經驗：數學學習的“無痕”之道

王英

《數學課程標準（2011年版）》提出：讓學生獲得“數學活動經驗”不僅指學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗，還強調學生在活動中從數學的角度進行思考，直觀地、合情地獲得一些結果。數學活動經驗不僅僅指實踐的經驗、知識的經驗，更重要的是思維的經驗，是在數學活動中思考的經驗。數學教學應關注學生的認知經驗背景，要善于利用學生已有的數學知識和經驗特點，經過獨立思考，探索實踐，合作交流，積累數學活動經驗，從而實現從經驗認知到數學認知的飛躍。我以為，經驗是數學學習的“無痕”之道。

一、 聯系實踐經驗，在生活百科中融合

數學教學是一種緣于生活又運用于生活中的學習活動。教師應聯系學生的生活，將生活百科中學生熟悉的、有數學價值的素材和數學課堂加以融合，聯系實踐經驗理解數學知識，應用數學知識解決生活問題，從而聯通學生的“現實世界”與“數學世界”，讓學生的數學學習在不知不覺中開始。

1.利用“生活原型”，逐步抽象數學模型

在數學課堂上，教師應充分利用“生活原型”， 引導學生在感悟和認知的過程中進行數學分析和歸納，促進學生對數學概念的理解，對數學知識的自主建構，讓學生從生活的“感性認識”提升為數學的“理性認識”。

例如，在教學蘇教版六年級上冊“百分數的認識”一課時，課前我先請學生收集生活中的百分數，不僅能讓學生深刻感受到生活中百分數的廣泛應用，還能很好地激發學生已有的生活經驗，引導學生理解生活中百分數的實際意義，在學生的感性認識基礎上，教師適時補充200%、100%、0.1%等一些生活中特殊的百分數，適當拓寬百分數概念的外延，在此基礎上理解百分數的意義，從而培養學生透過生活原型、利用實踐經驗抽象出數學本質的模型。

2.應用數學模型，類比解決生活問題

數學學習的價值還在于學生能更好地運用所學的數學知識解決生活問題。在小學數學教學中，教師應鼓勵學生學會用數學的眼光看待生活現象，根據生活中遇到的實際問題提煉出數學要素，抽象出數學問題，靈活運用數學模型解決生活問題。

在教學蘇教版小學數學六年級上冊“長方體和正方體的表面積復習”時，課前我照例讓學生用自己喜歡的方式將相關知識點進行自主整理，自主建構知識體系后，緊密聯系生活實際問題，打開數學模型與生活問題的通道，例如長方體和正方體的表面積問題與求6個面的箱子問題，求5個面的魚缸問題、書套問題，求4個面的通風管問題，求1個面的占地面積問題以及長方體或正方體的分割問題、拼接問題等，靈活應用長方體和正方體的表面積計算公式這一數學模型來解決生活中的諸多實際問題。

我以為，生活處處皆數學，我們要以學生的視角，合理利用學生的生活素材，努力尋找數學學習與學生已有實踐經驗的結合點、生長點、延伸點，學會用數學的眼光去解決生活問題，體現學習數學的價值。

二、利用知識經驗，在縱觀全局中融匯

數學認知結構是學生已有知識和經驗在頭腦中的組織形式。而數學知識結構間是相互關聯的，教師應了解知識的前世、今生和未來，在數學教學中，站在縱觀全局的高度融匯已有的數學認知結構，充分激活學生已有的知識經驗，讓學生在循序漸進中掌握知識。

1.瞻前顧后，構建新舊知識的連接點

數學教學就是要借助數學知識前后的邏輯結構，在研讀教材的基礎上，理解新舊知識之間密切的邏輯關系，引導學生由舊入新，精心設計教學環節，有意識地幫助學生構建新舊知識前后的連接點，為學生的后續發展打下基礎。

例如，在教學蘇教版六年級上冊“用距離和方向確定位置”時，縱觀關于確定位置前后，新舊知識是有著密切聯系的。一年級用上下、左右、前后等方位詞表示物體之間的位置關系;二年級用東、南、西、北，東南、東北、西南、西北等方向詞描述物體所在的位置;四年級是用數對描述物體的具體位置，建立直角坐標系的雛形;六年級用方向與距離確定位置。不難發現，關于確定位置從表示一條直線上的位置到表示一個平面上、一個直角坐標系中的位置，以后也許還會表示一個球面空間的位置，數學知識的學習是一個螺旋上升的系統工程，相同的知識板塊編排在不同的學段和年級有著密切的聯系。

