“一題多解”在幾何學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)淺談

熊考慶

摘 要 中考復(fù)習(xí)期間，我們在梳理《圓》這一章的作業(yè)題時，發(fā)現(xiàn)了許多題型都有一些共同之處——以三角形作為基本圖形載體進行題型的變化。就此，我準(zhǔn)備了一次教學(xué)展示課，課題是《圓背景下求線段的長度》。

關(guān)鍵詞 一題多解;幾何學(xué)習(xí);體現(xiàn);反思

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）28-0181-01

課前，我設(shè)置了一道前測題，設(shè)計與課堂內(nèi)容相關(guān)的、可以為教學(xué)目標(biāo)作鋪墊的測試題目，目的是為了讓學(xué)生熟練和歸納一些使得教學(xué)目標(biāo)達成所需要的數(shù)學(xué)思想及方法，更有效地幫助學(xué)生在課堂上達成本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。并且，在設(shè)計前測時，需要注意題目要有可選擇性、符合課堂需要、難易程度適中、學(xué)生可操作性等要點。

一、“一題多解”幾何圖形的規(guī)律和解題方法的多樣性

在進行幾何教學(xué)時，要突出“一題多解”對學(xué)生思維的碰撞，讓學(xué)生進一步體會幾何圖形的規(guī)律性和解題方法的多樣性。本節(jié)課在實現(xiàn)“一題多解”過程中，以三角形作為基本圖形載體，在三角形的基礎(chǔ)上進行拓展和變化。并要讓學(xué)生確信，不管題型如何改變、幾何圖形如何變化，都應(yīng)該抓住三角形這一基本圖形載體，理解等腰三角形的對稱性，最終問題都可以逐一解決。

課堂前測：已知如圖1，在△ABC中，AB=AC。以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、點E，連接EB交OD于點F.（1）求證：OD⊥BE;（2）若AB=5，，求AE的長。

合作學(xué)習(xí)：已知如圖2，AB是半圓O的直徑，點C是弧BD的中點，且AB=5，若AD=3，試求線段AC的長。（你還有其它方法來求解嗎？）

反思一：幾何學(xué)習(xí)中的“一題多解”，源于以不同的視角看問題。

在課堂前測中，如果學(xué)生將要證明的兩條線段理解為圓中的半徑和弦，那么容易發(fā)現(xiàn)本題的關(guān)鍵即是要證明出弧DE=弧DB。于是部分學(xué)生想到了要先利用圓心角定理去證明兩條弦對應(yīng)的弧相等，繼而又產(chǎn)生了不同的方法：通過“等腰三角形三線合一”結(jié)合“圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角”加以證明;或者通過“等腰三角形三線合一”結(jié)合“斜中線定理”加以證明;甚至是添加輔助線后通過圓周角定理的推論加以證明等等。

但看待問題的角度不同，所思考的方向也會有所不同！如果學(xué)生對本題的理解是要去證明兩條線段的夾角為90°，那么要實現(xiàn)這一目標(biāo)，比較直接的方法是證明AC∥OD，而證明兩直線平行的方法又是多種多樣！

又如在合作學(xué)習(xí)中，學(xué)生可將條件“點C是弧BD的中點”與垂徑定理聯(lián)系在一起;也可將其與等腰三角形的對稱性聯(lián)系在一起;甚至還可聯(lián)想到將圖中半圓補全成一個整圓，再結(jié)合垂徑定理來解決。課后學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了構(gòu)造全等三角形的方法來解決問題，這讓我很意外。

反思二：如何在數(shù)學(xué)課堂中進行引導(dǎo)提問？

一千個讀者，就有一千個哈姆雷特。每個學(xué)生對問題的理解是有區(qū)別的，老師在課堂上的問題究竟是應(yīng)該指向明確？還是應(yīng)該開放化一些？

在合作學(xué)習(xí)中，我的提問其實是指向性比較明確的：環(huán)節(jié)一是讓學(xué)生將條件“點C是弧BD的中點”與垂徑定理聯(lián)系起來;環(huán)節(jié)二是提示學(xué)生把合作學(xué)習(xí)與課堂前測中的兩張圖形進行對比，發(fā)現(xiàn)和體會等腰三角形的對稱性;環(huán)節(jié)三是繼續(xù)對比圖形，從半圓和整圓的角度去解決問題。這樣設(shè)計的目的是希望學(xué)生按照老師引導(dǎo)的方向去進行思維的發(fā)散，順利找到解決問題的方法。但這種教學(xué)方法似乎顯得有些局限，把學(xué)生的思維局限于教師的提前預(yù)設(shè)當(dāng)中，不太利于學(xué)生形成自己的思維。如果能像前測部分讓他們自由思考發(fā)揮，多一些開放，更能激活學(xué)生對問題思考的欲望和興趣。

但最后課堂達成的效果還是可觀的，在每個環(huán)節(jié)設(shè)置的框架下，學(xué)生按部就班地思考，也提出了一些新穎的方法。在教學(xué)當(dāng)中，不論是指向性的問題，還是開放性的元素，只要能夠讓學(xué)生在一堂數(shù)學(xué)課堂中有新的體驗和感悟，我認為就是有效的教學(xué)。

反思三：輔助線的添加在幾何學(xué)習(xí)中的重要性。

平面幾何解題過程中經(jīng)常會使用到輔助線的添加，目的是為了揭露一些隱含在題設(shè)中的條件，或者是將原圖中的一些信息進行聯(lián)系和集中，從而轉(zhuǎn)化成對解題有幫助的新圖形。

在合作學(xué)習(xí)中，由于我們對題設(shè)理解的不同，所添加的輔助線也是有所不同的。環(huán)節(jié)一中，我們按照垂徑定理中所蘊含的基本圖形進行輔助線的添加，將條件凸顯出來;環(huán)節(jié)二和環(huán)節(jié)三中，我們將圖形直觀化，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的圖形——等腰三角形和圓，利用其對稱性，達到將問題簡單化的目的。這些添加輔助線的方法需要在平時的教學(xué)過程中潛移默化地讓學(xué)生去掌握，遇到具體問題要具體分析。

數(shù)學(xué)教學(xué)如果要有成效，老師需要關(guān)注教學(xué)流程中的每個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的發(fā)生和形成的過程。在學(xué)生嘗試解決問題的時候，要適時適度地引導(dǎo)他們?nèi)フ归_思考，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維;在分析講解問題以及開展合作學(xué)習(xí)的活動時，要多去捕捉一些可以讓大家產(chǎn)生共鳴的點，并適當(dāng)增加一些課堂開放性元素，促使課堂交流更加有效;在學(xué)生對一堂課所學(xué)內(nèi)容有了一定程度的體驗和領(lǐng)悟時，要善于歸納、總結(jié)和反思，幫助學(xué)生形成知識方法系統(tǒng)，更加清晰地理解數(shù)學(xué)實質(zhì)，實現(xiàn)知識與方法的正向遷移。

參考文獻：

[1]李洪明.如何有效開展初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2019（05）.