高中常見的最值問題探討

曹學勤

摘 要 高中數學的最值問題是一個常見的題目，它對知識的綜合應用和各種數學思想方法有較高的要求。本文就常見的最值問題歸納分析和方法總結，為解決這一類問題做準備。

關鍵詞 高中;最值;解法

中圖分類號：O241.7?????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）28-0171-01

數學中最值問題在考試中很常見，經常涉及。它對知識的綜合應用和各種數學思想方法有較高的要求，一般是綜合題型。因為這樣的要求，有些學生就會感覺困難。這一類型題目的出題形式多種多樣，可以是選擇填空題，也可以是簡答題。這就不僅要掌握基礎知識和基本方法，還要靈活應用知識的技巧、規范的步驟，解決這一類題目才能得心應手。下面我針對一些常見的類型，分析常見的解決辦法。

首先來看常見的求最值的方法：函數的最值常用函數性質特別是單調性、導數來解決。其他常用的有線性規劃、基本不等式、幾何方法等。線性規劃單獨成題，不再研究。不同題目中，以不同的載體和形式出現。

例1：已知函數，求的最大值及此時的x。

形式上是函數的最值問題。從不同的角度分析，可以有不同的做法。分析其形式特點，對應采用合適的解決方法。

分析一，從函數的角度來看，這是一個復合函數求最值的問題。根據這種由里到外的原則，先求定義域，換元t=x（1-x），由t的范圍，可得函數值y的最大值為0.5。

從做題過程可以看出，實際上是利用了二次函數區間上的最值來解決的。類似于這樣的問題，只要熟悉各種基本初等函數，數形結合，觀察最高點和最低點就可以得到最值。比如函數在時的最值，要求畫出函數的圖像，并截取所需要的部分，觀察圖像就可以得到。類似于三角函數也一樣。實際上只要是基本初等函數都是這樣的做法。

分析二，當時，x和1-x都是非負數，且x和1-x的和為定值，可以利用基本不等式來求最值。但要注意x為0和1的特殊情況，綜上就可以得到y的最大值0.5。

要用基本不等式來求最值，必須在形式上具有和或積是定值，才能求積或和的最值。并要注意參與基本不等式的兩個數都是正數，且等號能夠取到這兩個條件。也就是我們常說的三個條件“一正，二定，三相等”，考試中常在這些方面做文章。類似的變形考題如：求的最值。題目中的4其實不影響定值。再如，這時2就有了影響，為得到和是定值，變形即可，就可以利用基本不等式來求解最值了。這種題型也常在解析幾何考題中出現，比如求面積的最值，常是將面積表示為某變量的函數，利用基本不等式求解。近幾年高考題中常有這種類型，要引起注意。

分析三，考慮到的特殊性，想到三角函數就在0到1范圍內，故可利用三角代換x=sin²來解決問題。用這種方法時，一定要注意變量范圍。三角代換求最值中，要熟練利用三角函數的相關公式，變形為形式的最值問題結合三角函數公式和函數性質來完成這一類題目。

這道題也是一些最值問題的解決辦法。另外在考試中，也有一些復雜函數的最值問題，大部分是利用導數來解決。在高考中，可以單獨成題。比如2018年高考文科21題第二問就是這樣：已知函數證明：當時，。

我們只看第二問，實質上是一個最值問題。構造新函數，求他的的最小值點就可以得到結論。證明不等式成立，實質上是通過求解函數的最值來完成。這個函數中，既有指數函數，又有對數函數，不是基本初等函數，形式上比較復雜。所以要用導數判斷單調性來完成。還有一類題，也是通過函數的最值來完成的，但是他以不同的載體出現的。再看下面一道題：在中，，a=3，求周長的最大值。

分析一，要借助三角函數公式，來構建有關周長的函數l，由函數來求解最值問題。本題看是三角函數的綜合題目，實際上還是方程思想來解決的。分析二，可以結合余弦定理，利用基本不等式來完成。本題以三角形為載體，考察了用函數和基本不等式求最值的問題。要透過現象看本質，根據題目的不同形式，采用合適的辦法來解決。數列中，也常有最值問題。

例3，在等差數列中，，求數列前n項和以及他的最大值。

分析一，將Sn表示成關于n的函數，還是利用函數來求解最值問題。這是關于n的二次函數，只不過是n只能取到正整數，仍然可以利用二次函數的知識來解決。分析二：數列也有他自身特殊的處理辦法，不僅僅可用函數知識來解決。通過分析數列中的項，首項為11公差為2，可知這個數列是這樣的;11，9，7，5，3，1，……，可見前6項為正數，第7項開始以后都是負數，當然前6項的和是最大的。

再看一道以向量為載體的最值問題：已知是平面內互相垂直的單位向量，若向量c滿足，求的最大值。分析：轉化為幾何圖形問題。由條件可知，向量c的終點在以a，b，終點為直徑的圓上，故的最大值為。

最值問題是考試中很常見的一類型題，他經常以不同的形式不同的載體來出現。常見的考察形式有函數，三角函數，數列、向量或解析幾何等。但解決時都需要進行相應的轉化。一般常見的解決辦法是利用函數或三角代換、基本不等式或線性規劃以及幾何方法等來解決。以上的分析可見不論是哪種形式，都在考察函數方程，數形結合、分類討論和化歸思想這些核心素養。要熟悉基礎知識基技能，同時不斷提高分析問題解決問題的能力，提高計算能力。在此基礎上掌握各種求最值的方法，也要注意使用的條件和技巧準確轉化，更重要的是能夠靈活熟練的綜合應用知識和解法，才能在高考中將最值問題很好解決，進一步提高考試成績。