2.由此及彼，尋找知識關聯的生長點

數學知識不僅有新舊知識的聯系，還有知識板塊之間的相互關聯，所以教師在理解教材編排意圖、把握每個知識板塊重難點的基礎上，努力尋找知識關聯的生長點，從而使學生從整體上把握學科及其核心的內容，實現學生對數學知識的深度理解，融會貫通。

例如，在教學蘇教版四年級下冊“加法交換律”一課時，特級教師張苾菁著力尋找知識關聯的生長點，教學中首先關聯加法意義的本質理解：交換兩個加數的位置，和不變，那么3個加數，更多個加數呢？其次關聯乘法交換律，在其他運算中有沒有這種運算規律呢？還關聯探索規律的方法習得，讓學生經歷觀察猜想—舉例驗證—觀察發現—總結歸納—明理回歸—個性表達這樣一個比較科學完整的探索規律的過程，學生獲得的不僅僅是數學知識，更是一種策略、一種能力、一種思想。

我以為，教師應站在縱觀全局的高度，找到新舊知識的連接點，不僅要敢于退，退到學生已有的知識經驗上，也要敢于進，進到學生未知的知識領域。同時要尋找知識關聯的生長點，在本質上求同，在比較中求聯，并采用螺旋上升、前后推演的辦法幫助學生掌握知識，理解意義和發展思維，實現知識的整體構建。

三、積累思維經驗，在類比與建模中融通

思維經驗相對于實踐經驗來說更為抽象、更為隱性，它是一種在思維活動中獲得的過程性體驗。在數學教學中，教師要充分挖掘思維的本源，通過“舉三反一”“舉一反三”等多種方式展開活動，發展思維，積累經驗。讓學生在感悟和體驗中經歷思維的全過程，學會內化，形成一個融通的數學知識結構，從而積累數學活動經驗。

1.在“舉三反一”中建立模型

《數學課程標準（2011年版）》強調：“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用的過程。”經歷數學建模就是一個“舉三反一”的過程，也就是一個歸納推理的過程。

例如，在教學小學數學五年級上冊拓展課 “握手問題”時，教師引導學生思考：4個人兩兩握手，和每人握一次，一共要握多少次？學生根據已有的知識經驗可以畫圖、連線甚至四人小組實際操作等多種方式得出6次，通過觀察比較、異中求同得出計算方法后，緊接著思考假如一共有5人、 6人、10人呢？

學生觀察發現：每人握手次數總是比總人數少1;握手總次數就是從每人握手次數開始依次往后加到1。在學生初步感知的基礎上，再提出一共有10人呢？隨著握手人數的增加，用加法計算握手總次數比較復雜，由此討論得到另一種計算方法：10×9÷2;最后還可以拓展到n人握手，握手總次數是n×（n-1）÷2。

我以為，要讓學生真正理解一個規律，首先要通過“舉三反一”， 讓學生練習在題型結構、解題方法、數學思想上具有同一模型的一組習題，在充分交流、觀察、反饋、總結基礎上，學生有了豐富的感性認識的積淀以后，發現其中的規律，理解數學的本質。這樣不僅能夠加深對規律的理解，而且可以培養學生初步的建模意識。

2.在“舉一反三”中類比聯想

數學問題之間是有關聯的，教師應根據學生需求，通過適當的教學手段，引導學生深入理解，靈活應用所學內容，從而由此及彼，在處理不同的情境和問題中感悟到一般的規律后，在“舉一反三”中學會變通，學會內化，形成融通的數學知識結構，創生新的經驗。

例如，教學上述“握手問題”新授環節后，我出示“握手總人數、每人握手次數，握手總次數的計算方法”這三個要素中的任意一個要素，要求學生思考：怎樣得到其他兩個要素？這就是引導學生學會“舉一反三”。

隨后，我組織學生全面回顧“握手問題”所經歷的數學思維過程，引導學生進行類比、遷移、聯想，在“舉一反三”中融會貫通，由握手問題還想到了“兩兩跳舞”“兩兩通電話”“數線段”“數角”“數長方形”“數三角形”等實際問題。從而認識到不同現象之間有著共同的本質，深刻體會數學模型的抽象概括性，感受數學以簡就繁，萬象同理的神奇，世界上有做不完的數學題，但是我們卻可以觸類旁通，萬物歸宗。

學生的數學建構活動不只是單一的經驗同化過程，而是多元經驗的積累過程，所以教師應組織多元化的數學活動，讓學生多角度觸及數學知識結構的本質，從而豐富學生的數學思維經驗，不斷修正、改進數學認知結構，進而創生出學生自己的個性化經驗，形成相對穩定的數學認知結構，讓學生的數學素養在春風化雨中不斷提升，這也許就是學生學習數學的“無痕”之道。

（作者單位：江蘇省張家港市塘市小學）

責任編輯 周瑜芽