線性代數(shù)中矩陣理論的教學

張雪飛 鄭素文 宮雷 王素云

摘 要：線性代數(shù)是本科教育中最基本的必修課程之一，課程本身具有高度的抽象性，且與高等數(shù)學聯(lián)系不緊密，學生接受程度較低。但在教學過程中，牢牢抓住矩陣這個最基本的工具，矩陣理論這個最基本的理論，可以得到事倍功半的效果。

關鍵詞：線性代數(shù)；教學；矩陣理論

在高等教育中，線性代數(shù)是最重要的基礎必修課程之一。選用的同濟大學第六版教材，可以滿足工科類本科數(shù)學基礎課程教學基本要求，卻被學生認為是一門難度極大的課程。線性代數(shù)的學習難度，一方面來自于課程本身的高度抽象性；另一方面，課程要求學習者在較短的時間內（一個學期）認識了解一個新的研究對象以及相關的一套新的運算規(guī)則。這些都與學生之前接觸的初等數(shù)學和高等數(shù)學規(guī)律有較大的差異，接受程度較低。

在線性代數(shù)中，最重要的工具就是矩陣，用到的最基本的理論就是矩陣理論，矩陣理論貫穿整個線性代數(shù)始終。矩陣理論在線性方程組的求解及解的結構，向量組的線性表示等問題中均有廣泛地應用，三者可以互相轉化，互相理論支撐。

通過矩陣理論的應用，向量組之間的線性表示的問題可轉化為矩陣語言。這樣不僅簡化了問題，且把抽象的向量組轉化為具體的矩陣方程，更加直觀。矩陣方程的求解，即線性方程組的解的結構的問題。然而，線性方程組的求解還是要用到矩陣理論中的秩。通過不斷轉化，向量組是否能相互表示等價于矩陣方程是否有解。為了更清晰，三者之間的轉化可用示意圖表示如下。

矩陣理論在線性代數(shù)中的應用，遠不止于此。但是，矩陣，線性方程組和向量組之間的轉化是同濟大學第六版教材的精華之處，另辟蹊徑。尤其在后面章節(jié)，向量組的線性相關性一節(jié)，更是把三者之間的互助轉化用到極致。如，向量組線性相關，等價于齊次線性方程組有非零解，等價于向量組的秩小于向量組中向量的個數(shù)。因此，教師和學生在學習中，充分體會這一聯(lián)系，達到理想的教學和學習效果。

參考文獻：

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[4]陳懷琛，龔杰民.線性代數(shù)實踐及MATLAB入門[M].電子工業(yè)出版社，2005.

基金項目：學院科研創(chuàng)新基金項目（2016CJJCBXJ03）

通訊作者：張雪飛（1989-），女，河北高陽人，碩士，助教，研究方向為圖論及其應用。