什么要做、怎么做、為什么這樣做。下面我們一一來論述。

1 簡諧振動的三要素

2 簡諧振動的疊加性

一個比較復雜的周期運動可以看成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加。

3 簡諧振動疊加的唯一性

根據線性空間中的正交性質，級數展開是唯一的。

3.1 函數的內積是向量內積概念的推廣

右端級數可逐項積分

3.2 周期函數的傅里葉級數展開是唯一的

基波角頻率為1的非正弦周期函數的傅里葉級數（1）說明以

為基的無限維線性空間中的向量總是可以由這些正交基向量疊加出來，疊加系數就是與各基向量求內積得到。周期函數的傅里葉級數就是它在內積空間上的正交分解，分解是唯一的。

4 頻譜函數與振幅的關系

4.1 傅里葉級數

4.2 傅里葉變換

傅里葉逆變換是用復指數信號的和表示各種形式的信號，復指數信號頻率不同，他們的頻率是原信號頻率的整數倍。這些信號是高頻信號，他們修飾與原信號頻率相同的信號，使得傅里葉逆變換就等于原信號。頻譜上的最低頻率就是原信號頻率，對應的幅值最大的。

傅里葉逆變換是在頻率上求和，不是在時域上。那么，我們可以隔一段時間采集一次信號，然后作傅里葉變換，觀察信號在頻域上隨時間的變化。

5 結束語

傅里葉變換在許多領域有著廣泛的應用，比方說物理學、電子類學科、信號處理、海洋學。本文有助于我們深刻理解并掌握傅里葉變換的內涵。